FOGLIO DI ESERCIZI 2 EDO

FOGLIO DI ESERCIZI 2 EDO

Delle seguenti equazioni scalari, studiare esistenza ed unicit`a, prolunga- bilit`a e disegnare un grafico qualitativo delle soluzioni.

1) y ⁰ = (y ² + 2y − 3)e

; 2) y ⁰ = tan ¡

log(1 + y ² ) ¢ + t ² ;

3) y ⁰ = f (t, y), con f data nell’ultimo esercizio di pagina 29 delle dispense.

4) y ⁰ = sin(e ^y ).

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Tracce di soluzioni.

1) f (t, x) = (x ² + 2x − 3)e

`e definita su tutto R <sup>2</sup> ed `e di classe C ¹ . Le uniche soluzione stazionarie sono y ≡ 1 e y ≡ −3. Per y < −3 e per y > 1 le soluzione sono crescenti, sono invece decrescenti per −3 < y < 1. Si ha poi

i) −3 < y < 1, y monotona decrescente e limitata: le soluzioni esistono per tutti i tempi (vedi Proposition 5.10 delle dispense) ed esistono finiti i limiti per t → ±∞. Dallo studio della derivata y ⁰ si vede che nessuno di tali limiti pu`o essere uguale a ` ∈] − 3, 1[, quindi....

ii) y > 1, y monotona crescente limitata inferiormente: la soluzione esiste per tutti i tempi t → −∞ (ancora per Proposition 5.10) ed esiste finito il limite ` per t → −∞, e non pu`o essere ` > 1. Detto β l’estremo superiore dell’intervallo massimale di esistenza, deve essere β = +∞ o lim _t→β

y(t) = +∞ (per la Proposition 5.6). D’altra parte, anche se β = +∞, deve essere lim _t→+∞ y(t) = +∞. Quindi in ogni caso, da un certo istante in poi 2y(t) − 3 > 0 e quindi y ⁰ (t) > y ² e pertanto, per il confronto, y diverge in tempo finito (cio`e β < +∞). “Mutatis mutandis” si giunge a simili conclusioni per y < −3.

2) f (t, x) = tan(log(1 + x ² )) + t ² `e definita in R × i

− p

e

− 1, p

e

− 1 h e ivi `e C <sup>1</sup> . Si vede facilmente che non ci sono soluzioni stazionarie e che le soluzioni sono tutte crescenti. Ragionando al solito modo, si ottiene che tutte le soluzioni vivono per tempi limitati (nessuna `e prolungabile a + o

− infinito) e che, detto ]β ₋ , β ₊ [ l’intervallo di esistenza massimale, si ha

t→(β lim

)

y(t) = ± p

e

− 1.

4) f (t, x) = sin(e ^x ) `e definita in R <sup>2</sup> , C <sup>1</sup> ed `e limitata. Quindi le soluzioni esistono per tutti i tempi. Le soluzioni stazionarie sono y ≡ log(kπ) con k ∈ N \ {0}. Le soluzioni sono cresenti per y < log(π), decrescenti per log(π) < y < log(2π) e cos`ı via in modo alternato. I limiti per t → ±∞ si studiano al solito modo. Pu`o essere utile il seguente fatto (simile a quello esposto nelle dispense): se g ∈ C ¹ (R) `e tale che lim <sub>→+∞</sub> g(t) esiste finito e inoltre se anche lim <sub>t→+∞</sub> g <sup>0</sup> (t) esiste, allora deve essere lim <sub>t→+∞</sub> g <sup>0</sup> (t) = 0 (provarlo per esercizio e dare (almeno graficamente) un controesempio che mostri che lim <sub>→+∞</sub> g(t) pu`o esistere finito senza che il limite lim _→+∞ g ⁰ (t) esista).

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