1.1. Soit X une vari´et´e, M un D X -module coh´erent (i.e. un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles) et Y ⊂ X une sous-vari´et´e non-caract´eristique pour M (i.e.

EN TH ´ EORIE DES FAISCEAUX (D’APR` ES UN TRAVAIL AVEC P. SCHAPIRA)

Andrea D’Agnolo

§1. Introduction

Dans ce paragraphe toute vari´et´e (et morphisme de vari´et´es) sera complexe an- alytique.

1.1. Soit X une vari´et´e, M un D _X -module coh´erent (i.e. un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles) et Y ⊂ X une sous-vari´et´e non-caract´eristique pour M (i.e.

telle que le fibr´e conormal T _Y ^∗ X ` a Y ne rencontre pas la vari´et´e caract´eristique car(M) au dehors de la section nulle T <sub>X</sub> <sup>∗</sup> X). On note par O <sub>X</sub> le faisceau des fonctions holomorphes sur X et par M <sub>Y</sub> la restriction de M ` a Y au sens des D-modules (i.e. le syst`eme induit).

Th´ eor` eme de Cauchy-Kowalevski-Kashiwara. On a l’isomorphisme naturel (1.1) RHom _D

(M, O _X )| _Y −→ RHom ^∼ _D

(M _Y , O _Y ).

Dans le cas o` u Y est une hypersurface et M est associ´e ` a un op´erateur diff´erentiel P de degr´e m (i.e. M = D _X /D _X P ), on retrouve le th´eor`eme classique de Cauchy- Kowalevski. En effet on a RHom _D

(M, O _X ) ' [O _X → O ^P _X ] et RHom _D

(M _Y , O _Y ) ' O _Y ^m . La cohomologie de (1.1) nous dit alors en degr´e 0 que KerP | _Y ' O _Y ^m (i.e. on peut r´esoudre P u = 0, γ(u) = (w _i ) ∈ O ^m _Y au voisinage de Y ) et en degr´e 1 que CokerP | _Y = 0 (i.e. on peut r´esoudre P u = v ∈ O _X au voisinage de Y ).

1.2. On peut se poser un probl`eme analogue au pr´ec´edent en rempla¸cant O X et O Y

par divers faisceaux de fonctions holomorphes ramifi´ees. Consid´erons par exemple la situation suivante: Z ⊂ Y est une hypersurface; car(M) ⊂ V , o` u V est une vari´et´e involutive de ˙ T ^∗ X, lisse sur ˙ T ^∗ X = T ^∗ X \ T _X ^∗ X, et telle que son flot Hamiltonien issue de ˙ T _Z ^∗ Y soit la r´eunion de m Lagrangiennes disjointes ˙ T _Z ^∗

X, avec Z _i hypersurface de X transverse ` a Y , Y ∩ Z _i = Z. Si O ^ram _Z/Y est le faisceau des fonctions holomorphes sur Y ramifi´ees le long de Z et P

i O ^ram _Z

_/X est le faisceau des sommes de fonctions holomorphes sur X ramifi´ees le long des Z _i , le probl`eme de Cauchy ` a donn´ees holomorphes ramifi´ees se traduit par l’isomorphisme

(1.2) RHom _D

(M, X

i

O _Z ^ram

_/X )| _Z −→ RHom ^∼ _D

(M _Y , O ^ram _Z/Y )| _Z

Appeared in: S´ eminaire sur les ´ Equations aux D´ eriv´ ees Partielles, 1991–1992, ´ Ecole Poly- tech., Palaiseau, 1992, pp. Exp. No. VII, 9.

1

(voir le Th´eor`eme 3.1 pour un ´enonc´e pr´ecis).

• Dans le cas o` u M = D <sub>X</sub> /D <sub>X</sub> P (1.2) correspond au th´eor`eme de Hamada, Leray et Wagschal [H-L-W]. La d´emonstration de ce r´esultat donn´ee dans [H-L-W] consiste ` a travailler sur le revˆetement universel de X \ Z <sub>i</sub> et ` a utiliser des op´erateurs integro-diff´erentiels et diverses estimations.

• Une autre d´emonstration, bas´ee sur l’utilisation des op´erateurs pseudo- diff´erentiels et des transformations de contact complexes, a ´et´e propos´ee par Pallu de la Barri`ere et Schapira [P-S].

• Le cas des syst`emes est trait´e par Kashiwara et Schapira [K-S 1] pour des ramifications de type logarithmique (sous une hypoth`ese g´eom´etrique plus faible: “non-microcaract´eristique” au lieu que “multiplicit´ees constantes”).

• Le th´eor`eme de Hamada, Leray et Wagschal pour un op´erateur a ´et´e r´ecemment g´en´eralis´e au cas des fonctions holomorphes ramifi´ees sur X \ ∪ i Z i par Leitchnam [Le 1].

1.3. On peut unifier les ´enonc´es pr´ec´edents en remarquant qu’un faisceau de fonc- tions holomorphes ramifi´ees le long d’une sous-vari´et´e T de X (ramifi´ees g´en´erales, ramifi´ees de type logarithmique, etc.) peut s’´ecrire comme RHom(K, O _X ) o` u K est un faisceau localement constant sur X \ T (cf. §3.1). Le complexe des solu- tions ramifi´ees “du type K” d’un D <sub>X</sub> -module coh´erent M est alors le complexe RHom(K, F ), o` u F = RHom _D

(M, O _X ). Le probl`eme de Cauchy ` a donn´ees holo- morphes ramifi´ees s’´ecrit donc sous la forme

(1.3) RHom(K, F )| _Z −→ RHom(L, F | ^∼ _Y )| _Z pour K et L bien choisis.

Nous nous proposons de donner ici un th´eor`eme g´en´eral de ce type (bas´e sur une version microlocale due ` a [K-S 2]) et de montrer comment retrouver les r´esultats classiques ´enonc´es plus haut (sauf celui de [Le 1]), ainsi d’ailleurs que d’autres r´esultats comme par exemple le cas de la “queue d’aronde” trait´e r´ecemment dans ce s´eminaire par Leitchnam [Le 2]. Dans cette interpr´etation la vari´et´e caract´eristique de M est remplac´ee par le micro-support SS(F ) du complexe F des solution holo- morphes. On a en effet (cf. [K-S 2, ch. 11])

SS(RHom _D

(M, O _X )) = car(M),

o` u l’inclusion · ⊂ · (qui est la seule que nous utilisons ici) se d´eduit ais´ement du th´eor`eme de Cauchy-Kowaleski dans la version pr´ecis´ee de Leray [L].

§2. Le probl` eme de Cauchy faisceautique

2.1. Nous ´enon¸cons dans ce paragraphe un th´eor`eme d’image inverse pour les fais- ceaux du type (1.3). Nous soulignons l’aspect purement faisceautique de ce r´esultat.

En particulier:

• les vari´et´es trait´ees sont analytiques r´eelles,

• il n’y a plus d’op´erateurs diff´erentiels.

2.2. Nous reprenons ici les notations de [K-S 1].

Soit X une vari´et´e analytique r´eelle et π X : T ^∗ X → X son fibr´e cotangent. On note ˙ T ^∗ X := T ^∗ X \ T _X ^∗ X. Soit f : Y → X un morphisme de vari´et´es r´eelles. On note ^t f ⁰ et f _π les applications naturelles associ´ees:

T ^∗ Y

t

f

←− Y × _X T ^∗ X −→ T ^f

^∗ X.

On pose T _Y ^∗ X = ^t f ⁰⁻¹ (T _Y ^∗ Y ). Si A et B sont deux sous-ensembles coniques de T ^∗ X on note C(A, B) le cˆ one de Whitney de A le long de B. C’est un sous-ensemble biconique de T T ^∗ X ∼ = T ^∗ T ^∗ X.

On note D ^b (X) la cat´egorie d´eriv´ee de la cat´egorie des complexes born´es de faisceaux de C I -vectoriels sur X. Si T est une partie localement ferm´ee de X, on note C I _T le faisceau qui vaut 0 sur X \ T et qui est le faisceau constant de fibre C I sur T . Si F est un objet de D ^b (X), on lui associe son micro-support SS(F ), un sous-ensemble conique, involutif et ferm´e de T ^∗ X, et on dit que f : Y → X est non-caract´eristique pour F si f _π ⁻¹ (SS(F )) ∩ T _Y ^∗ X ⊂ Y × X T _X ^∗ X.

2.3. Soit f : Y → X un morphisme de vari´et´es analytiques r´eelles et Z un sous- ensemble de Y . On se place dans le cadre suivant:

(i) F est un objet de D ^b (X),

(ii) K _i (i = 1, . . . , m) est un object faiblement IR-constructible de D ^b (X), (iii) L est un object faiblement IR-constructible de D ^b (Y ),

(iv) τ _i : K _i → C I _X (i = 1, . . . , m) est un morphisme,

(v) ψ i : L → f ⁻¹ (K i ) (i = 1, . . . , m) est un isomorphisme.

A partir des K _i , on d´efinit un complexe K (` a isomorphisme pr`es) comme suit:

(vi) K est le troisi`eme terme du triangle distingu´e K → ⊕ <sup>m</sup> <sub>i=1</sub> K <sub>i</sub> → ⊕ <sup>h m−1</sup> <sub>i=1</sub> C I <sub>X</sub> <sup>+1</sup> →, o` u h est le compos´e du morphisme ⊕ ^m _i=1 τ _j avec le morphisme ⊕ ^m _i=1 C I _X → ⊕ ^m−1 _i=1 C I _X donn´e par (a 1 , . . . , a _m ) 7→ (a 2 − a 1 , . . . , a _m − a _m−1 ).

Th´ eor` eme 2.1. On fait les hypoth`eses:

(H1) f est non-caract´eristique pour F ,

(H2) f est non-caract´eristique pour K _i (i = 1, . . . , m),

(H3) f π est non-caract´eristique pour C(SS(F ), SS(K i )) (i = 1, . . . , m),

(H4) pour tout p _Y ∈ ˙π _Y ⁻¹ (Z) il existe un ensemble fini {p 1 , . . . , p _m } ⊂ ^t f ⁰⁻¹ (p _Y ) tel que

t f ⁰⁻¹ (p Y ) ∩ f _π ⁻¹ (SS(F )) ⊂ {p 1 , . . . , p m },

t f ⁰⁻¹ (p _Y ) ∩ f _π ⁻¹ (SS(K _i )) ⊂ {p _i },

(H5) pour tout y ∈ Z, f ⁻¹ (τ _i ) ◦ ψ _i (i = 1, . . . , m) induit un isomorphisme RΓ _{y} L → RΓ ^∼ _{y} C I _Y .

Alors pour K ∈ D ^b (X) construit ` a partir des K _i comme dans (vi), on a un isomor- phisme naturel induit par les ψ _i

(2.1) f ⁻¹ RHom(K, F )  

Z

−→ RHom(L, f ∼ ⁻¹ F )  

Z .

Id´ee de la preuve. Suivant une technique introduite dans [K-S 1], on consid`ere le morphisme de triangles distingu´es:

(2.2)

Rπ _{Y !} A −→ Rπ _{Y ∗} A −→ R ˙π _{Y ∗} A −→ ⁺¹

↓ ↓ ↓

Rπ Y ! B −→ Rπ Y ∗ B −→ R ˙π Y ∗ B −→, ⁺¹

o` u A = R <sup>t</sup> f ! <sup>0</sup> f <sub>π</sub> <sup>−1</sup> µhom(K, F ), B = µhom(L, f <sup>−1</sup> F ) et µhom d´esigne le bifoncteur de microlocalisation de [K-S 2]. Si l’on rappelle l’isomorphisme Rπ <sub>X∗</sub> µhom(·, ·) ' RHom(·, ·), on s’aper¸coit que le morphisme (2.1) n’est autre que la deuxi`eme fl`eche verticale de (2.2). On est donc ramen´e ` a montrer que la premi`ere et la troisi`eme fl`eche verticales de (2.2) sont des isomorphismes sur Z.

On d´eduit que la premi`ere fl`eche est un isomorphisme de l’hypoth`ese (H5). On traite ensuite la troisi`eme fl`eche ` a l’aide du Th´eor`eme 6.7.1 de [K-S 2] en utilisant l’hypoth`ese (H3). q.e.d.

2.4. Comme on l’a d´ej` a dit, le Th´eor`eme 2.1 est l’´equivalent faisceautique de la Proposition 4.2 de [K-S 1] concernant les D-modules et, comme dans [K-S 1], sa preuve consiste essentiellement en la r´eduction de (2.1) ` a un ´enonc´e microlo- cal. Cependant une nouvelle difficult´e apparait ici. Dans le cas des D <sub>X</sub> -modules l’analyse microlocale est achev´ee dans le cadre des E <sub>X</sub> -modules. En th´eorie des faisceaux, le correspondant microlocale de D <sup>b</sup> (X) est son localis´e D <sup>b</sup> (X; p) et ici le d´ecoupage est nettement plus difficile (faisant intervenir les notions de ind et pro-objets et d’image inverse microlocale f <sub>µ,p</sub> <sup>−1</sup> ). Le Th´eor`eme 2.1 pr´esent´e ici est en fait un corollaire de th´eor`emes plus g´en´eraux (cf. [D’A-S], [D’A]) par lesquels on arrive ` a traiter aussi d’autres applications int´eressantes tel que le probl`eme de Cauchy hyperbolique pour les hyperfonctions. Cet ´enonc´e est cependant suffisant pour traiter les applications au probl`eme de Cauchy ramifi´e.

§3. Probl` eme de Cauchy holomorphe ramifi´ e

Dans ce paragraphe nous montrons comme retrouver, ` a partir du Th´eor`eme 2.1, les r´esultats classiques sur le probl`eme de Cauchy ` a donn´ees holomorphes ramifi´ees mentionn´es dans l’introduction.

On se place ici ` a nouveau dans la cat´egorie des vari´et´es analytiques complexes.

3.1. Soit X une vari´et´e, Y et Z i (i = 1, . . . , m) des hypersurfaces lisses de X et Z une hypersurface lisse de Y . On suppose que les Z _i sont deux ` a deux transverses et transverses ` a Y avec Z i ∩ Y = Z. Soient donn´ees des fonctions holomorphes g : Y → C I , g _i : X → C I telles que g _i ◦ f = g et Z = g ⁻¹ (0), Z _i = g ⁻¹ _i (0), o` u on note par f l’immersion de Y dans X.

Si p : g CI _{0} → C I est le recouvrement universel de C I \ {0}, le recouvrement universel p _Y : f Y _Z → Y de Y \ Z est donn´e par f Y _Z = g C I _{0} × C I Y . Autrement dit on a le diagrame cart´esien:

Y f _Z −→ C I g _{0}

p

↓ ^p ↓

Y −→ ^g CI.

Une section de O _{Y f}

Z

' p ⁻¹ _Y O _Y d´efinit une fonction holomorphe multiforme sur

Y \ Z. Par le formalisme de Deligne [D] (cf. [A] pour une exposition adapt´e ` a notre

cadre) on peut d´ecrire le faisceau O _Z/Y ^ram := Rp Y ∗ p ⁻¹ _Y O Y des fonctions holomorphes ramifi´ees associ´ees ` a p <sub>Y</sub> sous une forme qui convient ` a l’´enonc´e du Th´eor`eme 2.1.

On a en effet que p ⁻¹ _Y O _Y ' p ^! _Y O _Y et p _{Y !} est un foncteur exact. Par dualit´e de Poincar´e-Verdier on obtient alors

O _{Y /Z} ^ram = Rp _{Y ∗} p ⁻¹ _Y O _Y

' Rp Y ∗ RHom(C I _{g Z}

, p ^! _Y O Y ) ' RHom(p _{Y !} C I _{Y f}

Z

, O _Y ).

On pose K _Z/Y ^ram = p _{Y !} C I _{Y f}

= g ⁻¹ p ! CI _{C I g}

{0}

.

Le r´ecouvrement universel p _i : g X _Z

→ X de X \ Z _i est donn´e par g X _Z

= g C I _{0} × C I

X. On a alors O _Z ^ram

_/X = RHom(K _Z ^ram

_/X , O _X ). Si K est le complexe construit dans (vi) ` a partir des K i = K _Z ^ram

_/X , le complexe P

i O _Z ^ram

_/X := RHom(K, O X ) est concentr´e en degr´e z´ero et est d´efini par la suite exacte courte

(3.1) 0 −→ (O X ) ^m−1 −→ ⊕ ^m _i=1 O _Z ^ram

_/X −→ X

i

O ^ram _Z

_/X −→ 0,

o` u la deuxi`eme fl`eche est d´efinie par (f 1 , . . . , f m−1 ) 7→ (f 1 , f 2 − f 1 , . . . , −f m−1 ).

Soit M un D _X -module coh´erent tel que

(3.2) 1 f _π est non-caract´eristique pour C(car(M), ˙ T _Z ^∗

X) (i = 1, . . . , m), (3.2) 2 car(M) ∩ ^t f ⁰⁻¹ (T _Z ^∗ Y ) ⊂ ∪ _i T _Z ^∗

X.

(Remarquons que (3.2) 2 entraine que f est non-caract´eristique pour M.)

Le probl`eme de Cauchy ` a donn´ees holomorphes ramifi´ees s’´ecrit donc, dans le language des D-modules, sous la forme:

Th´ eor` eme 3.1. On a un isomorphisme naturel:

(3.3) RHom D

(M, X

i

O _Z ^ram

_/X )| Z −→ RHom D

(M Y , O ^ram _Z/Y )| Z

Preuve. Avec les notations du Th´eor`eme 2.1, on pose F = RHom _D

(M, O _X ), K i = K _Z ^ram

_/X , L = K _Z/Y ^ram et l’on note qu’on a les morphismes naturels d’adjonction τ : L = p Y ! p ^! _Y C I Y → C I Y , τ i : K i = p X! p ^! _X C I X → CI X . Toutes les hypoth`ese du Th´eor`eme 2.1 sont alors ais´ement v´erifi´ees sauf, peut-ˆetre, (H5) qui d´ecoule du Lemme 3.2 suivant. q.e.d.

Lemme 3.2. Le morphisms τ induit pour tout y ∈ Z un isomorphisme:

RΓ _{y} L −→ RΓ ^∼ _{y} C I _Y .

Preuve. On a les isomorphismes RΓ _{y} L ' RΓ _{y} g ⁻¹ p ! C I _{C I g}

{0}

' g ⁻¹ RΓ _{0} p ! C I _{C I g}

{0}

et RΓ _{y} C I _Y ' RΓ _{y} g ⁻¹ C I C I ' g ⁻¹ RΓ _{0} C I C I et on est alors r´eduit ` a prouver l’isomorphisme RΓ _{0} p ! C I _{C I g}

{0}

' RΓ _{0} C I C I . Comme p ! C I _{C I g}

{0}

est IR ⁺ -conique pour l’action de IR ⁺ sur C I , on a RΓ(C I , RΓ _{0} p ! C I _{C I g}

{0}

) ' RΓ c (C I , p ! C I _{C I g}

{0}

) = RΓ c ( g C I _{0} , C I _{C I g}

{0}

) ' C I [2], et donc RΓ _{0} p ! C I _{C I g}

{0}

' C I _{0} [2] ' RΓ _{0} C I C I . q.e.d.

Remarque 3.3. Dans le cas d’un D X -module M de la forme M = D X /D X P , o` u P est un op´erateur diff´erentiel de degr´e m ` a caract´eristiques simples transverses ` a Y × X T <sup>∗</sup> X, on retrouve ainsi le th´eor`eme de [H-L-W].

Remarque 3.4. La mˆeme d´emonstration s’applique en rempla¸cant les faisceaux O _Z/Y ^ram , P

i O ^ram _Z

_/X des fonctions holomorphes ramifi´ees du type g´en´eral par les fais- ceaux O ¹ _Z/Y , P

i O ¹ _Z

_/X des fonctions ` a ramification de type logarithmique (c’est alors un r´esultat de [K-S 1])

3.2. Soit 0 ∈ X un sous-ensemble ouvert de C I ⁿ⁺¹ avec coordonn´ees x = (x 0 , x ⁰ ) et soit Y = {x ∈ X; x 0 = 0}. Soit T ⊂ Y la queue d’aronde d´efinie en tant que le lieu des points x ⁰ ∈ Y tels que le polynˆ ome en z, A(z, x ⁰ ) = z ⁿ⁺¹ −x _n z ⁿ⁻¹ −· · ·−x 2 z−x 1 , ait au moins une racine double. Soit e Y ⊂ C I _z × Y la vari´et´e d’´equation A(z, x ⁰ ) = 0.

On consid`ere le morphisme induit par la projection sur le premier facteur p : e Y → Y . La queue d’aronde T est alors l’image des points de e Y o` u p n’est pas de rang maximum (le “contour apparent” de e Y ). On remarque aussi que, mˆeme si T est une vari´et´e singuli`ere, sa conormale Λ = T _T ^∗

reg

Y est une Lagrangienne, lisse dans T ˙ ^∗ X, qui a une seule direction au dessus de 0.

Le faisceau p ! CI _{Y e} a son micro-support dans T _Y ^∗ Y ∪ Λ. En particulier il est lo- calement constant sur Y \ T . Le faisceau O ^ram _{T /Y} := RHom(p ! C I _{Y e} , O Y ) est alors un faisceau de fonctions holomorphes sur Y ramifi´ees le long de T .

Soit T _i (i = 1, . . . , m) une queue d’aronde de X et soit Λ _i = T _T ^∗

i reg

X. On suppose les T _i deux ` a deux transverses (i.e. Λ <sub>i</sub> ∩ Λ <sub>j</sub> ⊂ T <sub>X</sub> <sup>∗</sup> X pour i 6= j) et transverses ` a Y avec T _i ∩ Y = T . Soit M un D _X -module coh´erent tel que

(3.4) 1 f π est non-caract´eristique pour C(car(M), Λ i ) (i = 1, . . . , m), (3.4) 2 car(M) ∩ ^t f ⁰⁻¹ (Λ) ⊂ ∪ _i Λ _i .

En d´efinissant P

i O ^ram _T

_/X comme dans (3.1) on peut alors ´enoncer le Th´ eor` eme 3.5. On a un isomorphisme naturel:

RHom D

(M, X

i

O _T ^ram

_/X ) _{0} −→ RHom D

(M Y , O _{T /Y} ^ram ) _{0}

Comme pour le Th´eor`eme 3.1 cet ´enonc´e est un corollaire imm´ediate du Th´eor`eme 2.1, la seule v´erification ` a faire ´etant l’isomorphisme:

RΓ _{0} p ! C I _{Y e} → RΓ ^∼ _{0} C I Y .

Ce dernier point d´ecoule du fait que la fibre de p au dessus de 0 est reduite ` a un point, et que e Y est une vari´et´e complexe de la mˆeme dimension que Y .

Remarque 3.6. Dans le cas d’un D _X -module M de la forme M = D _X /D _X P , o` u

P est un op´erateur diff´erentiel de degr´e m ` a caract´eristiques simples transverses ` a

Y × _X T ^∗ X, on retrouve le th´eor`eme de [Le 2] (dans ce travail Leitchnam montre

aussi que le flot de car(P ) issue de Λ est une r´eunion de conormales ` a des queues

d’arondes).

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D´ epartement de Math´ ematiques (URA CNRS 742), Universit´ e Paris Nord, F-93430 Villetaneuse, France

Dipartimento di Matematica, Universit` a di Padova, via Belzoni 7, I-35131 Padova,

Italie