Stage di Massa - Esercitazione Disuguaglianze e Combinatoria Adv.

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Stage di Massa - Esercitazione

Disuguaglianze e Combinatoria Adv.

Esercizi Disuguaglianze

1. *Dimostra 𝐶𝑀 ≥ 𝐺𝑀, 𝐶𝑀 ≥ 𝐴𝑀 2. **Dimostra 𝐶𝑀 ≥ 𝑄𝑀

3. *𝑎, 𝑏 > 0

^𝑎_𝑎+𝑏²^+𝑏²

≥

^𝑎+𝑏₂

4. ***𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0

^𝑎_𝑎³₂^+𝑏_+𝑏³₂^+𝑐_+𝑐³₂

≥

^{𝑎+𝑏+𝑐}₃

5. *Trova il minimo valore di 𝑥 +

_𝑥⁵

6. **

_√𝑥^𝑥²₂⁺²₊₁

≥ 2

7. **𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0 (𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8𝑎𝑏𝑐

8. **Se 𝑎

_𝑖

> 0 e 𝑎

₁

∗ … ∗ 𝑎

_𝑛

= 1 allora (1 + 𝑎

₁

) ∗ … ∗ (1 + 𝑎

_𝑛

) ≥ 2

^𝑛

9. **𝑎

²

+ 𝑏

²

+ 𝑐

²

≥ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

10. ***Trova il massimo di 𝑥

³

𝑦

²

𝑧 col vincolo 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 11. ***Trova il massimo di 𝑥𝑦𝑧 col vincolo 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

12. ***Due triangoli hanno lati a,b,c e A,B,C. Prova che sono simili se e solo se √𝑎𝐴 + √𝑏𝐵 + √𝑐𝐶 =

�(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) Hint: normalmente vale una disuguaglianza simile…

13. *Trova il minimo valore di 𝑥

²

− 8𝑥𝑦 + 19𝑦

²

− 6𝑦 + 14 14. *Trova il minimo valore di 𝑥

²

+ 6𝑥𝑦 + 13𝑦

²

+ 4𝑥 + 18𝑦 + 4

15. ***Siano a,b,c i lati di un triangolo, prova che

_{𝑏+𝑐−𝑎}^𝑎

+

_{𝑐+𝑎−𝑏}^𝑏

+

_{𝑎+𝑏−𝑐}^𝑐

≥ 3 16. ***(1 + 𝑎 + 𝑎

²

+ a

³

)

²

≤ (1 + 𝑎

²

+ 𝑎

⁴

+ a

⁶

)

Esercizi di Combinatoria Adv.

1. *Ad una scacchiera rettangolare formata da 5 × 13 quadratini viene tolto uno dei quadratini che stanno sul lato maggiore e sono adiacenti ad uno dei quadratini ai vertici. Determinare il massimo numero di piastrelle 2×1 che è possibile piazzare sulla parte rimasta della scacchiera(in

corrispondenza con i quadratini originari) evitando sovrapposizioni.

2. **Determinare tutti i rettangoli m×n che si possono tassellare avendo a disposizione pezzi 2×2 e 3×3

3. ***Determinare tutti i rettangoli m × n che si possono tassellare con il classico tromino ad L (ottenuto rimuovendo un quadratino da un quadrato 2 × 2)

4. ***Determinare tutti i rettangoli m x n tassellabili con tessere 4x1

5. **Alberto e Barbara fanno il seguente gioco. Su di un tavolo ci sono 1999 cerini: a turno ogni giocatore deve togliere dal tavolo un numero di cerini a sua scelta, purché maggiore o uguale ad uno, e minore o uguale alla metà del numero dei cerini che in quel momento sono sul tavolo. Il giocatore che lascia sul tavolo un solo cerino perde. Barbara è la prima a giocare. Determinare per quale dei due giocatori esiste una strategia vincente e descrivere tale strategia.

6. **Alberto, propone il seguente gioco a Barbara: dato l’insieme dei numeri 0,1,2,….1024, Barbara

può alla prima mossa toglierne 2

⁹

, poi tocca a lui toglierne 2

⁸

, poi barbare 2

⁷

e così via finché non

ne rimangono 2: Alberto pagherà a Barbara il valore assoluto della differenza in euro. Quanto è

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sicura di poter intascare Barbare, qualsiasi sia la strategia di Alberto? Quanto sicuro di rimetterci al massimo Alberto, qualsiasi sia la strategia di Barbara?

7. **Antonio e Bernardo giocano al seguente gioco: sono date due pile di gettoni, una con m gettoni e l'altra con n gettoni. Ogni giocatore sceglie a turno una delle seguenti mosse: prendere un gettone da una delle pile; prendere un gettone da ciascuna delle pile; spostare un gettone da una pila ad un'altra. Perde chi non può più muovere. Comincia Antonio. Determinare, in funzione di m ed n, se uno dei due giocatori ha una strategia vincente.

8. ***Su un tavolo ci sono inizialmente alcune colonne di gettoni, il numero di gettoni può variare da colonna a colonna. A turno ogni giocatore può fare una delle seguenti mosse: o sceglie una colonna con 2k monete e la suddivide in due colonne di k monete oppure toglie tutte le colonne con un numero dispari di gettoni. Quale dei due giocatori ha una strategia vincente?

*Facile

**Medio

***Difficile o non trattato a lezione

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Stage di Massa – Disuguaglianze e Combinatoria Adv.

Soluzioni Esercizi Disuguaglianze

1. Riconducibili a disuguaglianza fondamentale 2. Dividere in 2 pezzi riconducibili ad AM-GM

3. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏 > 0 ci si riconduce ad AM-GM

4. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 ci si riconduce a disuguaglianza di riarrangiamento oppure si divide in 3 pezzi riconducibili alla disuguaglianza fondamentale

5. AM-GM, 2√5

6. AM-GM come prima 7. AM-GM

8. AM-GM

9. Divido in 3 e disuguaglianza fondamentale, oppure riarrangiamento 10.

_2∗6¹₃

11.

_2∗3¹₄

12. Capire il verso della disuguaglianza quando i triangoli non sono simili, applicare Cauchy- Schwarz e una sostituizione

13. 11 14. -9

15. Sostituizione + AM-GM

16. Svolgere e riarrangiamento oppure spezzettare e disuguaglianza fondamentale

Soluzioni Esercizi Combinatoria Adv.

1. Colorazione a scacchiera, 2 colori, 31 piastrelle

2. Lati entrambi pari, lati entrambi multipli di 3, un lato dispari e l’altro multiplo di 6, colorazione a strisce parallele al lato non multiplo di 3

3. Area multipla di 3 e non del tipo 3xdispari, colorazione a scacchiera, controllo 2x3 e 9x5 4. Un lato multiplo di 4, colorazione a 4 colori

5. Procedimento a ritroso. Chi lascia 1 perde, chi lascia 2 vince. Se lasciare k è vincente, lasciarne fra k+1 e 2k è perdente mentre 2k+1 è vincente. I numeri vincenti sono quindi 2

^𝑛+1

+ 2

ⁿ

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Stage di Massa - Esercitazione

Disuguaglianze e Combinatoria Adv.

Esercizi Disuguaglianze

1. *Dimostra 𝐶𝑀 ≥ 𝐺𝑀, 𝐶𝑀 ≥ 𝐴𝑀 2. **Dimostra 𝐶𝑀 ≥ 𝑄𝑀

3. *𝑎, 𝑏 > 0

≥

4. ***𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0

≥

5. *Trova il minimo valore di 𝑥 +

6. **

≥ 2

7. **𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0 (𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8𝑎𝑏𝑐

8. **Se 𝑎

> 0 e 𝑎

∗ … ∗ 𝑎

= 1 allora (1 + 𝑎

) ∗ … ∗ (1 + 𝑎

) ≥ 2

9. **𝑎

+ 𝑏

+ 𝑐

≥ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

10. ***Trova il massimo di 𝑥

𝑦

𝑧 col vincolo 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 11. ***Trova il massimo di 𝑥𝑦𝑧 col vincolo 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

12. ***Due triangoli hanno lati a,b,c e A,B,C. Prova che sono simili se e solo se √𝑎𝐴 + √𝑏𝐵 + √𝑐𝐶 =

�(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) Hint: normalmente vale una disuguaglianza simile…

13. *Trova il minimo valore di 𝑥

− 8𝑥𝑦 + 19𝑦

− 6𝑦 + 14 14. *Trova il minimo valore di 𝑥

+ 6𝑥𝑦 + 13𝑦

+ 4𝑥 + 18𝑦 + 4

15. ***Siano a,b,c i lati di un triangolo, prova che

+

+

≥ 3 16. ***(1 + 𝑎 + 𝑎

+ a

)

≤ (1 + 𝑎

+ 𝑎

+ a

)

Esercizi di Combinatoria Adv.

1. *Ad una scacchiera rettangolare formata da 5 × 13 quadratini viene tolto uno dei quadratini che stanno sul lato maggiore e sono adiacenti ad uno dei quadratini ai vertici. Determinare il massimo numero di piastrelle 2×1 che è possibile piazzare sulla parte rimasta della scacchiera(in

corrispondenza con i quadratini originari) evitando sovrapposizioni.

2. **Determinare tutti i rettangoli m×n che si possono tassellare avendo a disposizione pezzi 2×2 e 3×3

3. ***Determinare tutti i rettangoli m × n che si possono tassellare con il classico tromino ad L (ottenuto rimuovendo un quadratino da un quadrato 2 × 2)

4. ***Determinare tutti i rettangoli m x n tassellabili con tessere 4x1

6. **Alberto, propone il seguente gioco a Barbara: dato l’insieme dei numeri 0,1,2,….1024, Barbara

può alla prima mossa toglierne 2

, poi tocca a lui toglierne 2

, poi barbare 2

e così via finché non

ne rimangono 2: Alberto pagherà a Barbara il valore assoluto della differenza in euro. Quanto è

sicura di poter intascare Barbare, qualsiasi sia la strategia di Alberto? Quanto sicuro di rimetterci al massimo Alberto, qualsiasi sia la strategia di Barbara?

*Facile

**Medio

***Difficile o non trattato a lezione

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Soluzioni Esercizi Disuguaglianze

1. Riconducibili a disuguaglianza fondamentale 2. Dividere in 2 pezzi riconducibili ad AM-GM

3. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏 > 0 ci si riconduce ad AM-GM

4. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 ci si riconduce a disuguaglianza di riarrangiamento oppure si divide in 3 pezzi riconducibili alla disuguaglianza fondamentale

5. AM-GM, 2√5

6. AM-GM come prima 7. AM-GM

8. AM-GM

9. Divido in 3 e disuguaglianza fondamentale, oppure riarrangiamento 10.

11.

12. Capire il verso della disuguaglianza quando i triangoli non sono simili, applicare Cauchy- Schwarz e una sostituizione

13. 11 14. -9

15. Sostituizione + AM-GM

16. Svolgere e riarrangiamento oppure spezzettare e disuguaglianza fondamentale

Soluzioni Esercizi Combinatoria Adv.

1. Colorazione a scacchiera, 2 colori, 31 piastrelle

2. Lati entrambi pari, lati entrambi multipli di 3, un lato dispari e l’altro multiplo di 6, colorazione a strisce parallele al lato non multiplo di 3

3. Area multipla di 3 e non del tipo 3xdispari, colorazione a scacchiera, controllo 2x3 e 9x5 4. Un lato multiplo di 4, colorazione a 4 colori

5. Procedimento a ritroso. Chi lascia 1 perde, chi lascia 2 vince. Se lasciare k è vincente, lasciarne fra k+1 e 2k è perdente mentre 2k+1 è vincente. I numeri vincenti sono quindi 2

+ 2

− 1 6. 32 euro. Ad ogni mossa, B può almeno raddoppiare la distanza fra numeri, mentre A può