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1.4 Le misure e gli errori
La misurazione
Tramite il metro puoi mi - surare la larghezza di un ta- volo.
Con il termometro rilevi la tem peratura dell’ambiente.
Osservando il tachimetro co - nosci la velocità alla quale pro- cede la moto.
Capire che cos’è esattamente una misura è il primo e fondamentale passo che dobbiamo compiere per poter iniziare a parlare di Fisica.
La Fisica si occupa soltanto di quei fenomeni che possono essere studiati tramite delle grandezze fisiche, cioè tramite grandezze che caratterizzano quel fenomeno e che siamo in grado di misurare.
Ma che cosa significa esattamente misurare?
Con la parola misurare intendiamo l’insieme delle operazioni al termine delle quali associamo un numero a una grandezza.
Osserva la figura e prova a pen- sare quali azioni compiresti per misurare la lunghezza L del - l’asticella utilizzando il metro da sarto riprodotto.
Potremmo sintetizzare così ciò che si fa per misurare la lunghezza L dell’asticella:
a) si prende il metro da sarto e, dopo averlo aperto, lo si appoggia sull’asticella;
b) si controlla che lo zero del metro da sarto coincida con un estremo dell’asticella (A);
c) si va a leggere sul metro da sarto il valore numerico in corrispondenza del secondo estremo (B).
2
1 3 4 5 6 7 8 9
Riflettendo sulla sequenza di operazioni svolte, possiamo dire che la misurazione è consistita nel confrontare la lunghezza dell’asticella L con un’altra lunghezza (quella del metro da sarto) preparata per questo scopo.
L’essenza delle azioni che chiamiamo complessivamente misurazione non è altro che un confronto fra la grandezza in esame e un’altra grandezza di riferimento, o campione, che costituisce l’unità di misura.
A L B
2
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
errore di sensibilità Per rendere possibile scambiarsi informazioni sulle grandezze fisiche è fonda-
mentale accordarsi su uno stesso campione di riferimento che, pur continuando a essere frutto di scelte arbitrarie, ha il vantaggio di essere condiviso da molte persone.
L’unità di misura è un campione di riferimento, dello stesso tipo della grandezza da misurare, fissato secondo una precisa convenzione e rispetto a cui viene de- terminato il valore della grandezza stessa.
Il risultato della misura, se vogliamo procedere in modo oggettivo e scientifico, non deve essere condizionato dall’operatore che l’ha eseguita. Bisogna, quindi, te- nere conto dei limiti dello strumento usato, cioè dell’errore di sensibilità dello stru- mento.
L’errore di sensibilità di uno strumento è la più piccola variazione della gran- dezza che lo strumento è in grado di rilevare.
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L’errore di sensibilità corrisponde al valore della distanza tra due divisioni (dette anche tacche) successive nella scala dello strumento.
Da 0 a 1 cm ci sono due divisioni, per cui ogni divisione vale:
1 : 2 = 0,5 cm
E questo è appunto l’errore di sensibilità del metro da sarto che abbiamo utilizzato.
errore di sensibilità = 0,5 cm
2
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 4 5
2 3 4 5
Osservando l’ingrandimento non possiamo avere dubbi sul fatto che il valore del la grandezza si trova vi- cino a 12,5 cm ed è chiaramente compreso fra 12,0 cm e 13,0 cm, vale a dire fra:
12,5 − 0,5 = 12,0 cm e 12,5 + 0,5 = 13,0 cm
10 11 12 13 14 15
Ritornando alla nostra misurazione, abbiamo che la lunghezza L corrisponde a poco più di 12,5 cm.
Tale quantità prende il nome di valore della grandezza.
Il valore della grandezza è la quantità numerica che leggiamo sulla scala di uno strumento adatto a tale scopo.
Come esprimere l’imprecisione di una misura, che costituisce pur sempre un’in - formazione da fornire con la misura stessa?
L’intervallo di possibili valori all’interno del quale rientra il valore della grandezza misurata (che nel nostro caso va da 12,0 cm a 13,0 cm), si chiama intervallo di indeterminazione.
In qualunque tipo di misura il valore della grandezza può essere semplicemente stimato, cioè determinato con una certa imprecisione. A tale imprecisione diamo il nome di incertezza.
L’incertezza quantifica il grado di imprecisione che si ha nell’individuazione del valore di una grandezza.
errore relativo
errore relativo
percentuale © SEI
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In definitiva, il risultato della misurazione della lunghezza L dell’asticella, per te- nere conto di tutto quanto abbiamo detto, viene solitamente scritto nel seguente modo:
L= (12,5 ± 0,5) cm
È questo che solitamente si intende quando si parla di misura.
simbolo della grandezza. valore della grandezza. incertezza (che in questo caso è data dall’erro re di sensibilità dello stru mento).
unità di misura.
L =
(12,5 ± 0,5) cm L= (12,5
± 0,5) cm L= (12,5 ±0,5
) cm L= (12,5 ± 0,5)cm
L’errore relativo
Supponiamo di dover misurare la lunghezza di due diverse asticelle, usando il metro da sarto.
L1= (2,0 ± 0,5) cm
un’incertezza di 0,5 cm su un valore di 2,0 cm equivale a:
0,5 cm 2,0 cm = 0 25,
L2= (14,0 ± 0,5) cm
un’incertezza di 0,5 cm su un valore di 14,0 cm equivale a:
0,5 cm
14,0 cm= 0 03571,
2
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
L2
2
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
L1
L’incertezza è identica (0,5 cm). Eppure, dire che la lunghezza della prima asticella si trova fra 1,5 cm e 2,5 cm non possiede lo stesso grado di precisione dell’affermazione che la seconda è compresa fra 13,5 cm e 14,5 cm. I due numeri trovati, 0,25 e 0,03571, che sono detti errori relativi, evidenziano il fatto che la misura di L2è più precisa di quella di L1, in quanto l’incertezza (0,5 cm) ha meno rilievo, essendo maggiore il va- lore della grandezza.
L’errore relativo ci dà informazioni sulla precisione di una misura.
L’errore relativo è definito come il rapporto tra l’incertezza e il valore della gran- dezza:
errore relativo =
In termini matematici, possiamo scrivere:
ε è la lettera greca «epsilon», il pedice r sta per relativo.
Talvolta, è comodo esprimere l’errore relativo in forma percentuale. In tal caso si ha:
εr M
x
%=Δx ⋅100% εr
M
x
= Δx
incertezza valore della grandezza
misura indiretta grandezze derivate
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Le misure indirette
Si parla di misura diretta quando la grandezza da misurare viene confrontata (tramite lo strumento) direttamente con il campione preso come unità di misura, senza passaggi intermedi.
Oltre alle lunghezze, sono misure dirette ad esempio quelle che riguardano gli angoli (con il goniometro) e gli intervalli di tempo (con il cronometro).
Può capitare spesso che le misure siano, invece, il frutto di un calcolo matematico (prova a pensare all’area di una figura geometrica). Si parla allora di misure in- dirette.
La misura indiretta di una grandezza è quella misura eseguita effettuando dei calcoli a partire dalla conoscenza delle misure di altre grandezze.
Le grandezze misurate indirettamente prendono il nome di grandezze derivate.
L’incertezza di una grandezza fisica ottenuta come somma oppure come diffe- renza fra altre grandezze è data dalla somma delle incertezze di tali grandezze.
L’errore relativo di una grandezza fisica ottenuta come prodotto oppure come quoziente fra altre grandezze è dato dalla somma degli errori relativi di tali gran- dezze.
Riepiloghiamo sinteticamente le leggi di propagazione degli errori per mezzo di una tabella.
operazione legge di propagazione
somma: S = A + B Dx(S) = D x(A) + D x(B) differenza: D = A - B Dx(D) = D x(A) + D x(B) prodotto: P = A ◊ B er(P) = er(A) + er(B) quoziente: Q = A/B er(Q) = er(A) + er(B)
Cifre significative e criteri di arrotondamento
In una misura l’incertezza impone che si esprima il valore della grandezza non oltre la cifra che rappresenta l’incertezza stessa. Se facciamo una misurazione in cui 0,5 cm è l’errore di sensibilità dello strumento, non è possibile riportare il va- lore oltre la prima cifra decimale, corrispondente appunto a 0,5.
cifre significative
cifre significative nella somma o nella differenza
cifre significative nel prodotto o nel quoziente
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Gli zeri compresi tra cifre si- gnificative sono anch’essi si- gnificativi.
Ricorda ...
Potremo avere, per esempio, L= (12,5 ± 0,5) cm:
incertezza 0,5cm ⇒ valore della grandezza 12,5cm
In effetti non avrebbe senso scrivere 12,52cm (anche se dovessimo vedere che il valore è in realtà un po’ più di 12,5 cm), in quanto la sensibilità dello strumento non ci consente di andare oltre, e nessuno può assicurarci che non si tratti invece di 12,5197cm!
Si dice allora che il valore 12,5 cm è espresso con tre cifre significative, vale a dire due cifre certe (l’1e il 2) e la prima cifra incerta (il 5).
Si intendono come cifre significative del valore di una grandezza tutte le cifre certe fino alla prima incerta compresa.
una cifra decimale cinque cifre decimali
› ›
3 4 , 2 Æ prima cifra incerta 0 , 0 0 8 0 4 Æ prima cifra incerta
fl fl
tre cifre significative tre cifre significative
Le cifre significative di un numero non coincidono necessariamente con le cifre dopo la virgola, cioè i decimali. Può succedere, ma si tratta di casi particolari.
Che cosa succede quando si fanno delle operazioni tra misure i cui valori sono ri- portati con le rispettive cifre significative?
Nel risultato di una somma o di una differenza si conservano soltanto quelle cifre che sono state ottenute sommando o sottraendo cifre significative.
Facciamo la somma tra 34,2 cm e 5,64 cm:
3 4 , 2 + 5 , 6 4 = 3 9 , 8 4cm
Il 4 non è stato ottenuto come somma di cifre significative (perché sopra di esso c’è uno non significativo che quindi non è stato riportato), per cui la somma è 39,8 cm.
Il risultato di un prodotto o di un quoziente viene riportato scrivendolo con un numero di cifre significative pari a quello della misura che ne ha di meno.
Facciamo il prodotto tra 22,3 cm e 7,4 cm.
2 2 , 3 · 7 , 4 = 1 6 5 , 0 2 cm2
Il 7,4 cm ha due cifre significative, mentre 22,3 cm ne ha tre; dunque il risultato va riportato analogamente a 7,4 cm con due sole cifre significative: il 5 non può comparire e viene sostituito dallo 0, mentre il 6 arrotondato diventa 7. Il valore fi- nale è perciò 1 7 0 cm2= 1,7 ◊ 102cm2.
0
Il discorso svolto sulle cifre significative riguarda un aspetto puramente matema- tico del problema.
Vediamo allora quali sono i criteri di arrotondamento che si possono seguire da un punto di vista fisico quando è necessario arrotondare sia l’incertezza sia il valore di una grandezza derivata e che noi adotteremo.
È doveroso precisare che questi criteri costituiscono un primo semplificato ap- proccio, per il loro carattere per così dire “prudenziale”. Tuttavia, essi trovano delle ben precise motivazioni fisiche, che analizziamo una alla volta.
1. Una sola cifra significativa per l’incertezza
L’incertezza deve essere arrotondata alla prima cifra significativa, vale a dire alla prima cifra diversa da zero che si incontra leggendo l’incertezza da sinistra verso destra.
Se facciamo l’ipotesi che l’incertezza relativa a una misura indiretta valga 0,04275 m, per cui siamo informati che il 4dei centesimi (0,04275 m) costituisce l’incertezza di maggiore rilevanza nella misura, a che cosa può servire tenersi le cifre che vengono dopo? In ogni caso l’incertezza sui millesimi data dal 2 (0,04275 m) e sulle cifre restanti viene inglobata da quella maggiore, rappresen- tata ovviamente dalla prima cifra significativa.
2. L’incertezza arrotondata sempre per eccesso
Se l’incertezza, avendo più di una cifra significativa, deve essere arrotondata, al- lora è opportuno farlo sempre per eccesso, anche se la cifra subito a destra della prima cifra significativa è minore di 5 (solo se è 0 allora è il caso di arrotondare per difetto).
Arrotondando 0,04275 m alla prima cifra significativa, si dovrebbe scrivere 0,04 m, dal momento che la cifra a destra del 4 è un 2 (0,04275 m) e quindi l’arroton - damento andrebbe fatto per difetto. Perché scrivere invece 0,05 m? In pratica non facciamo altro che allargare l’intervallo di indeterminazione, per cui, se anche perdiamo in precisione della misura (dal momento che l’errore relativo ri- sulta incrementato), abbiamo però una certezza maggiore che il valore sia effet- tivamente dentro quell’intervallo così allargato. L’incertezza è dunque 0,05 m.
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Le cifre significative di un numero non sono le cifre scritte dopo la virgola, cioè i decimali. È solo un caso parti- colare quello nel quale vi è coincidenza fra di esse. Il nu- mero 34,572 ha tre cifre deci- mali e cinque cifre significative.
Ricorda ...
− 0,5 − 0,4 x + 0,4 + 0,5
3. Valore della grandezza espresso fino alla cifra dell’incertezza
Il valore della grandezza va arrotondato per eccesso o per difetto a seconda dei casi (arrotondamento matematico), in corrispondenza della posizione dell’unica cifra diversa da zero dell’incertezza già arrotondata.
Il ragionamento è analogo a quello svolto nel punto 1. Supponiamo che il valore calcolato sia risultato 6,83196 m. L’incertezza vale 0,05m e impone, perciò, che siano i centesimi a essere instabili: la prima cifra incerta è il 3(6,83196 m). È ra- gionevole supporre, di conseguenza, che le cifre successive, vale a dire 196 (6,83196m), siano ancora più incerte del 3, cioè fondamentalmente… di pura fantasia! Viceversa, arrotondare addirittura a 6,8 m comporterebbe una evidente perdita di informazione. Il valore deve essere riportato come 6,83 m.
