Cognome Nome A. Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti.

Cognome Nome

A

Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti.

1)

2)

4)

5)

1) Siano r la retta passante per i punti A = (1, 2,−1) e B = (0, 1, 0) ed s la retta di equazioni cartesiane x− y + z + 2 = 0, 2x + z − 1 = 0 .

1. Si mostri che le due rette sono complanari.

2. Si trovi un’equazione cartesiana del piano π che le contiene.

3. Si trovi la proiezione ortogonale su π del punto C = (0,−2, 2) .

2) In R⁴ si considerino i vettori

v₁= (0,−1, −1, −1), v₂= (2, 3, 2, 2), v₃= (1, 1, 2, 0).

L’insieme {v₁, v₂, v₃} `e linearmente indipendente?

Si trovi il valore di k per il quale il vettore v4= (0, 2k , 5, k ) appartiene al sottospazio generato da v₁, v₂ e v₃ e, per tale valore, si scriva v₄ come combinazione lineare di v₁, v₂ e v₃.

3) Si dia la definizione di sottospazio di un spazio vettoriale. Si facciano esempi di due sottoinsiemi di M₂(R) , tali che uno sia un sottospazio e l’altro no.

4) Si consideri la funzione lineare TA: R⁴→ R³ definita dalla moltiplicazione per la matrice

A =





1 2 0 1

1 3 −1 1

3 2 4 3





1. Si trovino la dimensione e una base per nucleo e immagine di TA.

2. Per quali valori del parametro reale k il vettore v = (k , 0, k + 2,−k) appartiene al nucleo di T_A?

3. (Solo per chi svolge solo la seconda parte del compito) Si scriva la matrice rappresen- tativa, rispetto ad una base opportunamente scelta, della funzione lineare f : R³ → R³ il cui nucleo `e il sottospazio generato da v₁ = (1, 1, 0) e v₂ = (0, 1, 1) , e che manda v₃= (1, 0, 1) in (2, 0, 2) .

5) Sia T : R³→ R³ la funzione lineare la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di R³ `e la matrice





1 2 0

1 3 −1 2 2 −1



 1. Si stabilisca se T `e diagonalizzabile.

2. Per quali valori di k il vettore v = (2, k , 2) `e un autovettore di T ?

6) Si enunci il Teorema del completamento a una base. Quali sono le sue conseguenze pi`u importanti?

Cognome Nome

B

Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti.

1)

2)

4)

5)

1) Siano r la retta passante per i punti A = (−1, 1, 2) e B = (0, 0, 1) ed s la retta di equazioni cartesiane x + y− z + 2 = 0, x + 2y − 1 = 0 .

1. Si mostri che le due rette sono complanari.

2. Si trovi un’equazione cartesiana del piano π che le contiene.

3. Si trovi la proiezione ortogonale su π del punto C = (2, 0,−2) .

2) In R⁴ si considerino i vettori

v₁= (2, 1, 1, 0), v₂= (2, 3, 0,−2), v₃= (0,−1, −1, 1) L’insieme {v₁, v₂, v₃} `e linearmente indipendente?

Si trovi il valore di k per il quale il vettore v₄= (0, 2k−1, 1, 5) appartiene al sottospazio generato da v1, v2 e v3 e, per tale valore, si scriva v4 come combinazione lineare di v1, v2 e v3.

3) Si definisca il prodotto vettoriale di due vettori geometrici nello spazio, se ne enuncino le propriet`a principali e si spieghi come si possono utilizzare il prodotto vettoriale ed il prodotto misto per trovare aree e volumi?

4) Si consideri la funzione lineare T_A: R⁴→ R³ definita dalla moltiplicazione per la matrice

A =





1 −1 2 0

2 0 1 3

3 −1 3 3





1. Si trovino la dimensione e una base per nucleo e immagine di T_A.

2. Per quali valori del parametro reale k il vettore v = (−2, k − 1, k, k) appartiene al nucleo di T_A?

3. (Solo per chi svolge solo la seconda parte del compito) Si scriva la matrice rappresen- tativa, rispetto ad una base opportunamente scelta, della funzione lineare f : R³ → R³ il cui nucleo `e il sottospazio generato da v1 = (1, 0, 1) e v2 = (0, 1, 1) , e che manda v₃= (1, 1, 0) in (−2, −2, 0) .

5) Sia T : R³→ R³ la funzione lineare la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di R³ `e la matrice





−1 6 −2

1 3 −1

0 6 −3



 1. Si stabilisca se T `e diagonalizzabile.

2. Per quali valori di k il vettore v = (1, 1− k, 1) `e un autovettore di T ?

6) Si dia la definizione di molteplicit`a algebrica e molteplicit`a geometrica di un autovalore. Si faccia un esempio in cui tali molteplicit`a sono diverse.

Cognome Nome

C

Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti.

1)

2)

4)

5)

1) Siano r la retta passante per i punti A = (3, 0, 0) e B = (0,−1, −1) ed s la retta di equazioni cartesiane 2x + y− 1 = 0, x + 3y + z + 2 = 0 .

1. Si mostri che le due rette sono complanari.

2. Si trovi un’equazione cartesiana del piano π che le contiene.

3. Si trovi la proiezione ortogonale su π del punto C = (2, 0, 2) . 2) In R⁴ si considerino i vettori

v1= (3,−1, 1, 0), v2= (2,−2, 0, −2), v3= (0,−1, 1, 1) L’insieme {v₁, v₂, v₃} `e linearmente indipendente?

Si trovi il valore di k per cui il vettore v₄= (0, 2k− 1, 1, −3) appartiene al sottospazio generato da v1, v2 e v3 e, per tale valore, si scriva v4 come combinazione lineare di v1, v2 e v3.

3) Si enunci il Teorema della nullit`a pi`u rango e lo si illustri con un esempio. Si ricordino alcune conseguenze di questo teorema.

4) Si consideri la funzione lineare T_A: R⁴→ R³ definita dalla moltiplicazione per la matrice

A =





1 0 −1 1

3 1 −3 4

3 −1 −3 2





1. Si trovino la dimensione e una base per nucleo e immagine di T_A.

2. Per quali valori del parametro reale k il vettore v = (k ,−1, 2, k) appartiene al nucleo di T_A?

3. (Solo per chi svolge solo la seconda parte del compito) Si scriva la matrice rappresen- tativa, rispetto ad una base opportunamente scelta, della funzione lineare f : R³ → R³ il cui nucleo `e il sottospazio generato da v₁ = (0, 1, 1) e v₂ = (1, 0, 1) , e che manda v3= (1, 1, 0) in (3, 3, 0) .

5) Sia T : R³→ R³ la funzione lineare la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di R³ `e la matrice





1 1 2

2 3 2

0 −1 −1



 1. Si stabilisca se T `e diagonalizzabile.

2. Per quali valori di k il vettore v = (−1, k, 1) `e un autovettore di T ?

6) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e e siano A = {a1, . . . , an} , B = {b1, . . . , bn} basi di V . Cos’`e la matrice di transizione (o di passaggio) dalla base A alla base B ? Costruirla esplicitamente in un esempio, con V = R².

Cognome Nome

D

Scrivere le risposte agli esercizi 1,2,4,5 negli spazi sottostanti.

1)

2)

4)

5)

1) Siano r la retta passante per i punti A = (0, 3, 0) e B = (−1, 0, −1) ed s la retta di equazioni cartesiane 2y + z− 1 = 0, x + y + 3z + 2 = 0 .

1. Si mostri che le due rette sono complanari.

2. Si trovi un’equazione cartesiana del piano π che le contiene.

3. Si trovi la proiezione ortogonale su π del punto C = (2, 2, 0) . 2) In R⁴ si considerino i vettori

v1= (−2, −1, 1, 0), v2= (2, 0, 0,−1), v3= (1, 3, 1, 1) L’insieme {v₁, v₂, v₃} `e linearmente indipendente?

Si trovi il valore di k per cui il vettore v₄= (−1, 0, k − 6, 2) appartiene al sottospazio generato da v1, v2 e v3 e, per tale valore, si scriva v4 come combinazione lineare di v1, v2 e v3.

3) Si dia la definizione di spazio vettoriale finitamente generato. Si facciano due esempi di spazi vettoriali reali tali che uno sia finitamente generato e uno no, motivando la risposta.

4) Si consideri la funzione lineare T_A: R⁴→ R³ definita dalla moltiplicazione per la matrice

A =





−1 1 2 0

2 −1 −3 1

3 1 −2 4





1. Si trovino la dimensione e una base per nucleo e immagine di T_A.

2. Per quali valori del parametro reale k il vettore v = (1, k− 2, 1 − k, 1) appartiene al nucleo di TA?

3. (Solo per chi svolge solo la seconda parte del compito) Si scriva la matrice rappresen- tativa, rispetto ad una base opportunamente scelta, della funzione lineare f : R³ → R³ il cui nucleo `e il sottospazio generato da v₁ = (1, 1, 0) e v₂ = (1, 0, 1) , e che manda v3= (0, 1, 1) in (0, 4, 4) .

5) Sia T : R³→ R³ la funzione lineare la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di R³ `e la matrice





−1 1 0

6 3 6

−2 −1 −3



 1. Si stabilisca se T `e diagonalizzabile.

2. Per quali valori di k il vettore v = (−1, k − 2, 1) `e un autovettore di T ?

6) Si dia la definizione di matrice ortogonale. Quali sono i possibili valori del determinante di una matrice ortogonale? Si faccia un esempio di una matrice ortogonale 2× 2 .