• Non ci sono risultati.

Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2008/2009

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2008/2009"

Copied!
1
0
0

Testo completo

(1)

LUISS

Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2008/2009

Corso di “Metodi Matematici per la Finanza”

Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Esame scritto del 08/02/2011

1. Sia dato lo spazio vettoriale V ≡ R3e l’operatore ˆL : V → V tale che ˆL =

−1 0 0

1 1 0

0 1 a

.

(3 punti) a. Determinare al variare di a il nucleo dell’operatore.

(1 punti) b. Determinare a in modo che esistano infinite soluzioni all’equazione ˆLu = v dove v =

 1 0 1

.

(2 punti) c. Fissato a piacere un valore di a, determinare tutte le soluzioni di ˆLu = v.

2. Data l’equazione differenziale in R2 : x0 = 3 1

−9 −3

 x,

(3 punti) a. determinarne la soluzione generale;

(3 punti) b. determinarne i punti di equilibrio studiandone la stabilit`a.

3. Data la funzione f (x) = 1−xx2, si consideri il seguente problema di Cauchy

 x0(t) = f (x(t)) x(0) = x0∈ R .

(1 punto) a. Dire, motivando la risposta, se esiste un’unica soluzione locale per ogni x0∈ R.

(2 punti) b. Trovare i punti di equilibrio e disegnare il diagramma di fase.

(2 punti) c. Discutere, motivando la risposta, la stabilit`a dei punti di equilibrio e la monotonia delle soluzioni.

(1 punto) d. Dire, motivando la risposta, per quali x0∈ R esiste un’unica soluzione globale.

4. Data la funzione f (t, x) = x − ln(xa) + 1 (con a > 0), si consideri il problema di Cauchyxt+1= f (xt) x(0) = x0

.

(3 punti) a. Trovare i punti di equilibrio al variare di a > 0.

(3 punti) b. Discutere la stabilit`a dei punti di equilibrio al variare di a > 0.

5. Si consideri il seguente sistema di equazioni differenziali non lineari:

 x0 = x2+ x − 2xy y0 = y + 1 − x2 . (2 punti) a. Determinare le equazioni delle isocline e darne una rappresentazione grafica.

(2 punti) b. Determinare i punti di equilibrio studiandone la stabilit`a.

(2 punti) c. Scelto a piacere un punto di equilibrio, determinare le traiettorie del problema linearizzato intorno a tale punto.

Riferimenti

Documenti correlati

Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2008/2009.. Corso di “Metodi Matematici per

Discutere, motivando la risposta, la stabilità dei punti di equilibrio e la monotonia delle soluzioni.. (1

Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011.. Corso di Metodi Matematici per

Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2008/2009. Corso di “Metodi Matematici per

Discutere, motivando la risposta, la stabilità dei punti di equilibrio e la monotonia delle soluzioni.. (1

Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2008/2009.. Corso di “Metodi Matematici per le Scienze Economiche

Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2009/2010.. Corso di Metodi Matematici per

Il teorema di prolungamento (Teorema 2.4.21) non può essere usato in questo caso (o meglio può essere usato solo per dedurre che, se x 0 < 0 , l'unica soluzione è globale)..