IL MODELLO DI POINCARE’
ATTRAVERSO IL CABRI
di:
Lattuca Margherita
Lazzano Cinzia Maria
MODULO:Le geometrie non euclidee
UNITA’ DIDATTICA:Il modello di Poincarè.
INTRODUZIONE
La presente unità didattica fa parte di un modulo di geometria non euclidea destinato ad allievi di un biennio di scuola superiore e, in particolare, a coloro che avranno già affrontato con risultati soddisfacenti un modulo di geometria euclidea.
Lo scopo stavolta sarà quello di aiutare l’allievo a superare la soglia delle naturali capacità percettive e ad estendere le sue capacità logiche e di astrazione.
Le geometrie non euclidee nascevano perché, per la prima volta nella storia della matematica, si era posto un problema di carattere logico e non essenzialmente tecnico- pratico. Per secoli si era creduto che, sebbene non dimostrabili, gli assiomi euclidei fossero gli unici che permettessero di pensare una geometria coerente. Ora si trovava che era possibile costruire geometrie altrettanto valide su assiomi diversi, e con conseguenze diverse.
Raffinate esperienze hanno dimostrato che la geometria euclidea e quelle non euclidee, per figure relativamente piccole, si avvicinano talmente da risultare sperimentalmente equivalenti. Tuttavia, poiché il sistema euclideo ammette una trattazione più semplice, è giustificato il suo uso esclusivo nella vita ordinaria.
CONTENUTI
L’unità didattica si propone di trasmettere i seguenti contenuti:
- concetto di punto, retta, piano, nel modello di Poincarè - trasformazioni di Moebius nel modello di Poincarè
- conseguenze della negazione del quinto postulato euclideo nel modello di Poincarè.
OBIETTIVI
L’unità didattica si propone di far conseguire i seguenti obiettivi:
- conoscere gli enti principali del modello di Poincarè - saper utilizzare l’inversione circolare
- saper dimostrare graficamente le principali proprietà del modello
PREREQUISITI
Per assicurare un accesso agevole all’unità è necessario che l’allievo possegga i seguenti prerequisiti:
- conoscenza del concetto di “geometria”
- conoscenza del concetto di modello di una geometria - conoscenza del metodo assiomatico (assiomi euclidei) - conoscenza delle geometrie non euclidee
- familiarità con i principali strumenti informatici.
Prima di fissare gli obiettivi cognitivi e formativi si procederà ad un eventuale recupero e/o consolidamento dei prerequisiti suddetti.
MODALITA’
L’unità didattica proposta è destinata ad allievi del biennio di una scuola superiore, allievi che pertanto hanno già iniziato un percorso formativo che include nozioni di geometria euclidea e non.
A partire dagli assiomi della geometria iperbolica si introdurrà l’alunno alla costruzione e allo studio del nuovo modello, e alla verifica degli assiomi stessi per un eventuale confronto con la geometria euclidea.
Tenuto conto che la geometria è una scienza caratterizzata da una marcata operatività (capacità di attuare operazioni mentali e procedure logiche), sarà necessario far uso di una metodologia integrata tra attività da svolgere in classe (lezioni frontali, esercitazioni, lavori di gruppo) e attività laboratoriali (lavoro al Cabri).
TEMPI
Per la realizzazione dell’unità sono previste 6 ore di attività così ripartite:
- 2 ore di lezione frontale - 4 ore di attività laboratoriali.
SPAZI - aule
- laboratori multimediali.
MATERIALI
- testi scolastici e non - CD
- Programmi(cabri)
- Schede elaborate dal docente - Carta
- Matite
DESCRIZIONE DELLE ATTIVITA’
Le attività hanno inizio in classe.
Il primo giorno (2 ore), prima ancora di trattare l’unità didattica vera e propria, sarà cura dell’insegnante accertare il possesso dei prerequisiti necessari.
E’ opportuno proporre inizialmente un test sottoforma di prova strutturata per l’accertamento delle conoscenze di base per la trattazione, e per constatare una eventuale omogeneità sia nel livello di conoscenze-competenze degli argomenti trattati negli anni precedenti, sia nei ritmi di apprendimento individuale.In alternativa è possibile procedere alla verifica della presenza dei prerequisiti indispensabili ad affrontare le attività modulari mediante una discussione guidata che consente la partecipazione e il coinvolgimento di tutti gli alunni, specie quelli in difficoltà relazionale.
Si dà quindi avvio alla lezione partecipata durante la quale alunni e docente pervengono alla definizione delle proprietà e delle caratteristiche geometriche oggetto di discussione.
Le restanti 4 ore saranno dedicate ad attività laboratoriali.
Attraverso queste esperienze l’alunno impara a progettare, ad eseguire e a interpretare.
Egli è protagonista attivo e, insieme con altri, impara ad osservare problemi e a risolverli, formulando ipotesi, progetti, esperienze, esercitazioni e valutando risultati.
In particolare, l’uso del CABRI permetterà all’alunno di costruire e studiare le proprietà geometriche del modello, di verificarne gli assiomi, e di effettuare un eventuale confronto con la geometria euclidea.
Costruiamo alcune macro:
1) costruire la circonferenza euclidea per tre punti A, B, C.
1. Costruire gli assi dei segmenti AB, BC, CA;
2. preso il punto d’intersezione dei tre assi (O) tracciare la circonferenza di centro O e passante per uno dei tre punti.
2) Dati due punti A e B, costruire la retta passante per A e B.
1. Calcolare l’inverso di A rispetto a T (A’);
2. tracciare la circonferenza euclidea passante per A, B, A’.
3) Dati due punti A e B di cui uno sulla circonferenza T, costruire la retta per A e B.
1. Calcolare l’inverso di A rispetto a T (A’);
2. tracciare la circonferenza euclidea passante per A, A’, B.
4) Data la circonferenza T e un punto P esterno a T, tracciare le tangenti a T condotte da P.
1. Tracciare la retta OP;
2. calcolare il punto medio del segmento OP (O’);
3. costruire la circonferenza di centro O’
e passante per O;
4. trovare i punti d’intersezione M e N;
5. costruire le rette PM e PN.
5) Dati due punti A, B, determinare l’asse del segmento AB come luogo dei punti equidistanti da A e da B.
1. Tracciare la retta per A e B ( T’’);
2. tracciare le rette euclidee per A e B e per M e N;
3. determinare il punto d’intersezione delle rette AB ed MN (O’);
4. tracciare le tangenti a T dal punto O’;
5. tracciare la circonferenza di centro O’
e passante per R (T’);
6) Costruire l’asse del segmento di cui un estremo coincide con il centro di T.
1. Calcolare l’inverso di A rispetto a T (A’);
2. tracciare le tangenti a T condotta da A’;
3. tracciare il cerchio di centro A’ e passante per Q.
7) Costruire l’inverso di una circonferenza S rispetto a T.
1. Prendere tre punti P, Q, R appartenenti a S;
2. calcolare gli inversi dei punti P, R, Q rispetto a T siano essi P’, R’, Q’;
3. tracciare la circonferenza euclidea per tre punti.
8) Costruire la circonferenza iperbolica di centro P e passante per Q.
1. Costruire l’asse T’ del segmento OP;
2. calcolare l’inverso rispetto a T’ di Q (Q’);
3. costruire la circonferenza euclidea di centro O e passante per Q’ (R);
4. calcolare l’inverso di R rispetto a T’.
9) Costruire la circonferenza ortogonale a T di centro dato P.
1. Tracciare le tangenti a T per P;
2. tracciare la circonferenza euclidea di centro P e passante per Q (T’).
10) Costruire il triangolo equilatero iperbolico.
1. Considerare due punti A e B;
2. tracciare la circonferenza
iperbolica di centro A e passante per B;
3. tracciare la circonferenza
iperbolica di centro B e passante per A;
4. individuare il punto S come una delle due intersezioni delle circonferenze prima costruite;
5. tracciare le rette iperboliche per A e S, A e B, S e B.
Al rientro in classe il docente organizza dei gruppi di lavoro eterogenei per livelli di preparazione all’interno dei quali gli alunni analizzano i risultati sperimentali ottenuti nel laboratorio evidenziando relazioni tra proprietà geometriche, discutendo ipotesi e verificando leggi. Infine potranno elaborare relazioni scritte, inerenti all’argomento, che costituiranno materiale di valutazione.
VERIFICA
Per la verifica finale il docente potrà stilare dei questionari vero/falso o a risposta multipla, raccoglierà le relazioni elaborate da ciascun gruppo a seguito dell’attività laboratoriale e, mediante colloquio, verificherà l’acquisizione della proprietà di linguaggio.
VALUTAZIONE
Per quanto riguarda la valutazione, il docente farà riferimento ad una griglia che stabilisce delle fasce di livello:
- 1° livello: fino a 3 (scadente)
- 2° livello: 4-5 (insufficiente-mediocre) - 3° livello: area del 6 (sufficiente) - 4° livello: 7-8 (discreto-buono) - 5° livello: 9-10 ( ottimo-eccellente).
La valutazione terrà conto della conoscenza dei contenuti, dell’abilità operativa, dell’acquisizione del linguaggio corretto, dell’impegno applicato e della partecipazione al dialogo educativo.
