Diario del Corso di Analisi - II Unit` a Didattica

Diario del Corso di Analisi - II Unit` a Didattica

Corsi di Laurea: Matematica, Fisica, Fisica Applicata Docente: Sisto Baldo

ATTENZIONE: Il presente Diario del Corso vuole essere un riassunto abba- stanza dettagliato di quello che `e stato detto in aula, e come tale pu`o essere un utile sussidio per chi voglia sistemare i propri appunti, o per chi sia stato assente e voglia ricostruire i contenuti di una lezione. D’altra parte, queste brevi paginette NON possono sostituire completamente un libro di testo, la lezione in aula o un’interazione diretta con il docente o l’esercitatrice: siete quindi invitati a servirvi ANCHE di queste altre opportunit`a per approfondire le vostre conoscenze!

Lezione del 19/2/2003 (2 ore): Nella prima unit`a didattica, abbiamo usato con qualche disinvoltura una propriet`a della derivata che non abbiamo dimostrato. Infatti, abbiamo osservato che siccome la derivata corrisponde geometricamente alla “pendenza del grafico”, se una funzione ha derivata positiva in un intervallo, essa sar`a ivi crescente.

Questo fatto `e intuitivamente vero, perch´e non si vede come una funzione possa avere il grafico “in salita” in tutti i punti di un intervallo senza essere anche crescente! D’altra parte, non ne abbiamo vista alcuna dimostrazione rigorosa: tale dimostrazione `e lo scopo di questa prima lezione.

Cominciamo col ricordare la seguente definizione:

DEFINIZIONE: Sia f : [a, b] → R. Un punto x

∈ [a, b] si dice di massimo relativo (risp., di minimo relativo) per f se esiste un intorno I

di x

tale che f (x) ≤ f (x

) (risp., f (x) ≥ f (x

)) per ogni x ∈ I

∩ [a, b].

Veniamo ad un primo, semplice risultato: se una funzione `e derivabile in un punto di massimo o minimo relativo interno all’intervallo di definizione, in quel punto la derivata si deve annullare:

TEOREMA: Sia f : [a, b] → R, x

∈ (a, b) un punto di massimo o minimo relativo per f . Se f `e derivabile in x

, allora f

(x

) = 0.

DIMOSTRAZIONE: Supponiamo per fissare le idee che x

sia di minimo relativo.

Consideriamo il rapporto incrementale per f in x

: f (x

+ h) − f (x

)

h .

Se prendiamo h abbastanza piccolo, in modo che x

+h appartenga all’intorno

I

nella definizione di minimo relativo, vediamo subito che il numeratore

`e maggiore o uguale a 0. Ne consegue che il rapporto incrementale sar`a positivo (o nullo) per h > 0 abbastanza piccolo, e negativo (o nullo) per h < 0 abbastanza piccolo in modulo. Ne segue che

f

(x

) = lim

x→x⁺₀

f (x

+ h) − f (x

)

h ≥ 0,

e contemporaneamente

f

(x

) = lim

x→x⁻₀

f (x

+ h) − f (x

)

h ≤ 0.

Dunque, f

(x

) = 0, Q.E.D.

Si noti che questo teorema pu`o essere falso per punti di massimo o minimo relativo che siano agli estremi dell’intervallo su cui f `e definita. Per esempio, si consideri la funzione f (x) = x sull’intervallo [0, 1]...

Due conseguenze di questo principio sono i teoremi di Rolle e di Lagrange, che sono tra i risultati pi`u importanti del calcolo differenziale per funzioni di una variabile:

TEOREMA (di Rolle): Sia f : [a, b] → R una funzione continua, derivabile nell’intervallo (a, b). Se f (a) = f (b), allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che f

(c) = 0.

DIMOSTRAZIONE: Grazie al teorema di Weierstrass, la funzione possiede un punto di massimo assoluto x

, e uno di minimo assoluto x

.

Se uno di questi punti appartiene all’interno dell’intervallo, esso `e anche di massimo o minimo relativo, e per il principio di Fermat la derivata si deve annullare in quel punto (che sar`a dunque il punto c cercato).

In caso contrario, x

e x

coincidono con gli estremi a e b dell’intervallo.

Allora, per ogni x ∈ [a, b] si ha

f (a) = f (x

) ≤ f (x) ≤ f (x

) = f (b) = f (a),

per cui il massimo e il minimo di f coincidono. Ne segue che f `e costante, e la sua derivata si annulla in tutti i punti dell’intervallo.

TEOREMA (di Lagrange): Sia f : [a, b] → R una funzione continua, de- rivabile nell’intervallo (a, b). Esiste un punto c ∈ (a, b) tale che f

(c) =

f (b)−f (a) b−a

.

DIMOSTRAZIONE: Consideriamo la funzione ausiliaria g(x) = f (x) − f (b) − f (a)

b − a (x − a).

Questa `e una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Inoltre g(a) = f (a) = g(b), per cui possimo applicare il teorema di Rolle e ottenere un punto c ∈ (a, b) tale che g

(c) = 0. Questo `e proprio il punto cercato. Q.E.D.

A lezione, abbiamo visto che le ipotesi di questi due teoremi non possono essere in generale indebolite, e abbiamo discusso il significato geometrico di questi risultati.

Quel che `e pi`u importante, `e comunque la seguente conseguenza del teorema di Lagrange:

COROLLARIO: Sia f : [a, b] → R una funzione derivabile. Se f

(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b], allora f `e crescente in [a, b].

Se f

`e invece minore o uguale a 0, la funzione `e decresente in [a, b].

Infine, se f

= 0 in tutto l’intervallo, la funzione `e costante.

DIMOSTRAZIONE: Facciamo vedere per esempio che vale la prima delle nostre affermazioni: supponiamo che f

(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b]. Siano poi x

e x

due punti di [a, b], con x

< x

. Applichiamo il teorema di Lagrange a f sull’intervallo [x

, x

]: troviamo c ∈ (x

, x

) tale che

f (x

) − f (x

) = (x

− x

)f

(c).

Per l’ipotesi sulla derivata, il membro di destra `e maggiore o uguale a zero.

Q.E.D.

Come conseguenza del teorema di Lagrange, abbiamo anche ottenuto un risultato semplice e utile: sia f una funzione derivabile in un intorno I

di x

, tranne eventualmente in x

. Se f `e continua in x

, e se esiste lim

x→x0

f

(x) = `, allora f `e derivabile anche in x

e f

(x

) = `.

Per ottenere questo risultato `e sufficiente applicare il teorema di Lagrange (o il teorema di l’Hˆopital) al rapporto incrementale di f in x

...

Lezione del 20/2/2003 (2 ore): Oggi ci occuperemo del problema di approssimare una funzione regolare, in un intorno di un punto, mediante polinomi.

Supponiamo di avere una funzione f derivabile in x

: se ci chiedessero qual `e la retta che meglio approssima il grafico di f vicino a x

, probabilmente risponderemmo tutti che `e la retta tangente y = f

(x

)(x − x

) + f (x

): la cosa `e ancora pi`u plausibile se facciamo un disegno!

Vediamo per`o di precisare meglio (in maniera quantitativa) in che senso

la retta tangente `e quella che approssima meglio f in un intorno di x

: se

g(x) = ax + b `e un polinomio di primo grado che approssima f , possiamo

scrivere che f (x) = g(x) + R(x), dove R(x) `e un “resto” che vogliamo sia il

pi`u piccolo possibile quando x si avvicina a x

.

Siccome R(x) = f (x) − a(x − x

) − b, notiamo subito che

x→x

lim

R(x) = 0 ⇐⇒ b = f (x

).

In questo senso, tutte le rette che passano per il punto (x

, f (x

) “appros- simano f ”, nel senso che il resto tende a zero quando x si avvicina a x

! Perch´e, dunque, la retta tangente `e meglio delle altre?

Perch´e `e l’unica per cui il resto tende a zero pi`u rapidamente di x − x

, cio`e `e l’unica per cui si abbia

x→x

lim

R(x)

(x − x

) = 0.

Infatti, siccome abbiamo gi`a osservato che deve essere b = f (x

), la quantit`a di cui dobbiamo fare il limite diventa:

R(x) x − x

= f (x) − f (x

) x − x

− a → f

(x

) − a.

Dunque, il limite `e zero se a = f

(x

), mentre `e non nullo in tutti gli altri casi.

Concludiamo dunque che la retta tangente `e la retta di migliore appros- simazione intorno a x

, nel senso che `e quella per cui il resto tende a 0 pi`u rapidamente quando x → x

!

Nel tentativo di generalizzare quanto appena scoperto, diventa naturale chiedersi qual `e il polinomio di grado n che meglio approssima una certa funzione f (che supporremo derivabile quante volte si vuole) in un intorno di x

. Ci viene il sospetto che sia un polinomio simile alla retta tangente, nel senso che le sue derivate fino alla n−esima nel punto x

dovranno coincidere con quelle di f ...

Per semplificarci la vita, supponiamo che sia x

= 0: ci si pu`o sempre ridurre a questa situazione con una traslazione lungo l’asse delle x.

Il polinomio di Taylor di grado n per f centrato in 0 `e definito da P

(x) = f (0) + f

(0)x + f

(0)

2! x

+ . . . + f

(0) n! x

=

Xn k=0

f

(0) k! x

. (Si noti che, ironia della sorte, il polinomio di Taylor “di grado n” ha in realt`a grado minore o uguale a n...)

LEMMA 1: Sia f una funzione derivabile n volte in x

. Tra tutti i polinomi

P (x) di grado minore o uguale a n, il polinomio di Taylor P

(x) `e l’unico

tale che P (0) = f (x), P

(0) = f

(0), P

(0) = f

(0), ..., P

(0) = f

(0).

DIM.: Il generico polinomio di grado minore o uguale a n sar`a della forma P (x) = a

+ a

x + a

x

+ . . . + a

x

.

Ora, derivando h volte il monomio x

si ottiene

x

se h ≤ k, mentre si ottiene 0 per h > k. Tale funzione `e sempre nulla in 0, tranne che nell’unico caso in cui h = k, quando vale k!.

Dunque, sostituendo nelle relazioni che abbiamo si ottiene P (0) = a

= f (0), P

(0) = a

= f

(0), P

(0) = 2a

= f

(0), e in generale (per k ≤ n) P

(0) = k!a

= f

(0). Di conseguenza, i coefficienti del polinomio devono essere proprio quelli che abbiamo attribuito al polinomio di Taylor di grado n. Q.E.D.

LEMMA 2: Sia g(x) una funzione derivabile n volte in un intorno di 0, con derivate fino all’n-esima continue in tale intorno. Se g(0) = g

(0) = g

(0) = . . . = g

(0) = 0, allora abbiamo

x→0

lim g(x)

x

= 0.

DIM.: Basta applicare n volte il teorema di L’Hˆopital (grazie alle nostre ipotesi, ad ogni passo abbiamo una forma indeterminata 0/0):

x→0

lim g(x)

x

= lim

x→0

g

(x)

nx

= . . . = lim

x→0

g

(x)

n!x = lim

x→0

g

(x) n! = 0.

A lezione, abbiamo osservato come modificando leggermente l’ultimo pas- saggio, lo stesso lemma si possa dimostrare anche se f ha (n − 1) derivate continue in un intorno di x

, ma la derivata n-esima esiste solo in x

. Q.E.D.

Osservazione: Se g `e come nel lemma, ma qualcuna delle derivate di ordine minore o uguale a n `e diversa da 0, il limite non pu`o essere 0: rifacendo lo stesso calcolo, si trova che `e infinito, oppure `e un numero diverso da zero.

Come corollario, otteniamo una prima forma del Teorema di Taylor:

TEOREMA (Di Taylor con resto di Peano): Sia f una funzione derivabile n volte in un intorno di 0 con derivate continue in tale intorno. Se P

(x) denota il polinomio di Taylor di grado n centrato in 0, allora

x→0

lim

f (x) − P

(x) x

= 0.

In altri termini, si ha f (x) = P

(x) + o(x

) per x → 0.

Tra tutti i polinomi di grado minore o uguale a n, il polinomio di Taylor

`e l’unico ad avere questa propriet`a.

DIM.: Grazie al Lemma 1, la funzione g(x) = f (x) − P

(x) soddisfa le ipotesi del Lemma 2, e il teorema risulta dimostrato. L’unicit`a del polinomio di Taylor rispetto a questa propriet`a segue dall’Osservazione fatta dopo la dimostrazione del Lemma 2. Q.E.D.

Osservazione: Grazie a quanto osservato nel Lemma2, il teorema rimane vero se chiediamo che f abbia n−1 derivate continue in un intorno di 0, e possieda la derivata n-esima in 0.

Osservazione: Se al posto di 0 prendiamo un generico punto x

, il polinomio di Taylor di grado n centrato in x

sar`a

P

(x) =

Xn k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

.

In questo caso, il teorema di Taylor dice che se f `e derivabile (n − 1) volte in un intorno di x

, e possiede derivata n-esima in x

, allora

f (x) = P

(x) + o((x − x

)

).

Lezione del 26/2/2003 (2 ore): Cominciamo con l’applicazione della formula di Taylor con resto di Peano allo studio dei massimi e dei minimi relativi di una funzione. L’idea `e che spesso, per capire se un punto in cui la derivata prima si annulla `e di massimo o minimo relativo, basta studiare il segno della derivata seconda:

TEOREMA: Sia f una funzione derivabile k volte in x

(k ≥ 2), e suppo- niamo che le prime k − 1 derivate esistano in un intorno di x

. Supponiamo anche che f

(x

) 6= 0, mentre f

(x

) = 0 per h = 1, . . . , k (in altre parole, la prima derivata che non si annulla `e la k-esima).

Allora

• se k `e dispari, x

non `e n´e di massimo relativo n´e di minimo relativo;

• se k `e pari e f

(x

) > 0, allora x

`e un punto di minimo relativo;

• se k `e pari e f

(x

) < 0, allora x

`e un punto di massimo relativo.

noindent DIM.: Si tratta di studiare il segno della funzione f (x) − f (x

) quando x varia in un intorno sufficientemente piccolo di x

: se tale funzione

`e positiva siamo in presenza di un punto di minimo relativo, se `e negativa

di un massimo (mentre se essa cambia di segno in ogni intorno, comunque

piccolo, di x

, il punto non `e n´e di massimo n´e di minimo).

Se prendiamo x abbastanza vicino a x

in modo che valgano le ipotesi del teorema di Taylor, otteniamo

f (x) − f (x

) = f

(x

)

k! (x − x

)

+ R

(x) = [ f

(x

)

k! + R

(x)

(x − x

)

](x − x

)

. Siccome R

(x) = o((x − x

)

), la quantit`a tra parentesi quadre tende a f

(x

)/k! per x → x

. Di conseguenza, essa avr`a lo stesso segno di f

(x

) quando x varia in un intorno sufficientemente piccolo di x

. Poich´e `e invece chiaro che il polinomio (x − x

)

`e sempre positivo per k pari, mentre cambia di segno per k dispari (a seconda che x stia a destra o a sinistra di x

), la tesi segue immediatamente. Q.E.D.

Osservazione: Il teorema appena dimostrato ci dice che se f

(x

) = 0, f

(x

) > 0, allora f (x) > f (x

) (con la disuguaglianza stretta) se x `e suffi- cientemente vicino a x

: in altre parole, il punto in questione `e un punto di minimo relativo, ma certamente non di massimo relativo.

Questo ci permette di invertire in parte il risultato precedente: se f `e derivabile due volte in un intorno di x

e x

`e di massimo relativo, allora f

(x

) = 0 e f

(x

) ≤ 0 (La derivata prima si annulla pre il principio di Fermat, mentre la seconda non pu`o essere positiva perch´e se lo fosse il ri- sultato precedente mi darebbe un punto di minimo relativo “stretto”, il che sarebbe assurdo!). Analogamente, in un punto di minimo relativo deve essere f

(x

) = 0 e f

(x

) ≥ 0.

In molti casi, il nostro teorema permette di stabilire se un punto in cui si annulla la derivata prima corrisponde ad un massimo o minimo relativo:

basta trovare la prima derivata diversa da zero (a patto che la funzione sia derivabile abbastanza volte)! Pu`o per`o capitare che la funzione sia derivabile infinite volte, ma tutte le derivate si annullino nel punto che ci interessa:

ESEMPIO: Si consideri la funzione f (x) =

(

e

se x 6= 0

0 se x = 0

Con un po’ di fatica si vede che f `e derivabile infinite volte in 0, e che tutte le derivate si annullano (abbiamo visto la dimostrazione a lezione: il punto chiave `e far vedere, per esempio per induzione, che per x 6= 0 si ha

f

(x) = g

(x)

x

e

,

dove g

(x) `e un polinomio di grado al pi`u (2n − 2)... A questo punto, basta

passare al limite per x → 0 per concludere che la derivata k-esima si annulla

nell’origine).

D’altra parte, siccome la funzione f `e non negativa, `e evidente che 0 `e un punto di minimo relativo.

Conviene tenere presente la funzione f di questo esempio: torner`a utile tra non molto!

Dimostriamo ora una versione leggermente pi`u generale del teorema di Lagrange, che ci torner`a utile per trovare subito dopo un’espressione molto precisa del resto nella formula di Taylor.

TEOREMA (di Cauchy): Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue, derivabili in (a, b). Supponiamo poi che g

(x) 6= 0 per ogni x ∈ (a, b). Allora esiste c ∈ (a, b) tale che

f

(c)

g

(c) = f (b) − f (a) g(b) − g(a) .

DIM.: Si noti che risulta g(b) 6= g(a) (altrimenti otterremo un assurdo col teorema di Rolle): di conseguenza, il denominatore del secondo membro nella tesi non si annulla, e il teorema ha perfettamente senso.

Per dimostrarlo, basta applicare il teorema di Rolle alla funzione ausiliaria h(x) = (f (x) − f (a))(g(b) − g(a)) − (g(x) − g(a))(f (b) − f (a)). Q.E.D.

TEOREMA (Formula di Taylor con resto di Lagrange): Sia f una funzione derivabile (n + 1) volte in un intorno di x

, e sia x un punto appartenente a tale intorno. Allora esiste un punto c, compreso tra x

e x, tale che

f (x) = P

(x) + f

(c)

(n + 1)! (x − x

)

, dove

P

(x) =

Xn k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

`e il polinomio di Taylor di grado n centrato in x

.

DIM.: Consideriamo la funzione g(x) = f (x)−P

(x). Abbiamo visto la volta scorsa che essa ha la fondamentale propriet`a di avere g(x

) = g

(x

) = . . . = g

(x

) = 0. L’idea `e ora di applicare (n + 1) volte il teorema di Cauchy, a partire dal rapporto

g(x)

(x − x

)

= g(x) − g(x

)

(x − x

)

− (x

− x

)

.

Infatti, il teorema di Cauchy applicato a tale espressione ci garantisce l’e- sistenza di un punto c

compreso tra x

e x, tale che l’espressione stessa `e uguale a

g

(c

)

(n + 1)(c

− x

)

. L’ultima quantit`a pu`o essere anche riscritta

g

(c

) − g

(x

)

(n + 1)(c

− x

)

− (n + 1)(x

− x

)

,

e possiamo riapplicare il teorema di Cauchy... Ripetendo questo passaggio per (n + 1) volte troviamo:

g(x)

(x − x

)

= . . . = g

(c

) − g

(x

)

(n + 1)!(c

− x

) = g

(c)

(n + 1)! = f

(c) (n + 1)! , dove c

, . . . , c

, c sono opportuni punti compresi tra x

e x. Q.E.D.

Lezione del 27/2/2003 (2 ore): Mettiamo subito a frutto il teorema dimostrato ieri, usandolo per approssimare alcune importanti funzioni con polinomi.

Cominciamo col prendere f (x) = e

(e x

= 0): la formula di Taylor con resto di Lagrange ci dice che esiste un punto c compreso tra 0 e x tale che

e

=

Xn k=0

x

k! + e

(n + 1)! x

.

Dimostriamo ora che il resto, qualunque sia x ∈ R, tende a 0 per n → +∞:

n→+∞

lim e

(n + 1)! x

= 0 ∀x ∈ R.

Si noti che, anche se c dipende in generale sia da x che da n, la quantit`a e

`e maggiorata da e

, per cui ci baster`a far vedere che x

/(n + 1)! → 0 per n → +∞. Questo fatto, a sua volta, si dimostra immediatamente ricordando la stima

n! ≥ ( n 3 )

, che abbiamo provato per induzione.

In conclusione, abbiamo fatto vedere che e

= lim

n→+∞

Xn k=0

x

k! .

L’ultimo limite si chiama serie di Taylor di e

, e si denota usualmente con

k=0 x^k

k!

:

DEFINIZIONE: Se {a

} `e una successione di numeri reali, col simbolo

k=0

a

(che si legge “serie degli a

”, si intende per definizione il limite

n→+∞

lim

Xn k=0

a

,

a patto che tale limite esista. Se il limite `e finito, si dice che la serie converge, se `e infinito che diverge, se infine non esiste si dice che la serie `e indeterminata.

Con lo stesso tipo di conti, abbiamo poi verificato che si ha anche sin x =

X∞ k=0

(−1)

x

(2k + 1)! , cos x =

X∞ k=0

(−1)

x

(2k)!

per ogni x ∈ R.

Si hanno analoghe serie di Taylor per molte delle funzioni elementari, alcune delle quali non convergono su tutto R, ma solo su intervalli pi`u piccoli:

ad esempio si ha

log(1 + x) =

Xn k=1

(−1)

x

k

per −1 < x ≤ 1 (non abbiamo per`o dato, per il momento, una dimostrazione della convergenza).

A questo punto, sorge spontanea la seguente questione: se f `e una fun- zione derivabile infinite volte in x

, `e sempre possibile trovare un intorno di x

tale che

f (x) =

X∞ k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

? La risposta `e negativa:

ESEMPIO: Si consideri la funzione f (x) =

(

e

se x 6= 0

0 se x = 0

gi`a studiata ieri in un altro contesto: abbiamo visto che essa `e derivabile

infinite volte in 0, e che tutte le derivate si annullano.

Ne segue che la serie di Taylor centrata in 0 per f `e identicamente nulla, e quindi evidentemente essa coincide con f solo per x = 0.

Le funzioni la cui serie di Taylor converge alla funzione stessa in un intorno di x

si dicono analitiche in x

: la funzione dell’esempio non `e analitica in 0, mentre la funzione esponenziale, il seno ed il coseno lo sono.

Come ulteriore applicazione del teorema di Taylor con resto di Lagrange, dimostriamo che il numero di Nepero e `e irrazionale.

Supponiamo infatti per assurdo che si abbia e = p/q, con p e q numeri naturali. Applichiamo il teorema di Taylor con resto di Lagrange alla fun- zione esponenziale, con x

= 0 e x = 1: per ogni n ∈ N troviamo un punto c ∈ (0, 1) tale che

e = p

q = 1 + 1 + 1 2 + 1

3! + . . . + 1

n! + e

1 n + 1! .

Prendiamo n > q, e moltiplichiamo ambo i membri dell’identit`a per n!.

Otteniamo:

p q n! =

µ

1 + 1 + 1 2 + 1

3! + . . . + 1 n!

¶

· n! + e

n + 1 .

Il membro di sinistra dell’uguaglianza `e evidentemente un intero, cos`ı come il primo pezzo del membro di destra (la quantit`a tra parentesi tonde molti- plicata per n!). Invece, l’ultimo termine si maggiora con e/(n + 1) (perch´e c < 1), e quest’ultima quantit`a `e strettamente minore di 1 per n abbastanza grande: questo `e evidentemente assurdo (un intero non pu`o essere uguale ad un intero pi`u una quantit`a minore di 1).

Lezione del 3/3/2003 (2 ore): In questa lezione, cominceremo a studia- re una definizione rigorosa di area per certe figure piane delimitate da un contorno curvilineo. Questo ci porter`a a dare la definizione di integrale nel senso di Riemann per una funzione f : [a, b] → R.

Partiamo da un esempio concreto: supponiamo di voler dare un senso all’area della regione limitata del piano delimitata dall’asse delle x, dal grafico della funzione f (x) = e

, dall’asse delle y e dalla retta x = a: si tratta di una specie di trapezio rettangolo, solo che il lato obliquo `e curvo (`e infatti il grafico della funzione e

.

Un’idea potrebbe essere la seguente: dividiamo l’intervallo [0, a] in n in-

tervallini uguali (che avranno quindi estremi 0, a/n, 2a/n, 3a/n, . . . , a). Per

ciascuno di questi intervallini, costruiamo un rettangolo che ha il rettango-

lino stesso come base, e altezza uguale al valore della funzione esponenziale

nell’estremo di sinistra: in altre parole, sull’intervallino [ka/n, (k + 1)a/n]

costruiamo un rettangolo di altezza e

. In questo modo otteniamo una figura “a scala” che `e tutta contenuta nella figura curvilinea di cui vogliamo calcolare l’area: l’area di questa scala inscritta si calcola subito, e vale

n−1X

k=0

a

n e

= a

n · e

− 1 e

− 1 .

L’ultima espressione, per n → +∞, tende al numero (e

−1), che rappresenta quindi il limite delle nostre approssimazioni per difetto.

In maniera analoga, possiamo costruire una “scala circoscritta” alla re- gione che ci interessa, prendendo su ciascun intervallino [ka/n, (k + 1)a/n]

un rettangolo di altezza e

. In tal caso, l’area della scalinata sar`a e

a

n · e

− 1 e

− 1 ,

che tende ancora al limite e

− 1. Possiamo dunque legittimamente affermare che l’area del trapezoide curvilineo sotto la funzione esponenziale tra 0 e a, vale esattamente e

− 1: tale numero si chiama integrale della funzione esponenziale tra 0 e a, e si indica

Z _a

0

e

dx = e

− 1.

Volendo estendere quest’idea in modo sistematico al maggior numero possibile di funzioni, cominciamo col definire le funzioni a scala ed il loro integrale:

Definizione: Una funzione φ : [a, b] → R si dice a scala se esiste una suddi- visione di [a, b] in un numero finito di intervallini di estremi a = x

< x

<

x

< . . . < x

= b, in modo tale che φ assuma valore costante c

su ciascun intervallino (x

, x

) (per i = 0, . . . , N − 1).

L’integrale della suddetta funzione a scala si definisce come

Z _b

a

φ(x) dx =

N −1X

i=0

(x

− x

)c

.

Si noti che, se φ `e positiva, l’integrale della funzione a scala `e semplice- mente l’area dell’unione finita di rettangoli delimitata dal grafico di φ, l’asse delle x e le rette verticali x = a e x = b. Se φ ha anche tratti negativi, l’unica differenza `e che gli scalini con “altezza negativa” si contano con “area negativa”.

Le funzioni a scala ed il loro integrale godono delle seguenti propriet`a, la cui dimostrazione `e lasciata alla riflessione del lettore:

LEMMA: Se φ

e φ

sono funzioni a scala su [a, b], e c ∈ R, allora

• cφ

e φ

+ φ

sono funzioni a scala;

• l’integrale `e lineare:

Z _b

a

(cφ

(x)) dx = c

Z _b

a

φ

(x) dx

Z _b

a

(φ

(x) + φ

(x)) dx =

Z _b

a

φ

(x) dx +

Z _b

a

φ

(x) dx;

• l’integrale `e monotono: se φ

(x) ≤ φ

(x) per ogni x ∈ [a, b], allora

Z _b

a

φ

(x) dx ≤

Z _b

a

φ

(x) dx.

Siamo ora in grado di definire l’integrale superiore, l’integrale inferiore ed eventualmente l’integrale di una funzione limitata:

DEFINIZIONE: Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. L’integrale supe- riore di f si definisce come

Z _b

a

f (x) dx = inf{

Z _b

a

φ(x) dx : φ a scala, φ ≥ f in [a, b]}.

Analogamente, l’integrale inferiore di f si definisce come

Z _b

a

f (x) dx = sup{

Z _b

a

ψ(x) dx : ψ a scala, ψ ≤ f in [a, b]}.

Se l’integrale superiore e l’integrale inferiore coincidono, diremo che la funzione f `e integrabile secondo Riemann in [a, b], ed indicheremo il valore comune dei due integrali con

Z _b

a

f (x) dx, integrale secondo Riemann di f su [a, b].

Vale una semplice caratterizzazione dell’integrale di Riemann, che per- mette tra l’altro di verificare la correttezza di quanto trovato sopra per l’integrale della funzione esponenziale:

PROPOSIZIONE: Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. f `e integrabile secondo Riemann se e solo se per ogni ε > 0 si possono trovare due funzioni a scala φ, ψ con ψ ≤ f ≤ φ in [a, b] tali che

Z _b

a

φ(x) dx −

Z _b

a

ψ(x) dx < ε.

DIM.: Se f `e integrabile, per definizione di integrale superiore e di integrale inferiore possiamo trovare due funzioni a scala φ e ψ, la prima maggiore o uguale e la seconda minore o uguale a f , tali che

Z _b

a

φ(x) dx <

Z _b

a

f (x) dx + ε/2,

Z _b

a

ψ(x) dx >

Z _b

a

f (x) dx − ε/2,

da cui

b

a

φ(x) dx −

Z _b

a

ψ(x) dx < ε.

Viceversa, prendiamo ε > 0 e consideriamo le due funzioni a scala φ, ψ che ci vengono assicurate dall’ipotesi.

Per definizione di integrale superiore e di integrale inferiore avremo

Z _b

a

φ(x) dx ≥

Z _b

a

f (x) dx,

Z _b

a

ψ(x) dx ≤

Z _b

a

f (x) dx, per cui

0 ≤

Z _b

a

f (x) dx −

Z _b

a

f (x) dx ≤

Z _b

a

φ(x) dx −

Z _b

a

ψ(x) dx < ε.

Per l’arbitrariet`a di ε, ne deriva che l’integrale superiore e l’integrale inferiore sono uguali. Q.E.D.

Vediamo ora un esempio di funzione non integrabile secondo Riemann:

ESEMPIO (Funzione di Dirichlet): Si consideri la funzione f : [0, 1] → R definita da

f (x) =

(

1 se x ∈ Q 0 se x ∈ R \ Q

Abbiamo gi`a visto questa funzione durante la prima unit`a, ed abbiamo os-

servato che essa `e ovunque discontinua. Attualmente, invece, ci preme di

osservare che una funzione a scala maggiore o uguale a f sar`a ovunque mag-

giore o uguale a 1, e che una funzione a scala minore o uguale a f `e ovunque

minore o uguale a 0. Questo segue dalla densit`a dei razionali e degli irra-

zionali: in ogni “scalino” di qualunque funzione a scala, esistono sia punti

razionali in cui la funzione vale 1, che punti irrazionali in cui essa vale 0.

Se ne deduce che

Z ₁

0

f (x) dx = 1,

Z ₁

0

f (x) dx = 0, e la funzione non `e integrabile secondo Riemann.

Lezione del 6/3/2003 (2 ore): Per prima cosa, possiamo verificare che l’integrale delle funzioni integrabili secondo Riemann gode delle stesse pro- priet`a di linearit`a dell’integrale delle funzioni a scala (si veda il Lemma enunciato la volta scorsa):

PROPOSIZIONE: Siano f, g : [a, b] → R due funzioni integrabili secondo Riemann, c ∈ R. Allora le funzioni c · f e f + g sono integrabili secondo Riemann e si ha

Z _b

a

c · f (x) dx = c

Z _b

a

f (x) dx

Z _b

a

[f (x) + g(x)] dx =

Z _b

a

f (x) dx +

Z _b

a

g(x) dx.

DIM.: Supponiamo dapprima c > 0. L’integrabilit`a della funzione c · f (e la prima delle due identit`a nella tesi) segue subito se si osserva che l’insieme delle funzioni a scala maggiori o uguali a c · f coincide con l’insieme delle funzioni a scala maggiori o uguali a f moltiplicate per c. Poich´e per le funzioni a scala `e lecito “portare la costante c fuori dal segno di integrale”

(si veda il lemma enunciato la volta scorsa), ne deduciamo che

Z _b

a

c · f (x) dx = c

Z _b

a

f (x) dx.

Un’identit`a del tutto analoga vale per l’integrale inferiore, da cui la tesi.

Se invece c < 0 (il caso c = 0 `e ovvio!), l’unico cambiamento da fare viene dal fatto che una funzione a scala maggiorante per f moltiplicata per c, dar`a una funzione a scala minorante per c · f .

Veniamo alla somma: osserviamo che

{Φ : Φ a scala, Φ ≥ f + g} ⊃ {φ

+ φ

: φ

, φ

a scala, φ

≥ f, phi

≥ g}, da cui, ricordando la definizione di integrale superiore:

Z _b

a

[f (x) + g(x)] dx ≤

Z _b

a

f (x) dx+ ≤

Z _b

a

g(x) dx.

(A lezione abbiamo visto un esempio che mostra come, se togliamo l’ipotesi che f e g siano integrabili, possa anche succedere che valga la disuguaglianza stretta).

Analogamente, per gli integrali inferiori si ottiene

Z _b

a

[f (x) + g(x)] dx ≥

Z _b

a

f (x) dx+ ≤

Z _b

a

g(x) dx.

Mettendo assieme le due disuguaglianze e ricordando l’integrabilit`a di f e g otteniamo

Z _b

a

f (x) dx +

Z _b

a

g(x) dx ≤

Z _b

a

[f (x) + g(x)] dx ≤

Z _b

a

[f (x) + g(x)] dx ≤

Z _b

a

f (x) dx +

Z _b

a

g(x) dx, da cui la tesi. Q.E.D.

Altra propriet`a dell’integrale che ci sar`a piuttosto utile, `e l’additivit`a rispetto all’intervallo di integrazione:

PROPOSIZIONE: Se f : [a, b] → R `e integrabile, c ∈ (a, b) si ha

Z _b

a

f (x) dx =

Z _c

a

f (x) dx +

Z _b

c

f (x) dx.

Lasciamo per esercizio la facile dimostrazione.

Se f : [a, b] → R `e integrabile secondo Riemann, poniamo poi per

definizione

a

b

f (x) dx = −

Z _b

a

f (x) dx.

Con questa posizione, la propriet`a di additivit`a dell’integrale rispetto all’intervallo vale in generale, anche se c non `e compreso tra a e b (in tal caso, f dovr`a essere integrabile sul pi`u grande tra gli intervalli coinvolti...).

A questo punto, diventa importante far vedere che tutte le funzioni “ab- bastanza decenti” sono integrabili. Per esempio, sono integrabili le funzioni monotone e le funzioni continue:

TEOREMA: Se f : [a, b] → R `e crescente (decrescente), allora `e integrabile secondo Riemann.

DIM.: Per fissare le idee, trattiamo il caso in cui f sia crescente.

Dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti uguali (lunghe (b−a)/n), di estremi a = x

< x

< x

< . . . < x

= b. Definiamo una funzione a scala maggio- rante φ

e una funzione a scala minorante ψ

nel modo seguente: nell’i-esimo intervallino [x

, x

), poniamo φ

uguale a f (x

), e ψ

uguale a f (x

).

Si ha

Z _b

a

φ

(x) dx −

Z _b

a

ψ

(x) dx =

n−1X

i=0

b − a

n [f (x

) − f (x

)] = b − a

n

n−1X

i=0

[f (x

) − f (x

)] = b − a

n [f (b) − f (a)],

e l’ultima quantit`a pu`o essere resa piccola a piacere a patto di prendere n abbastanza grande. Q.E.D.

TEOREMA (Integrabilit`a delle funzioni continue): Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Allora f `e integrabile secondo Riemann.

La dimostrazione di questo teorema `e molto meno semplice di quella che abbiamo dato per le funzioni monotone: in effetti, abbiamo bisogno di un concetto nuovo, quello di uniforme continuit`a.

DEFINIZIONE: Una funzione f si dice uniformemente continua su un inter- vallo I se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x, y ∈ I con |x−y| < δ, si ha |f (x) − f (y)| < ε.

In questa definizione chiediamo qualcosa di pi`u della continuit`a in tutti i punti di I: stiamo infatti pretendendo che δ dipenda da ε, ma non dal punto in cui andiamo a valutare la continuit`a. Lo stesso δ deve funzionare in tutti i punti dell’intervallo I!

In effetti, se `e vero che ogni funzione uniformemente continua in I `e anche continua in I, il viceversa pu`o essere falso: per esempio, la funzione f (x) = x

`e continua in tutti i punti della retta reale, ma non `e uniformemente continua su R.

Se per`o consideriamo soltanto intervalli chiusi e limitati, i due concetti coincidono:

TEOREMA (di Heine-Cantor): Una funzione continua f : [a, b] → R `e anche uniformemente continua.

Vedremo la dimostrazione la prossima volta: per il momento, utilizziamo il teorema per provare l’integrabilit`a delle funzioni continue.

DIM.(del Teorema di integrabilit`a delle funzioni continue): Sia ε > 0. Per il

teorema di Heine-Cantor, f `e uniformemente continua su [a, b], e possiamo

trovare δ > 0 tale che |f (x) − f (y)| < ε quando x, y ∈ [a, b] e |x − y| < δ.

In particolare, se I `e un qualunque sottointervallo di [a, b] di lunghezza minore di δ, avremo

sup{f (x) : x ∈ I} − inf{f (x) : x ∈ I} ≤ ε.

Scegliamo ora n abbastanza grande, in modo che (b−a)/n < δ, e suddivi- diamo [a, b] in n parti uguali tramite i punti a = x

< x

< x

< . . . < x

= b.

Definiamo una funzione a scala maggiorante φ

ed una minorante ψ

nel mo- do seguente: sull’i-esimo intervallino [x

, x

), la funzione φ

vale M

= sup{f (x) : x ∈ [x

, x

]}, mentre ψ

vale m

= inf{f (x) : x ∈ [x

, x

]}.

Per quanto visto sopra, sar`a M

− m

≤ ε.

Abbiamo

Z _b

a

φ

(x) dx −

Z _b

a

ψ

(x) dx =

n−1X

i=0

b − a

n (M

− m

) ≤ ε

n−1X

i=0

b − a

n = ε(b − a), e questa quantit`a pu`o essere presa piccola a piacere. Q.E.D.

Lezione del 12/3/2003 (2 ore): Nella scorsa lezione, per far vedere che le funzioni continue sono integrabili abbiamo usato il Teorema di Heine-Cantor:

una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato `e uniformemente con- tinua. Ci proponiamo ora di dimostrare questo teorema, e per farlo avremo bisogno di una definizione e di un lemma:

DEFINIZIONE: Se f : [a, b] → R `e continua e I ⊂ [a, b] `e un intervallo chiuso, l’oscillazione di f su I `e la quantit`a

Osc(I, f ) = max{f (x) : x ∈ I} − min{f (x) : x ∈ I}.

LEMMA: Se f : [a, b] → R `e continua e ε > 0, `e possibile suddividere [a, b]

in un numero finito di sottointervalli chiusi (disgiunti a parte gli estremi) in modo tale che Osc(I, f ) < ε in ogni intervallo I della suddivisione.

DIM.: Supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa. Dovrebbe allora esistere ε

> 0 tale che, per ogni suddivisione finita di [a, b] in intervalli chiusi, esiste almeno un intervallo I della suddivisione tale che Osc(I, f ) ≥ ε

.

Dividiamo [a, b] in due parti uguali: in una delle due met`a, che chiame- remo [a

, b

], deve essere ancora vero che in ogni sua suddivisione finita in intervalli chiusi c’`e almeno un intervallo su cui l’oscillazione supera ε

(se cos`ı non fosse, la cosa non succederebbe neanche in [a, b]!).

Possiamo proseguire: dividiamo [a

, b

] in due parti uguali e ne tro-

viamo una (che chiamiamo [a

, b

]) con la stessa propriet`a... In questo

modo, troviamo una successione decrescente di intervalli [a

, b

] tali che

b

− a

= (b − a)2

, e per costruzione avremo Osc([a

, b

], f ) ≥ ε

. D’altra parte, la successione a

`e crescente, e tender`a a un certo punto x ∈ [a, b].

Evidentemente, avremo anche b

→ x.

Supponiamo per semplicit`a che x sia un punto interno di [a, b]: le modi- fiche da fare se `e uno degli estremi sono intuibili. Siccome f `e continua in x, esiste δ > 0 tale che |x − x| ≤ δ implica |f (x) − f (x)| < ε

/4. Ma allora Osc([x − δ, x + δ]) < ε

, il che `e assurdo perch´e [a

, b

] ⊂ [x − δ, x + δ] per n abbastanza grande. Q.E.D.

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI HEINE-CANTOR: Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Devo mostrare che `e uniformemente continua:

per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che se x, y ∈ [a, b], |x − y| ≤ δ allora

|f (x) − f (y)| < ε.

Per il Lemma, possiamo trovare una suddivisione finita di [a, b] in in- tervalli chiusi, in modo tale che l’oscillazione di f in ogni intervallo della suddivisione sia minore di ε/2. Sia δ la lunghezza del pi`u piccolo di tali in- tervalli. Se x, y ∈ [a, b], |x − y| < δ, i due punti x e y apparterranno allo stesso intervallo della suddivisione, o alla peggio a due intervalli adiacenti.

Poich´e l’oscillazione di f su ciascuno di questi due intervalli `e minore di ε/2, avremo |f (x) − f (y)| < ε. Q.E.D.

Siamo ora in grado di dimostrare i due risultati principali della teoria del- l’integrazione: il teorema della media ed il teorema fondamentale del calcolo integrale.

TEOREMA (Della media integrale): Sia f : [a, b] → R una funzione conti- nua. Esiste un punto c ∈ [a, b] tale che

Z _b

a

f (x) dx = f (c) · (b − a).

DIM.: Sia M = max{f (x) : x ∈ [a, b]}, m = min{f (x) : x ∈ [a, b]}.

Per la monotonia dell’integrale, avremo m(b−a) ≤

f (x) dx ≤ M(b−a), per cui la quantit`a

1 b − a

Z _b

1

f (x) dx (che `e detta media integrale) `e compresa tra m e M.

Per il teorema dei valori intermedi, f assume tutti i valori compresi tra m e M, e quindi anche il valore corrispondente alla media integrale! Q.E.D.

TEOREMA (teorema fondamentale del calcolo integrale): Sia f : [a, b] → R una funzione continua, e definiamo la funzione integrale

F (x) =

Z _x

a

f (t) dt.

Allora F `e derivabile, e F

(x) = f (x) per ogni x ∈ [a, b].

DIM.: Consideriamo il rapporto incrementale della funzione F nel punto x.

Ricordando l’additivit`a dell’integrale rispetto all’intervallo si ha:

F (x + h) − F (x)

h = 1

h

"Z _x+h

a

f (t) dt −

Z _x

a

f (t) dt

#

= 1 h

Z _x+h

x

f (t) dt.

Applicando il Teorema della media all’ultimo integrale troviamo un punto c compreso tra x e x + h tale che

F (x + h) − F (x)

h = f (c).

Passando al limite per h → 0, avremo c → x e f (c) → f (x) (perch´e f `e continua), da cui

F

(x) = lim

h→0

F (x + h) − F (x)

h = f (x).

Q.E.D.

DEFINIZIONE: Se f : [a, b] → R, una primitiva di f `e una funzione G : [a, b] → R tale che G

(x) = f (x) per ogni x ∈ [a, b].

Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice che la funzione inte- grale `e una primitiva dell’integranda. Ora, spesso `e facile “indovinare” una primitiva di una funzione f (e vedremo presto delle tecniche per trovare in modo pi`u sistematico le primitive di moltissime funzioni elementari). Se ci riusciamo, siamo anche in grado di calcolare l’integrale di f :

PROPOSIZIONE: Sia f : [a, b] → R una funzione continua, G : [a, b] → R una qualunque primitiva di f . Allora

Z _b

a

f (x) dx = G(b) − G(a).

DIM.: Per il Teorema fondamentale, anche la funzione integrale F (x) =

R_x

a

f (t) dt `e una primitiva di F . Ne segue che la funzione F (x) − G(x) ha derivata nulla in [a, b], e quindi `e costante: esiste C ∈ R tale che

F (x) = G(x) + C

per ogni x ∈ [a, b]. Siccome F (a) =

f (t) dt = 0, ponendo x = a nell’ultima identit`a troviamo C = −G(a), da cui F (x) = G(x) − G(a). In particolare, per x = b si ha la tesi. Q.E.D.

ESEMPI:

• Se f (x) = e

, riconosciamo subito che una primitiva `e data dalla funzione G(x) = e

, e quindi

Z _a

0

e

dx = G(a) − G(0) = e

− 1.

Abbiamo cos`ı rapidamente riottenuto un risultato che ci eravamo con- quistati con una certa fatica a partire dalla definizione di integrale!

• Se f (x) = mx, si vede che una primitiva `e G(x) = mx

/2, quindi

Z _b

a

mx dx = m(b

− a

)/2.

Possiamo convincerci della veridicit`a di questa formula se osserviamo che geometricamente l’integrale appena calcolato rappresenta l’area di un trapezio rettangolo di altezza (b − a) e basi ma e mb.

• Se f (x) = sin x, una primitiva sar`a G(x) = − cos x. Quindi

Z _π

0

sin x dx = −cos(π) − (−cos(0)) = 2,

risultato che non sarebbe stato facile prevedere in altro modo!

Lezione del 13/3/2003 (2 ore): Abbiamo visto ieri che `e facilissimo calcolare l’integrale di una funzione continua f : [a, b] → R se se ne conosce una primitiva G: oggi cercheremo di studiare questo problema in modo pi`u sistematico. Conviene stabilire un nome (ed una notazione) per l’insieme di tutte le primitive di una funzione f :

DEFINIZIONE: Se f : [a, b] → R `e una funzione continua, l’insieme delle primitive G : [a, b] → R (cio`e l’insieme delle funzioni derivabili la cui derivata

`e uguale ad f ), si chiama integrale indefinito di f , e si denota con il simbolo

R

f (x) dx:

Z

f (x) dx = {G : [a, b] → R : G

(x) = f (x) ∀x ∈ [a, b]}.

Grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale e a quanto osservato la volta scorsa, sappiamo che la funzione integrale `e una primitiva di f , e anche che due primitive diverse differiscono per una costante, dunque:

Z

f (x) dx = {

Z _x

a

f (t) dt + C : C ∈ R}.