HYPOELLIPTICITE AU BORD POUR LES SYSTEMES A CARACTERISTIQUES SIMPLES Andrea D’Agnolo Giuseppe Zampieri

SYSTEMES A CARACTERISTIQUES SIMPLES

Andrea D’Agnolo Giuseppe Zampieri

Abstract. Let M be a real C

submanifold of a complex analytic manifold X, and let M be a system of partial differential equations with complex simple characteristics on X. Let Ω ⊂ M be an open subset with C

boundary S = ∂Ω.

Here, we prove a theorem of microlocal hypoellipticity at the boundary for the solutions of the system M. More precisely, we give a criterion for the vanishing of the cohomology of the complex RHom

(M, C

) of microfunction at the boundary solutions of the system. This work extends to the case of boundary value problems previous results of [S-K-K], [K-S 2], [D’A-Z 2].

R´ esum´ e. Soit M une sous-vari´ et´ e r´ eelle de classe C

d’une vari´ et´ e complexe analy- tique X, et soit M un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ` a caract´ eristiques complexes simples dans X. Soit Ω ⊂ M un ouvert ` a bord C

S = ∂Ω.

On prouve ici un th´ eor` eme d’hypoellipticit´ e microlocale au bord pour les solutions du syst` eme M. Plus precis´ emment, on donne un crit` ere d’annulation de la cohomo- logie pour le complexe RHom

(M, C

) des microfonctions au bord solutions du syst` eme. Ce travail ´ etend au cas des probl` emes aux limites r´ esultats pr´ ec´ edents de [S-K-K], [K-S 2], [D’A-Z 2].

R´ esum´ e des resultats classiques

Soit M un syst` eme d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles lin´ eaires analytiques ` a ca- ract´ eristiques complexes simples sur une vari´ et´ e analytique r´ eelle M de complexifi´ e X. Dans l’oeuvre classique [S-K-K], Sato, Kawa¨ı et Kashiwara d´ emontrent qu’au voisinage d’un point r´ eel p ∈ char M∩T _M ^∗ X de la vari´ et´ e caract´ eristique du syst` eme, M se r´ eduit par une transformation de contact quantifi´ ee (pr´ eservant le fibr´ e conor- mal T <sub>M</sub> <sup>∗</sup> X) aux mod` eles suivants: Cauchy-Riemann, de Rham, Lewy-Mizohata. En outre, ils montrent qu’il y a un lien entre l’annulation de cohomologie du complexe des solutions microfonctions de M et les nombres de valeurs propres positives et n´ egative de la forme de Levi g´ en´ eralis´ ee du syst` eme. Par exemple, l’op´ erateur de Lewy-Mizohata P = D ₁ + ix ₁ D ₂ est hypoelliptique (i.e. injectif en tant que endomorphisme de l’espace des microfonctions) au voisinage du point microlocale p = (0; idx ₂ ), tandis qu’il est r´ esoluble (i.e. surjectif) au point p = (0; −idx ₂ ).

En utilisant la m´ ethode de [K-S 2], nous montrerons comment ´ etendre ces r´ esultats d’annulation de cohomologie aux solutions microfonctions au bord.

§ 1 Formes de Levi g´ en´ eralis´ ees

Soit X une vari´ et´ e analytique complexe, π : T ^∗ X → X son fibr´ e cotangent, α X = α ^R _X + iα ^R _X (resp. σ X = σ _X ^R + iσ _X ^R ) la 1-forme (resp. 2-forme) sur T ^∗ X. Notons

Appeared in: Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino 51 (1993), no. 4, 413–421 (1994), Partial differential equations, I (Turin, 1993).

1

par X ^R la vari´ et´ e analytique r´ eelle sous-jacente ` a X, et consid´ erons l’identification T <sup>∗</sup> (X <sup>R</sup> ) ' (T <sup>∗</sup> X) <sup>R</sup> obtenue en munisant T <sup>∗</sup> (X <sup>R</sup> ) de la 1-forme α <sup>R</sup> <sub>X</sub> . Soit M une sous-vari´ et´ e C <sup>2</sup> de X <sup>R</sup> , p ∈ ˙ T <sub>M</sub> <sup>∗</sup> X un point du fibr´ e conormal ` a M priv´ e de la section nulle. Si φ = 0 est une ´ equation de M au voisinage de x = π(p), telle que d φ(x) = p, on d´ efinit la forme de Levi de M en p par

(1.1) L _M (p) = ∂∂φ| _T

x

M ,

o` u T <sub>x</sub> <sup>C</sup> M = T <sub>x</sub> M ∩ iT <sub>x</sub> M note l’espace vectoriel complexe tangent ` a M .

Soient λ 0 = T p π ⁻¹ (x), λ M = T p T _M ^∗ X, µ = λ M ∩ iλ M (un plan isotrope), et consid´ erons la forme Hermitienne L _λ

_/λ

sur λ ^µ ₀ = (λ ₀ ∩ µ ^⊥ )/µ d´ efinie par

(1.2) L _λ

_/λ

(v, w) = σ _X ^µ (v, w ^c ),

o` u σ <sub>X</sub> <sup>µ</sup> note la forme symplectique induite par σ X sur µ <sup>⊥</sup> /µ, et w <sup>c</sup> note le conjugu´ e de w par rapport ` a l’identification µ ^⊥ /µ = C ⊗ _R λ ^µ _M . D’apr` es [S], [D’A-Z 1] on a une ´ equivalence

L _M (p) ∼ L _λ

_/λ

en rang et signature, ce qui montre entre outre l’ind´ ependance de (1.1) par rapport au choix de l’´ equation φ.

Notons que la d´ efinition (1.2) garde un sens quand l’on remplace λ _M par n’importe quelle Lagrangienne λ de T ^∗ X ^R et λ 0 par n’importe quel plan isotrope complexe ρ de T ^∗ X. En particulier, si V ⊂ ˙ T ^∗ X est une vari´ et´ e involutive r´ eguli` ere au voisinage de p et ρ = T p V ^⊥ , on obtient la forme L _λ

_/ρ qui s’av` ere ˆ etre ´ equivalente ` a la forme de Levi g´ en´ eralis´ ee L T

X (V, p) de Sato, Kawa¨ı et Kashiwara [S-K-K, Def. 2.3.1]

(cf. [K-S 2], [D’A-Z 2]). En effet, soit f i = 0, i = 1, . . . , l un syst` eme d’´ equations ind´ ependantes pour V et supposons que ρ ⊂ λ _M + iλ _M . Alors L _λ

_/ρ est la forme Hermitienne de matrice {f i , f _J ^c } i,j dans la base H f

de ρ, o` u {·, ·} note le crochet de Poisson, f _j ^c est la seule fonction holomorphe de T ^∗ X telle que f _j ^c | T

X = f _j | T

X , et H _f

note le champ Hamiltonien.

Exemple. Soient M = R ⁿ , X = C ⁿ , et V ⊂ T ^∗ X l’hypersurface donn´ ee par l’´ equation f = 0. Si f = f ^R + if ^I avec f ^R | _T

M

X = Re f | _T

M

X , et f ^I | _T

M

X = Im f | _T

M

X , alors

L _T

Rn

C

(V, p) = {f, f ^c }(p) = −2i{f ^R , f ^I }.

En particulier, si V est la vari´ et´ e caract´ eristique de l’op´ erateur de Lewy-Mizohata P = D ₁ + ix ₁ D ₂ et f = σ(P ) = (−iζ ₁ ) + iz ₁ (−iζ ₂ ), alors

{f, f ^c }(±id x 2 ) = −2i{−iζ 1 , z 1 (−iζ 2 )}(±id x 2 ) = 2iζ 2 (±id x 2 ) = ∓2.

Notations. On note par s ^± _M (p) (resp. s ^± _M,V (p)) le nombre de valeurs propres pos- itives et n´ egative de L _M (p) (resp. L _T

M

X (V, p)), et par δ _M,V (p) la codimension de ρ ∩ (λ _M ∩ iλ _M ) dans ρ = (T _p V ) ^⊥ .

Soient S ⊂ M deux sous-vari´ et´ es C ² de X ^R . D’apr` es [D’A-Z 1], [D’A-Z 2], pour p ∈ S × M T ˙ _M ^∗ X on a les estimations:

s ^± _S (p) ≤ s ^± _M (p) ≤ s ^± _S (p) + cod _T

p

M T _p ^C S, (1.3)

s ^± _M,V (p) + δ _M,V (p) ≤ s ^± _S,V (p) + δ _S,V (p).

(1.4)

§ 2. Enonc´ e du r´ esultat principal

Soient X une vari´ et´ e analytique complexe, S ⊂ M deux sous-vari´ et´ es C ² de X ^R , et p ∈ S × _M T ˙ _M ^∗ X un point tel que ip / ∈ T _S ^∗ X. On note par

γ M (x) = dim ^C (T _M ^∗ X x ∩ iT _M ^∗ X x ) (= dim ^C (λ M ∩ iλ M ∩ λ 0 ))

le “d´ efaut de g´ en´ ericit´ e” de M en x = π(p). Soit Ω une composante connexe de M \ S au voisinage de x. Suivant [K-S 1] et [S 2], on d´ efinit les complexes

B _Ω/X = RΓ Ω (O X ) ⊗ or _M/X [cod ^R _X M − γ M (x)], C _Ω/X = µ Ω (O X ) ⊗ or _M/X [cod ^R _X M − γ M (x)],

des hyperfonctions (resp. microfonctions) le long de Ω au voisinage de x et p res- pectivement. Moyennant le morphisme spectral

π ⁻¹ H ⁰ (B _Ω/X ) → H ^{j 0} C _Ω/X ,

on d´ efinit d’apr` es [S 2] le micro-support au bord de u ∈ H ⁰ (B _Ω/X ) par SS Ω (u) = supp j(u).

Exemple. Si M est une vari´ et´ e analytique r´ eelle de complexifi´ e X, cette d´ efinition co¨ıncide sur Ω avec celle usuelle de micro-support SS(u) de Sato: SS Ω (u)| _π

_Ω = SS(u)| _π

_Ω . On d´ emontre aussi que p / ∈ SS Ω (u) si et seulement si u est somme de valeurs au bord sur M de fonctions holomorphes F _i d´ efinies dans des “wedges”

avec propri´ et´ e de cˆ one au bord ∂Ω, dont le “profile” Γ i ⊂ T M X v´ erifie p / ∈ −Γ ^◦ _i , l’antipodale du polaire de Γ _i .

Soit M un syst` eme diff´ erentiel ` a caract´ eristiques simples le long de V = char(M) au voisinage de p ∈ S × M T ˙ _M ^∗ X. On fera toujours l’hypoth` ese que

(2.1) V ∩ T _M ^∗ X et V ∩ T _S ^∗ X sont “clean”.

On note par C _Ω/X ^M = RHom _D

(M, C _Ω/X ) le complexe des solutions C _Ω/X de M, et par B _Ω/X ^M = RHom D

(M, B _Ω/X ) celui des solutions B _Ω/X .

Th´ eor` eme 2.1. On a

H ^j (C _Ω/X ^M ) p pour tout j < s ⁻ _M + (s ⁻ _M,V + δ M,V ).

Remarque.

(a) Si M est g´ en´ erique (i.e. γ _M = 0) et u = b _M (F ) est la valeur au bord sur M d’une fonction holomorphe F d´ efinie dans un “wedge” conique en ∂Ω ` a profile Γ, solution d’un syst` eme M tel que

 ou bien s ⁻ _M (p) ≥ 1 ∀p ∈ −Γ ^◦ ,

ou bien s ⁻ _M,V (p) + δ _M,V (p) ≥ 1 ∀p ∈ −Γ ^◦ ,

alors F s’´ etend ` a un domaine W dont le cˆ one de Whitney est un voisinage de Ω (e.g. si Ω = {x 1 > 0, x 2 = 0}, alors W ⊃ {|x 2 | < x 1 } pour quelque

 << 1).

(b) Si M est une vari´ et´ e analytique g´ en´ erique de complexifi´ e M ^C , alors B _Ω/X s’identifie au complexe RHom _D

M C

(∂ ^b , Γ _Ω B _M/M

) des hyperfonctions CR sur Ω, c’est ` a dire aux solutions hyperfonctions du syst` eme ∂ tangentiel.

En particulier

B _Ω/X ^M = B ^j

−1

M Ω/M

o` u j : M <sup>C</sup> → X est l’application lisse induite par l’immersion M ,→ X, et j <sup>−1</sup> M note le syst`eme induit sur M ^C . Nous avons cependant pr´ ef´ er´ e l’´ enonc´ e du Th´ eor` eme 2.1 qui mieux clarifie les contributions s <sup>−</sup> <sub>M</sub> et s <sup>−</sup> <sub>M,V</sub> + δ M,V de la vari´ et´ e M et du syst` eme M respectivement.

Id´ ee de la preuve du Th´ eor` eme 2.1. Pour Ω = M \ S, on a un triangle distingu´ e (2.2) µ S (O X ) ^M → µ M (O X ) ^M → µ Ω (O X ) ^{M +1} → .

D’apr` es [K-S 2], dans la version g´ en´ eralis´ ee de [D’A-Z 2], on peut montrer que H ^j µ M (O X ) ^M _p pour tout j < c 1M + c 2M ,

H ^j µ _S (O _X ) ^M _p pour tout j < c _1S + c _2S , o` u on pose

c _1M = cod _X M + s ⁻ _M − γ _M (x), c _2M = s ⁻ _M,V + δ _M,V , et de mˆ eme pour c 1S , c 2S .

Par les estimations (1.3), (1.4) on a c _1S +c _2S ≥ c _1M +c _2M , et donc H ^j (C _Ω/X ^M ) _p = 0 pour tout j < c _1M + c _2M − 1. Il nous reste ` a prouver l’annulation en degr´ e j = c 1M + c 2M − 1, ce que l’on d´ eduit du th´ eor` eme suivant. q.e.d.

Th´ eor` eme 2.2. Supposons

(2.3)  c 1M = c 1S ,

c 2M = c 2S .

Alors pour c = c _1M + c _2M = c _1S + c _2S le morphisme naturel (2.4) H ^c µ _S (O _X ) ^M _p → H ^c µ _M (O _X ) ^M _p est injectif.

Dans la mˆ eme lign´ ee on a aussi

Th´ eor` eme 2.3. Supposons (2.3) et aussi

(2.5) T _M ^∗ ^ X ∩ V = T _S ^∗ ^ X ∩ V ,

o` u T _M ^∗ ^ X ∩ V note la r´ eunion des feuilles bicaract´ eristiques de V issues de T _M ^∗ X ∩V . Alors

µ _S (O _X ) ^M _p → µ ^∼ _M (O _X ) ^M _p .

Exemple. Soit M est une vari´ et´ e analytique r´ eelle de complexifi´ e X, M = D _X /D _X P pour P = D 1 + ix 1 D 2 l’op´ erateur de Lewy-Mizohata. Soit p = (0; idx 2 ), et S = ∂Ω d´ efini par g = 0 avec dg / ∈ Rdx ₂ . Alors c _1M = c _1S = n; puisque en outre s ⁻ _M,V = 1, il en suit

H ⁰ (C _Ω/X ^M ) p = 0

(cf [T-U] pour le cas g = x 1 ). Donc, au point p l’op´ erateur de Lewy-Mizohata P est hypoelliptique au bord de Ω. Si en plus on choisit g = x ₁ , alors V ∩T _M ^∗ X = V ∩T _S ^∗ X et δ S,V = 1; donc (2.3), (2.5) sont satisfaites avec c 2M = c 2S = 1, et cela donne

(C _Ω/X ^M ) _p = 0.

§3. Id´ ee de la preuve des Th´ eor` emes 2.2 et 2.3.

On choisi une transformation de contact complexe χ telle que



 



 



χ(T _M ^∗ X) = T ^∗

M f X, cod ^R _X M = 1, f s ⁻

M f (χ(p)) = 0, χ(T _S ^∗ X) = T ^∗

S e X, cod ^R _X S = 1, e

χ(V ) = X × Y T ^∗ Y, pour une application lisse f : X → Y,

D’apr` es [K-S 3, ch. 7], on peut alors quantifier χ avec un noyau K pour obtenir ( φ K (C M ) ' C

M f [c 1M − 1], φ K (C S ) ' C

S e [c 1S − 1 − s ⁻

S e ].

Le foncteur φ K ´ echange le morphisme de restriction C M → C S en un morphisme non nul C

M f [c _1M − 1] → C

S e [c _1S − 1 − s ⁻

S e ]. Mais Hom _D

_(X;p) (C

M f [c 1M − 1], C

S e [c 1S − 1 − s ⁻

S e ]) ' H ⁰ µhom(C

M f , C

S e ) _χ(p) [c 1S − c 1M − s ⁻

S e ] ' H ⁰ RΓ

S e

(C

M f

) _π(χ(p)) [c 1S − c 1M − s ⁻

S e ], o` u D <sup>b</sup> (X; p) note la cat´ egorie “microlocale” des faisceaux d´ efinie par [K-S 3], et e S <sup>+</sup> et f M <sup>+</sup> notent les demi-espaces ferm´ es ` a bord S et M , et de conormale interne χ(p).

En remarquant que c 1S = c 1M on d´ eduit ( s ⁻

S e = 0, S e ⁺ ⊂ f M ⁺ .

Soit f π : χ(V ) → T ^∗ Y la projection le long des feuilles de χ(V ). Moyennant une nouvelle transformation en T ^∗ Y , on peut supposer que

( f _π ^t f ⁰⁻¹ (T ^∗

M f X) = T _N ^∗ Y, cod ^R _Y N = 1, s ⁻ _N = 0, f _π ^t f ⁰⁻¹ (T ^∗

S e X) = T _Z ^∗ Y, cod ^R _Y Z = 1, s ⁻ _Z = 0.

Soit f _! ^µ,p le foncteur d’image directe microlocale de [K-S 3, Ch. 6]. D’apr` es [K-S 2], [D’A-Z 2], on a

 f _! ^µ,p C

M f

[c 1M − 1] = C _N

[c 1M + c 2M − 1], f _! ^µ,p C

S e

[c 1S − 1] = C _Z

[c 1S + c 2S − 1],

avec c _jM = c _jM =: c _j (j = 1, 2). On obtient alors par adjonction µ M (O X ) ^M _p ∼ = RΓ

M f

(f ⁻¹ O Y ) _π(χ(p)) [1 − (c 1 + c 2 )]

∼ = RΓ N

(O Y ) _π(q) [1 − (c 1 + c 2 )],

pour q = f π (χ(p)). De mˆ eme pour µ S (O X ) ^M _p . En outre, le morphisme H ^c

^+c

µ _S (O _X ) ^M _p → H ^c

^+c

µ _M (O _X ) ^M _p

induit un morphisme

(3.1) H ¹ _Z

(O Y ) y → H ¹ _N

(O Y ) y ,

pour y = π(q). Pour prouver (2.4) il s’agit donc de prouver que ce dernier mor- phisme est injectif. Ce qui est une cons´ equence de la

Proposition 3.1. Le morphisme f _! ^µ,p : Hom _D

(X;p) (C

M f

, C

S e

) −→ Hom _D

(Y ;q) (C _N

, C _Z

) est un isomorphisme.

En effet, cette proposition entraˆıne que N ⁺ ⊂ Z ⁺ et que le morphisme (3.1) est induit par cette inclusion.

preuve de la Proposition 3.1. On pose M 1 = M , M 2 = S. On doit montrer que le morphisme

“lim”

←−

U 3x

Rf ! C _M

1

∩U −→ “lim”

←−

U 3x

Rf ! C _M

2

∩U

induit par C _M

1

→ C _M

2

est non nul. Pour cela il suffit de prouver que le morphisme induit

(3.2) “lim”

←−

U 3x



Rf ! C _M

1

∩U



y −→ “lim”

←−

U 3x



Rf ! C _M

2

∩U



y

est un isomorphisme.

On choisi un syst` eme de coordonn´ es locales (y, t) sur X et (y) = (y 1 , y <sup>0</sup> ) sur Y , tel que p = (0; d y <sub>1</sub> ), f (y, t) = y, M <sub>j</sub> = {y <sub>1</sub> = h <sub>j</sub> (y <sup>0</sup> , t)} avec h <sub>j</sub> = d h <sub>j</sub> = 0 sur M <sub>j</sub> au voisinage de x (j = 1, 2). D` es que (Rf _! C _M

2

∩U ) _y ∼ = RΓ c (f ⁻¹ (y)∩M ₂ ⁺ ∩U ; C _f

₍₀₎ ), dans ces coordonn´ es (3.2) se lit

(3.2)’

“lim”

←−

V 30

RΓ c ({V ∩{h 1 (0, t) ≤ 0}; C _R

t

) −→ “lim” ^∼

←−

V 30

RΓ c ({V ∩{h 2 (0, t) ≤ 0}; C _R

t

), o` u V est un voisinage de 0 dans R <sup>2n−2l</sup> <sub>t</sub> , l = cod <sup>C</sup> <sub>X</sub> V . Il est facile de voir que h j (0, t) s’annule ` a l’ordre 2 en 0. L’inclusion M ₁ ⁺ ⊃ M ₂ ⁺ implique que h 1 ≥ h 2 . En plus, par l’hypoth` ese (2.3) du Th´ eor` eme 2.2, on s’aper¸ coit que Hess _t h ₁ (0, t) et Hess t h 2 (0, t) ont le mˆ eme nombre de valeurs propres positives. L’injectivit´ e de (3.2)’ d´ ecoule alors de la proposition suivante pour m = 2n − 2l, h _j (t) = h _j (0, t), T = R ^m . q.e.d.

Pour h j : T → R (j = 1, 2) et δ, ε > 0, soit Z j = {t ∈ T ; h j (t) ≤ 0}

B δ,ε = {t ∈ T ; |u| < ε |v, w| < δε}.

Proposition 3.2. Supposons

(a) h ₁ et h ₂ nulle ` a l’ordre 2 en 0, (b) h 1 ≥ h 2 ,

(c) Hess h ₁ et Hess h ₂ ont le mˆ eme nombre s ⁺ de valeurs propres positives.

Soit d = m − s ⁺ . Alors il existe δ > 0 tel que pour tout 0 < ε << 1 (i) RΓ c (Z j ∩ B δ,ε ; C T ) ∼ = A[d],

(ii) le morphisme

RΓ c (Z 1 ∩ B δ,ε ; C T ) −→ RΓ c (Z 2 ∩ B δ,ε ; C T )

induit par le morphisme de restriction C Z

→ C Z

est un isomorphisme.

Preuve. On choisi un syst` eme de coordonn´ ees locales (t) = (u, v, w) sur T avec (u) = (u 1 , . . . , u _s

), (v) = (v 1 , . . . , v _s

) tel que au voisinage de 0:

h ₁ (t) = Q ₁ (u) − v ² + O(u)O(v) + O(|u| ³ ) + O(|v| ³ ), (3.3)

h 2 (t) = u ² − [v ² + Q 2 (v, w)] − R 2 (v, w) + O(u)O(v, w) + O(|u| ³ ) + O(|v| ³ ), (3.4)

o` u Q 1 , Q 2 sont des formes quadratiques avec Q 1 > 0, Q 2 ≥ 0 et 0 ≤ R 2 (v, w) = O(w)O(v, w) (cf [D’A-Z 4]).

Alors pour quelque 0 < δ < 1 les petites racines des ´ equations h 1 (u, v, w) = 0 et h ₂ (u, v, w) = 0 satisfont

δ|u| ≤ |v, w|.

Soit a T : T → {0} la projection. On se rappelle que

(3.5) RΓ c (Z j ∩ B δ,ε ; C T ) ∼ = Ra T ! C Z

∩B

. Factorisons a T moyennant

T −→ V ^q −→ {0}, ^a

o` u q est la restriction ` a T de la projection R ^m _u,v,w → R ^d _v,w , et V = q(T ) (on peut supposer T = B _a,b pour quelque a, b > 0). Si l’on prouve que pour 0 < ε << 1,

|v, w| < ε, l’ensemble q ⁻¹ (v, w) ∩ Z j ∩ B δ,ε est (non vide) compact et contractile, alors

Rq ! C Z

∩B

∼ = C B

,

o` u B <sub>δ,ε</sub> <sup>0</sup> = q(B δ,ε ) = {(v, w); |v, w| < δε}. D` es que Ra T ! = Ra V ! ◦ Rq ! et Ra V ! C _B

δ,ε

∼ = A[d], par (3.5) l’assertion (i) s’en suit.

Prouvons que q ⁻¹ (v, w) ∩ Z j ∩ B δ,ε est compact et contractile. Pour u _◦ ∈ R ^s _u

, λ > 0, soit u = λu _◦ . En prenant par exemple j = 1, on a h ₁ (λu _◦ , v) = 0 si et seulement si

[1 + O(λ)]λ ² + aλ − [v ² + O(|v| ³ )] = 0

qui admet deux petites racines λ, le discriminant ´ etant positif. Cela prouve (i).

Remarquons que (Rq ! C Z

∩B

) _(v,w) = RΓ c (C _(v,w) ^j ; C _R

u

) pour C _(v,w) ^j = q ⁻¹ (v, w)∩

Z _j ∩B _δ,ε . Par le mˆ eme argument comme avant, pour prouver (ii) il suffit de montrer que le morphisme

RΓ c (C _(v,w) ¹ ; C _R

u

) −→ RΓ c (C _(v,w) ² ; C _R

u

) induit par le morphisme de restriction C _C

(v,w)

→ C _C

(v,w)

est un isomorphisme pour

tout (v, w) ∈ B _δ,ε ⁰ . Ce qui est le cas d` es que C <sub>(v,w)</sub> <sup>1</sup> , C <sub>(v,w)</sub> <sup>2</sup> sont contractiles ` a un

point commun. q.e.d.

Remerciements

Nos remerciements vont ici ` a Pierre Schapira pour nous avoir pos´ e ce probl` eme et nous avoir suivi tout au long de sa solution, et ` a Jean-Pierre Schneiders pour des fr´ equentes discussions qui nous ont notamment permis d’aboutir ` a la formulation de la Proposition 3.2.

R´ ef´ erences Bibliographiques

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