CAPITOLO 4

CAPITOLO 4

IMPLEMENTAZIONE DEL CODICE

4.1 GENERALITA’

Il metodo descritto nel capitolo 3.3 è stato implementato al calcolatore tramite Matlab per entrambi i casi di incidenza TE e TM. Il nome FT.MM.TE identifica il codice che implementa il metodo di Sviluppo Modale con Trasformata di Fourier nel caso di incidenza TE. (Fourier Transform and Mode Matching) Viceversa il nome FT.MM.TM identifica il codice che implementa lo stesso metodo ma per campi incidenti con polarizzazione TM. La procedura completa descritta nel capitolo 3.5 è stata invece implementata separatamente in un programma, sempre in Matlab, che accetta come input i dati provenienti dal programma FT.MM.TE e, rielaborandoli, fornisce la stima del livello di back radiation dell’antenna. I programmi che implementano la tecnica dello sviluppo modale non fanno altro che calcolare i coefficienti bm e cm delle (3.4) e (3.8) e, a seconda delle

necessità, valutare il campo trasmesso o scatterato dalla fessura al variare dell’angolo di incidenza dell’onda piana, o dell’angolo di osservazione

incidente. In ogni caso si è supposto che lo schermo sia completamente immerso in un mezzo senza perdite ed omogeneo, con numeri d’onda costanti e pari a k0 per ogni zona. I parametri di ingresso delle simulazioni

sono:

• lambda – lunghezza d’onda nel vuoto della radiazione incidente alla fessura.

• a – metà della dimensione della fessura.

• d – spessore dello schermo metallico in cui è presente la fessura. un ulteriore parametro di input, thetastep ha una funzione diversa nelle diverse utilizzazioni del metodo:

• se si sceglie di ottenere valori di campo scatterato in una direzione o trasmesso in una direzione, al variare dell’angolo di incidenza dell’onda piana, thetastep indica la finezza con la quale si vuole far variare l’angolo theta tra l’asse della fessura e la direzione dei raggi dell’onda.

• se si sceglie di avere valori di campo scatterato o trasmesso al variare della direzione di analisi, per una data onda incidente, thetastep indica la finezza con cui si vogliono avere valori di campo nelle scansioni circolari.

• M – numero di modi da considerare nello sviluppo modale. Il numero totale di coefficienti calcolati vale M+1 nel caso di incidenza TE (modo di ordine 0 incluso) ed M nel caso di incidenza TM poiché il primo modo non si innesca in fessura per questa polarizzazione. Per il calcolo degli integrali

0 0 4 ( 1) exp(2 2 ) ( 2 ) ( ) n j jk a k av v v j I k =

_∫

si è utilizzato un metodo di integrazione numerica. Il dominio di integrazione è stato limitato preliminarmente all’intervallo [0, xmax]. Questo è stato possibile poiché le funzioni integrande hanno un termine esponenziale negativo che fa convergere velocemente l’integrale. L’area sottesa dalle curve complesse da integrare è stasa approssimata con la somma di rettangoli di base xstep nel dominio d’integrazione.

Utilizzando

xstep=10^-3 xmax=10

si ottengono valori per I1(k0) che differiscono da quelli ottenuti con

xstep=10^-4 xmax=20

per meno dello 0,1%, quindi sono stati sempre utilizzati i primi nelle simulazioni per problemi di velocità di calcolo.

Il programma che provvede al calcolo della back radiation per l’antenna SAR 2000 utilizza i valori bm e cm ottenuti dal codice FT.MM.TE e le

caratteristiche descritte nel capitolo 2 per l’antenna. Questo programma calcola il valore di Hr nella (3.10b) ed applica il principio di

sovrapposizione degli effetti per tenere in conto l’effetto di entrambe le fessure. Infine effettua la trasformazione dei pattern descritta nel capitolo 3.5 . L’unico parametro da variare in questo codice è r, che individua il raggio delle scansioni circolari su cui è stato analizzato il campo. I pattern circolari hanno il centro nel centro di fase dell’antenna, ovvero in un punto intermedio tra le due fessure, per cui valori di r prossimi a

2 1.152 _0.576

2 2

a m

m

in quanto la condizione di uniformità del campo sulla fessura (confrontare la 3.7b) deve essere comunque soddisfatta. Tutti i calcoli, come già detto, sono stati effettuati supponendo unitaria la potenza complessivamente irradiata dall’antenna. Questo non intacca la generalità del procedimento in quanto, nel caso in cui l’antenna irradi complessivamente una potenza pari a P, basterà moltiplicare per un coefficiente pari alla radice quadrata di P i campi ottenuti con questo programma.

4.2 PROBLEMI RISCONTRATI NELL’IMPLEMENTAZIONE DEL METODO DELLO SVILUPPO MODALE

4.2.1 – ERRORI NEGLI ARTICOLI

Si sono riscontrati i seguenti errori negli articoli [5] e [6].

• Nell’articolo [5] la (A.7) è errata, l’espressione corretta è: 2 2 2 exp( ) ( 1) exp( ) ( ) n x n x x x n jk jk a jk a k a γ = _ − − − _ −

• Nell’articolo [6] la didascalia per la figura 2 è errata. Per ottenere quel grafico e affinché quella quantità non vari con la lunghezza d’onda (non specificata), la quantità rappresentata deve essere:

2 2

2 t( , )

y t

4.2.2 – DIVERGENZA DEI CALCOLI

Come già accennato nel capitolo 3.3, affinché i risultati ottenuti coi codici FT.MM.TE e FT.MM.TM siano validi, bisogna arrestare lo sviluppo modale a valori di m tali che m 4a

λ

>M= . In teoria utilizzare un numero di

termini m sempre maggiore nello sviluppo modale, garantisce una correttezza sempre maggiore del calcolo dei campi all’interno della fessura e quindi dei campi scatterati e trasmessi. Questo nella realtà non accade. Se ci si spinge nelle simulazioni a considerare modi di ordine molto elevato rispetto a M, quello che succede è che le matrici Ψ Ψ Ψ Ψ₁, ₂, ₃, ₄ (confronta capitolo 3.3) diventano enormi. In queste matrici vi sono termini di ordini di grandezza molto diversi. Per questo motivo si manifestano oltre un certo valore di m, dei risultati, per i campi calcolati, che si allontanano molto dalla realtà. Questo è dovuto al fatto che le matrici da invertire risultano malcondizionate relativamente alla precisione scelta per le variabili del codice. Valori di m per cui si verificano questi problemi sono variabili e dipendenti dalle dimensioni della fessura e dalla lunghezza d’onda considerata. A meno di non considerare fessure di dimensioni molto più piccole della lunghezza d’onda, (caso di facile implementazione comunque, dato che in queste fessure si innesca un solo modo nel caso di incidenza TE e nessuno nel caso di incidenza TM, i restanti sono in cut-off) i valori di m per cui si hanno questi problemi sono di decine o centinaia di volte maggiori rispetto a M. Conviene quindi arrestare lo sviluppo modale, anche per motivi di rapidità di calcolo, a valori non superiori a 1,5 o 2 volte M.

4.2.3 – SINGOLARITA’ NELLE MATRICI DA INVERTIRE

Se si vogliono ottenere risultati numerici per fessure che presentano un valore intero di 4a

λ , si presenta un problema di inversione nella risoluzione

del sistema lineare 1 2

3 4 0       =             Ψ Ψ B Γ

Ψ Ψ C . Infatti per valori interi di 4a

λ , esiste

un m 4a

λ

= nello sviluppo, tale che

2 2 2 0 2 m m a π π ξ λ     = _{ } −_{ } =     . Alcune delle

matrici da invertire, presentano una colonna o una riga completamente nulla, sia nel caso TE che nel caso TM. Questo significa che un autovalore della matrice è nullo e che quindi l’inversione non è possibile. Il problema si può risolvere in due modi. Una tecnica è quella di eliminare, tramite un controllo preliminare, le righe e le colonne relative al modo m esimo− nel

sistema lineare. Un’altra è di scegliere valori di a molto vicini a

4

mλ _{, ad}

esempio 1.000001 4

m

a= λ. Questo metodo assicura dei risultati pressoché

identici al primo metodo e con una maggiore snellezza del codice. 4.3 OSSERVAZIONI

La penetrazione del campo con polarizzazione TM in una fessura spessa e stretta, è sembrata già dai nostri primi studi teorici pressoché trascurabile rispetto a quella dovuta al campo con polarizzazione TE. Il codice FT.MM.TM sviluppato successivamente ha confermato le nostre aspettative. In Fig. 4.1 viene illustrato questo risultato confrontando, a parità di altre condizioni nelle simulazioni, il campo prodotto da onde con

polarizzazione TE e TM. E’ evidente come la penetrazione nel caso TM sia del tutto trascurabile rispetto al caso TE. Si verifica una differenza di oltre 60dB sulla quasi totalità dello spazio di analisi.

15° 30° 45° 60° 75° 90° -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Angolo di trasmissione in gradi

Li ve llo d i c am po i n dB no rm al iz za to al v al or m as si m o a = 0.18*lambda d = 1.8*lambda

angolo d'incidenza dell'onda theta = pi/6 Campo trasmesso per la polarizzazione TE Campo trasmesso per la polarizzazione TM

Fig. 4.1

Andamento del campo trasmesso da una fessura stretta rispetto alla lunghezza d’onda, in uno schermo spesso. Viene visualizzata la quantità 2 _{2 0} t( , )

y t

T = πr k E θ θ per la polarizzazione

TE (linea blu) e per la polarizzazione TM (linea rossa).

Questo risultato è concorde a quelli ottenuti nell’articolo [8], ed ha permesso di trascurare il contributo alla back radiation dei dipoli relativi alla polarizzazione lineare parallela all’asse x nella fig. 2.5, cioè l’asse allineato con la dimensione maggiore dell’antenna (ovvero la polarizzazione che si accoppia con la TM nel teorema di reciprocità).