Capitolo 3 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido

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Capitolo 3

Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido

3.1 Introduzione

Già nel 1911 Rutherford, per spiegare i risultati del suo esperimento di diffusione di particelle α da nuclei pesanti ricavò che il nucleo è assimilabile ad una sfera di raggio ≈ 10

cm. Successivamente il raggio dei nuclei fu stimato da una analisi della relazione empirica tra le vite medie τ degli α-emettitori e l’energia cinetica T

delle particelle α emesse, che fu trovata essere del tipo:

ln τ + a⋅ ln T

= costante

dove il parametro a è tale che, come vedremo qunado studieremo in maggior dettaglio il decadimento alfa, per un piccolo intervallo di variabilità di T

(tra 4 e 9 MeV) la vita media varia invece enormemente (tra 10

s e 10

y). Fu trovata la relazione: r = r

⋅A

, con r

≈ 1.3 fm.

La densità numerica dei nucleoni risulta allora essere:

03

03

4 r

3 A r 4

A 3 V n A

= π

= π

= ≈ 10

cm

e, non dipendendo da A, è la stessa per tutti i nuclei.

Anche la densità massica della materia nucleare risulta indipendente da A e costante per tutti i nuclei:

3 0 p p

r 4

m 3 V Am V M

= π

≈

=

ρ ≈ 10

g⋅cm

Il fatto che la densità sia costante, ci dice che la materia nucleare è incomprimibile, e questa proprietà indica una somiglianza tra la materia nucleare ed un liquido. Questa analogia segue anche dalla dipendenza quasi lineare esistente tra l’energia di legame di un nucleo ed il suo numero di massa, che può essere paragonata alla dipendenza lineare dell’energia di vaporizzazione di un liquido dalla sua massa. Inoltre la proprietà di saturazione delle forze nucleari (che segue dal fatto che B/A ≈ cost.) rende l’analogia piu completa poichè la stessa proprità è anche posseduta dalle forze chimiche di legame delle molecole in un liquido. Su questa basi Bohr, Wheeler e Frenkel svilupparono il modello a goccia del nucleo, che portò alla formula semiempirica per l’energia di legame ottenuta da Weiszacker.

Questo modello fu in grado di spiegare un grande numero di fenomeni, compresi alcuni aspetti del decadimenti beta, il fenomeno della fissione nucleare e le leggi del decadimento alfa.

3.2 Modello a goccia di liquido (Weiszacher)

Questo modello molto semplice è in grado di spiegare, mediante pochi parametri

empirici, importanti proprietà dei nuclei. Abbiamo già visto che se riportiamo in

grafico il numero dei neutroni N=A-Z contenuti nel nucleo in funzione di Z per tutti

i nuclei stabili, si ottiene il diagramma mostrato in figura3.1

28

Esiste senza dubbio una relazione tra N e Z in quanto i punti rappresentativi giacciono dentro una piccola regione, quasi una linea nel piano N-Z.

Abbiamo già notato come, in prima approssimazione, l’energia di legame per nucleone sia costante:

A

B ≈cost → B ∝ A (3.1)

Il fatto che l’energia di legame per nucleone non dipenda da A indica una importante proprietà delle forze nucleari: esse sono a corto range. Ogni singolo nucleone all’interno del nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti (quelli “a contatto”) e non con tutti gli A nucleoni. Questa peculiarità delle forze nucleari spiega la salita iniziale della curva da B/A in funzione di A e la zona di “plateau” successiva.

Diverso è il caso delle forze elettriche, il cui range è infinito: l’energia potenziale elettrica di una sfera di raggio R contenente una carica Ze uniformemente distribuita è data da:

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∫

∫ ^{= =}

=

el

dq r

r r r q

dq r V dU

U

Figura 3.1 la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N

29

dove: q(r)=ρ

π r

e dq(r)= ρ

4 π r

dr

sostituendo, integrando, e notando che

34

el

R

Q

= π

ρ , si ottiene:

R e Z 5 3 R Q 5

U

= 3

=

(3.2)

L’energia potenziale per unità di carica vale quindi

R Ze 5 6 dZ

dU

=

, e aumenta linearmente con Z.

Partendo dalla anlogia con la goccia di liquido, scriviamo una espressione dell’energia di legame del nucleo, riservandoci di giustificare in seguito i vari termini che la compongono:

( )

A Z 2 A A

A Z A

B = α − β

− γ

− ζ −

Analizziamo ora i vari termini:

• αA rappresenta il termine di volume discendente direttamente dalla relazione (3.1) precedente.

• βA

rappresenta il termine di superficie. Schematizzando il nucleo come una sfera di densità uniforme e raggio r=r

A

, si ricava che la superficie esterna del nucleo vale 4 π r

A

. I nucleoni che stanno sulla superficie, il cui numero è ovviamente proporzionale appunto ad A

, risultano meno legati di quelli che si trovano immersi nella materia nucleare: da qui deriva il segno meno.

•

A

Z

γ

rappresenta il termine coulombiano (3.2) di repulsione tra i protoni confinati all’interno del nucleo. Immaginando il nucleo come una sfera uniformemente carica, l’energia potenziale di tale distribuzione vale:

3 O 1

2 2 2

A r 5

e Z 3 r q 5

U = 3 =

e naturalmente va a diminuire (vedi segno meno) l’energia di

legame.

• ( )

A Z 2 A −

ζ è un termine aggiuntivo, indipendente dalla analogia con la goccia di liquido. Esso deriva dalla osservazione sperimentale che nei nuclei Z ed N non sono indipendenti: anzi, specie per i nuclei leggeri (A<40) essi tendono ad eguagliarsi.

Questo significa che nuclei per i quali Z=A/2 sono più stabili e quindi hanno più alta energia di legame: deviazioni dall’uguaglianza Z=A/2 per eccesso o per difetto (vedi dipendenza quadratica) portano ad una diminuzione (vedi segno meno). Questo fatto si può appunto riassumere in un termine proporzionale ad A (nella goccia l’energia è proporzionale alla massa della goccia) del tipo:

( )

( ) ( )

A Z 2 A Z

N Z

A N

= ζ ⋅ −

+

⋅ −

⋅

ζ

30

Vediamo ora di ricavare i coefficienti da considerazioni approssimate ma semplici.

In realtà la procedura utilizzata è più raffinata ma più complessa, e comunque non porta a differenze sostanziali rispetto alla nostra.

Il termine dovuto alla correzione coulombiana si ricava direttamente:

MeV 667 r 0

5 e 3

O 2

= .

= γ

La dipendenza di Z = Z(A) per i nuclei stabili risulta essere la seguente:

3

A

015 0 2

Z A

.

= + (3.3)

Per questo valore di Z l’energia di legame è massima, e quindi:

B

d =

.

Dalla relazione: ( ) ₀

A Z 2 4 A

A 2 Z Z d

B d

3

1

+ ζ − =

γ

−

=

si ricava:

( )

Z Z 2 A A

2

− ς =

γ

.

Se eliminiamo Z tramite la (3.3), notando che ( A − 2 Z ) = 0 . 015 ⋅ Z ⋅ A

, sparisce anche la dipendenza da A e si ricava:

ζ

γ =0.03 e quindi, noto γ , si trova: ζ= 22.2 MeV

La curva f ( ) A A

B = deve avere il massimo ad A=60. Dalla relazione:

A 0 B dA

d

60 A

 =



 





=

con: ( )

2 2 3

4 3 2 1

A Z 2 A A

A Z A

B = α − β

− γ

− ζ − , si ottiene:

γ

=

β 25 60 e quindi β = 16 MeV.

Imponendo infine, sempre da osservazioni sperimentali, che

A B =8.8 MeV per A=60 e Z=28 si ricava α = 15.2 MeV. Finalmente:

( )

A Z 2 2 A A 22

Z 667 A 0

0 16 A 2 15

B = . − .

− .

⋅

− . −

• Vi è un ultimo termine, anche questo indipendente dalla analogia con la goccia di

liquido. I nuclei possono essere divisi in tre gruppi per quanto riguarda la loro

stabilità. Il primo gruppo contiene i nuclei più stabili, quelli con Z ed N entrambi

pari (per questo detti “pari-pari”), mentre il secondo gruppo contiene i nuclei meno

stabili “pari-dispari” e “dispari-pari”, aventi A dispari. Infine il terzo gruppo

contiene i nuclei “dispari-dispari” che di regola sono instabili (i nuclei dispari-dispari

stabili sono solo quattro:

H,

Li,

B,

N). Per questo motivo, un cambio di un’unità

nella carica nucleare Z ad A fissato trasforma un nucleo pari-pari in uno dispari-

dispari (o viceversa), e fa quindi variare bruscamente l’energia di legame. Questo

effetto non è ovviamente spiegabile con una analogia idrostatica e si deve

introdurre un ulteriore termine “ad hoc”: esso è espresso come δA

.

31

La formula completa per l’energia di legame B risulta allora:

( )

3 1 3 2

2

A

A Z 2 A A

A Z A

B = α − β

− γ

− ζ − + δ

il valore di δ, dedotto ancora una volta da un confronto sperimentale, è dato dalla seguente espressione:

 

 



 

 



−

−

− +

= δ

dispari dispari

34

dispari A

0

pari pari 34

Dalla formula che fornisce il valore dell’energia di legame B, si ricava immediatamente la formula di B/A:

( )

2 2 3

4 3 2

1

A

A Z 2 A A

A Z A

B

/

/ −

−

− γ − ζ − + δ

β

− α

=

Noto B, possiamo ricavare il valore della massa nucleare M(Z,A) = Zm

+ (A-Z)m

– B. Essa vale:

( ) ( ) ( )

3 1 3 2 n 2

p

A

A Z 2 A A

A Z A m Z A Zm A

Z

M , = + − − α + β

+ γ

+ ζ − − δ

Calcoli più raffinati forniscono i seguenti valori numerici per le costanti della formula:

costante valore (MeV)

α 15.75

β 17.8

γ 0.71

δ 0, ±34

ζ 23.7

3.3 Applicazioni del modello a goccia

Utilizzando i coefficienti in tabella è possibile calcolare, noti Z ed A, l’energia di legame di qualsiasi nucleo con un errore relativo dell’ordine del percento. Il calcolo della massa è sorprendentemente preciso, con un errore di 10

. Il modello a goccia permette di calcolare l’energia di separazione di un protone (ε

), di un neutrone (ε

), o di una particella alfa (ε

), ossia la minima energia che si deve fornire ad un nucleo per strappare un protone, un neutrone o una particella alfa.

M(Z,A)+ ε

= m(Z-1,A) + m

Da cui: ε

= m(Z-1,A) + m

– m(Z,A) = B(Z,A) – B(Z-1,A-1) Analogamente:

ε

= B(Z,A) – B(Z,A-1)

ε

= B(Z,A) – B(Z-2,A-4) – B(

He)

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Il modello a goccia è anche usato per derivare una condizione che lega A e Z per tutti i nuclei stabili rispetto al decadimento beta. La formula che fornisce la massa di un nucleo:

( ) ( ) ( )

3 1 3 2 n 2

p

A

A Z 2 A A

A Z A m Z A Zm A

Z

M , = + − − α + β

+ γ

+ ζ − − δ

presenta una dipendenza di tipo parabolico (vedi figura 3.2) della massa nucleare da Z, ad A fissato.

Abbiamo già detto che il nucleo più stabile ha un maggior difetto di massa e quindi massa più piccola. Pertanto il valore Z

che corrisponde a questo nucleo può essere determinato trovando il minimo della cirva. Differenziando rispetto a Z l’espressione della massa ed uguagliando a zero:

0 2 Z

A A ZA 2

2 m dZ m

dm

n

p

 =



 



 −

− ς γ

+

−

=

da cui si ricava: ( ^{− + ς} )

γ +

= ς

m

m

A

2 2

Z A

che, sostituendo i valori numerici, diviene:

A 015 0 97 1

Z A

.

. +

=

Se si usa questa espressione per calcolare Z

per gli isobari stabili per decadimento beta e si confronta con i valori sperimentali, si trova un ottimo accordo: Z

differisce al più di ±1 dal valore sperimentale. Abbiamo visto che se A è dispari, il termine δ della formula della massa vale zero, e la funzione m(Z) assume valori

Fig 3.2 dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A dispari

33

singoli. Fissato A, esiste quindi un unico valore di Z

che corrisponde ad un isobaro stabile (vedi fig. 3.2) Il nucleo con Z=Z

+1 decade β

nel nucleo Z

, mentre il nucleo con Z=Z

-1 decade β

nel nucleo Z

. La situazione è la stessa per i nuclei (A,Z

±2) che decadono β

nei nuclei (A,Z

m1). Se però A è pari la funzione m(Z) assume due valori diversi perchè δ = ±34 a seconda che il nucleo sia dispari-dispari (+34) o pari- pari (-34)

La parabola inferiore corrisponde ai nuclei con Z pari, mentre la parabola superiore a nuclei (meno stabili) con Z dispari. La figura 3.3 a) mostra che, poichè due nuclei contigui sulla stessa parabola differiscono di due unità in Z, possono esistere fino a tre isobari stabili per i nuclei pari-pari. Infatti una transizione del nucleo con una carica Z

±2 in un nucleo con carica Z

±1 non è energeticamente possibile, e una transizione ditretta da Z

±2 a Z

tramite un doppio decadimento beta è estremamente improbabile. Viceversa, poichè ciascun nucleo nella parabola superiore ha un corrispondente nucleo nella parabola inferiore che differisce per ±1 in numero atomico, tutti i nuclei dispari-dispari devono essere instabili, ed in effetti le uniche eccezioni sono rappresentate da:

H,

Li,

B,

N. In questi casi i nuclei isobari sono arrangiati come in figura 3.3 b). Ovviamente in questo caso gli

Fig 3.3 dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari

34

isobari pari-pari devono essere instabili. Per esempio i nuclei

C e

O si trovano al di sopra del nucleo stabile

N (fig. 3.4)

Il modello a goccia può ovviamente essere anche usato per calcolare l’energia del decadimento beta: E

= m(Z,A) – m(Z+1,A). Per l’energia cinetica delle particelle beta emesse:

T

= E

- m

= m(Z,A) – m(Z+1,A) – m

= m

– m

– m

+ B(Z+1,A) – B(Z,A)

Fig. 3.4 disposizione relativa dei nuclei

C,

O e

N sul piano m-Z