Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2005/2006

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1. Data la matrice

A =ˆ

a 1

−1 −a

determinare al variare di a i suoi autovalori ed autovettori. Calcolare e^A^ˆper a = 1.

2. Determinare la stabilit`a dei punti di equilibrio della seguente equazione differenziale x⁰ = x log(x + 2).

Studiarne in maniera qualitativa le curve integrali.

3. Sia data l’equazione alle differenze lineare omogenea in R²: xn+1= Axn con A =

2 0

1 −1

.

Determinarne la soluzione generale, i punti di equilibrio e la loro stabilit`a. Inoltre, calcolare la soluzione passante al tempo n = 0 per

x(0) =

1 1

.

4. Dato il sistema di equazioni differenziali non lineari in R²:

x⁰= x²+ y²− 1 y⁰= x + y− 1 , studiare la stabilit`a dei punti di equilibrio.

Disegnare qualitativamente le curve integrali nel terzo quadrante (x < 0, y < 0).

5. Data la funzione f : R²→ R² con legge

f (x₁, x₂) = x²₁x₂−1 2x²₁− x²2

Determinarne i punti critici e studiarne la natura

6. Data la funzione di utilit u : R²₊→ R²+ con legge

u(x₁, x₂) = x^α₁ + x^β₂

Determinarne massimo e minimo (e relativi punti estremali) sulla regione D ={x1≥ 0, x2≥ 0, hp, xi ≤ N}

dove p∈ R²++ e N > 0 sono dati.