MISURE E STRUMENTAZIONE 20 gennaio 2021

MISURE E STRUMENTAZIONE 20 gennaio 2021

Prof. Michele Norgia Primo appello AA 2020/2021

Tempo a disposizione 1 h 50min (55min solo II parte) ore 13.30

Cognome e nome: ___________________________________ _____________________ (stampatello) Matricola e firma __ __ __ __ __ __ ____________________ (firma leggibile) Esercizi svolti (almeno parzialmente): precompito 1 2 3 4 (7+8+5+7+5 =32p) (crocettare) N.B. si consiglia di crocettare, qui sopra, gli esercizi almeno parzialmente svolti. Si richiede di crocettare tutti i sottopunti, ad es. 1c), 1d), degli esercizi ai quali si è dato risposta.

Crocettare SOLO SECONDA PARTE (ESERCIZI 3 e 4)

SOLUZIONI

(35 min) Esercizio 1

(svolgere su questo foglio e sul retro)

1a) La misura del volume di un bracciale d’oro viene effettuata stimando l’incremento di volume di acqua in un recipiente tarato. Per diminuire l’errore, la misura viene fatta 5 volte, ottenendo i seguenti valori di misura:

Vi [cm³] = 3.03; 2.99; 3.01; 2.97; 3.00.

Si stimi il volume di oro V e la sua incertezza tipo (non si consideri un’eventuale quantizzazione delle singole misure).

Cambierebbe il risultato se le singole misure fossero state arrotondate a 0.01 cm³?

1b) Supponendo che il bracciale sia di oro puro, ne stimiamo il peso a partire dalla sua densità, che vale ρ=19.3 gr/cm³, nota con incertezza relativa dell’1%.

Si calcoli la forza peso P del bracciale e la sua incertezza relativa, sapendo che l’accelerazione di gravità vale g=9.81 m/s², valore arrotondato alla seconda cifra decimale.

1c) Pesiamo il bracciale con una bilancia elettronica con risoluzione 0.01 N e accuratezza del fattore di scala pari allo 0.5% del valore misurato, ottenendo 0.51 N. Si calcoli l’incertezza di questa seconda misura.

1d) Si valuti la compatibilità delle due misure di peso effettuate e si fornisca la miglior stima possibile per il peso del bracciale. Si consideri di non aver compiuto errori di misura, ma al più supposizioni errate.

1a) Essendo in presenza di 5 misure ripetute, stimiamo il valore di misura come la media campionaria delle 5 misure:

3 5

1

cm 000 . 5 3

1

∑

=

=

=

=

i

Vi

V V

L’incertezza della misura è invece stimata dalla deviazione standard campionaria del valor medio:

( ) ( ) ^{( )} ∑ ( )

=

− −

=

=

= ⁵

1

2

1 5

1 5 1

5 i

i V

V V V s

s V

u = 0.01 cm³ = 10 mm³.

Quindi, V=3000(10) mm³.

Se le singole misure fossero quantizzate, dovremmo tenere in conto l’incertezza di quantizzazione, stando attenti a

12

5  5×

 



Per cui, come prevedibile, considerare l’eventuale l’errore di quantizzazione in questo caso è assolutamente irrilevante.

1b) La misura della forza peso si ottiene come P = V×ρ×g.

Stimiamo l’incertezza dell’accelerazione di gravità considerando che l’errore di arrotondamento possa essere uniformemente distribuito:

g=9.81 m/s² e u(g) = (0.01 m/s²) / 12 ≅ 0.0029 m/s².

La forza peso vale dunque P = V ×ρ×g = 3 cm³× 19.3 gr/cm³× 9.81 m/s²≅ 0.5679 N

Essendo P una produttoria di variabili ad esponente unitario, il quadrato della sua incertezza relativa è pari alla somma dei quadrati delle incertezze relative delle singole variabili. Calcoliamo prima le incertezze relative ur(V) = 10 mm³/ 3 cm³ = 0.33 %

ur(ρ) = 1 %

ur(g) = 0.0029 m/s² / 9.81 m/s² ≅ 3×10^-4(sicuramente trascurabile rispetto alle altre due) L’incertezza relativa di P vale quindi:

ur(P)= ^u

( )

( )

( )

2 r 2

r + ρ + ≅1.1 %

Il risultato finale della misura è P = 0.5679(60) N

1c) L’incertezza della pesata P2 è data da due contributi: l’incertezza di quantizzazione uq e l’incertezza del fattore di scala uf, che si sommano quadraticamente, in quanto scorrelati:

uq = 0.01 N / ≅ 0.0029 N uf = 0.51 N × 0.5% ≅ 0.0026 N u(P2) = u_q² +u_f² ≅ 0.0039 N Il risultato finale della misura è P2 = 0.5100(39) N

1d) Siamo in presenza di due misure indipendenti della stessa grandezza che hanno fornito valori di misura diversi tra loro. Valutiamo la compatibilità tra le due misure secondo il criterio di compatibilità standard che prevede di confrontare la distanza tra i due valori con una combinazione delle due incertezze standard, secondo la relazione:

( )

( )

2 comp

2 k u P u P

P

P− ≤ + . Sostituendo i valori del caso, si ottiene (57.9 mN) ≤ kcomp(7.2 mN) che non è verificata neanche per kcomp = 3. Le due misure sono tra loro non compatibili.

Per la misura del peso, disponendo di 2 misure non compatibili, non possiamo ricorrere al criterio della media pesata, per cui dobbiamo decidere diversamente il da farsi. In questo caso, supponendo di non aver commesso errori, l’evidenza sperimentale dimostra che il bracciale non è di oro puro (si ricordi l’esperimento di Archimede), per cui la miglior stima possibile del peso della collana è quella fornita dalla bilancia elettronica:

P = 0.5100(39) N

(20 min) Esercizio 2

(svolgere su questo foglio e sul retro)

2) Intendiamo acquisire contemporaneamente i seguenti segnali con una scheda DAQ:

• Segnale analogico con banda massima di 100 kHz, ampiezza massima 8 V picco-picco, in AC, di cui si vogliono apprezzare dettagli con risoluzione migliore di 10 mV.

• Segnale di temperatura proveniente da una termocoppia, sensibilità di 40 μV/K, impiegata per misurare una temperatura intorno ai 120 °C con incertezza estesa (fattore di copertura 3) di 300 mK (il giunto freddo viene mantenuto a 20°C esatti).

2a) La famiglia di schede DAQ presa in considerazione ha un campionatore interno con dinamica ±5 V e guadagni impostabili 1, 10, 100. Si indichino le caratteristiche minime che deve avere per effettuare correttamente la misura.

2b) Intendiamo sostituire il sensore a termocoppia con un NTC (R0 = 10 kΩ a 25 °C, β= 3977 K), alimentato a corrente costante I = 1 mA. Si calcoli la sensibilità del sistema di misura a NTC.

Come cambiano le richieste sulla scheda DAQ, per avere la stessa incertezza sulla misura di temperatura?

2a) La scheda di acquisizione deve avere almeno 2 canali di ingresso, operanti in modalità differenziale, cosa indispensabile per misurare il segnale della termocoppia (segnale molto piccolo e non riferito a massa, che verrebbe coperto dai disturbi se connesso in modalità single-ended).

Volendo acquisire contemporaneamente i 2 segnali, la scheda di acquisizione deve avere una frequenza di campionamento 2 volte più grande di quella indispensabile per ciascun canale. Inoltre il numero di bit è dettato dal canale che richiede la migliore risoluzione relativa.

Il primo segnale deve essere campionato ad almeno 200 kSa/s (il doppio della sua banda massima di 100 kHz.

Il secondo segnale è una misura di temperatura, che quindi non ha problemi di velocità (le fluttuazioni termiche sono molto lente, tipicamente dell’ordine dei secondi).

Le dinamiche d’ingresso selezionabili dalla scheda sono ±50 mV, ±500 mV, ±5 V, il numero di bit necessario per ogni canale diventerebbe:

1° canale – dinamica selezionata ±5 V, N = dinamica/risoluzione = 10 V / 10 mV = 1000. Per cui il numero di bit richiesti per questo canale è n = 10 (2ⁿ = 1024).

2° canale - L’incertezza in tensione richiesta vale u(V) =1/3 × 300 mK × 40 µV/K = 4 µV (attenzione al fattore di copertura 3), a cui corrisponde un intervallo di quantizzazione (risoluzione)

14 12 )

( × ≅

=

∆V uV µV (nell’ipotesi che il contributo d’incertezza dominante sia quello di quantizzazione). La dinamica stimata vale 100 K × 40 µV/K ≅ 4 mV (si pensa di misurare temperature intorno ai 120 °C, con giunto freddo a 20°C).

Dinamica selezionata ±50 mV, N = dinamica/risoluzione = 100 mV / 14 µV = 7142. Per cui il numero di bit richiesti è n = 13 (2ⁿ = 8192).





Sostituendo i valori, la sensibilità a 120°C vale SNTC = - 10.2 mV/K. (circa 250 volte più sensibile della termocoppia).

La risoluzione richiesta per avere le stesse prestazioni è quindi 250 volte più grande di quella della termocoppia, per cui

=

×

∆

=

∆V_NTC V_termocoppia 250 3.5 mV

Rifacciamo quindi i calcoli per il terzo canale:

2° canale – dinamica selezionata ±500 mV, N = dinamica/risoluzione = 1 V / 3.5 mV = 286. Per cui il numero di bit richiesti è drasticamente diminuito a n = 9 (2ⁿ = 512).

Per cui basterebbe una scheda a 10 bit, come richiesto dal primo canale.

(35 min) Esercizio 3

(svolgere su questo foglio e sul retro)

3) Con un oscilloscopio digitale si misura la risposta in frequenza di un filtro passa-alto a singolo polo. Al segnale di ingresso del filtro è sovrapposto un offset di 1 V. In figura è riportata una misura con le seguenti impostazioni: scala orizzontale a 100 ns/DIV; due scale verticali a 5 mV/DIV, trigger a centro schermo.

3a) Come sono stati connessi i segnali all’oscilloscopio? Si riporti l’espressione analitica dei segnali che stiamo misurando.

3b) Si indichino le impostazioni dell’oscilloscopio probabilmente impiegate in questa misura.

3c) Possiamo stimare la frequenza del polo del filtro? Si motivi la risposta.

3d) Si intende visualizzare il segnale connesso a CH2 con un analizzatore di spettro a supereterodina, impostando SPAN = 1 MHz ed RBW=10 kHz. Si calcoli il fondo di rumore, considerando che l’analizzatore di spettro ha una figura di rumore NF= 20 dB. Si stimi il tempo di scansione di una traccia.

3e) Si scelgano le impostazioni rimanenti per visualizzare bene il segnale a centro schermo e si disegni la schermata corrispondente dell’analizzatore.

è connesso l’ingresso. I due segnali sono:

CH1: s₁(t)= A₁sin(2πft) con A1= 20 mV e f = 2 MHz (periodo T = 500 ns) CH2: s₂(t)= A₂sin(2πft+ϕ) con A2= 14 mV , f = 2 MHz e ϕ = +45°

3b) Impostazioni oscilloscopio:

• L’accoppiamento è sicuramente in AC, almeno per CH1 (sullo schermo non compare l’offset di 1 V).

• Il trigger dovrebbe essere su CH1 a level 0V con slope positiva (a centro schermo)

• Modalità AUTO o NORM (dallo schermo non possiamo saperlo e per questi segnali sarebbe indifferente).

3c) Considerando l’attenuazione (3 dB) e lo sfasamento (45° in anticipo), stiamo misurando proprio la frequenza del polo, che quindi è a 2 MHz.

3d) La potenza del segnale a 2 MHz si calcola come P=V²/R se V è il valore efficace e R=50 Ω è l'impedenza d'ingresso dell'analizzatore di spettro. Come noto, per una sinusoide Veff= Vp / 2 .

P=

( )

Ω 50 2

V 014 .

0 ²

× =2 µW corrispondenti a -27 dBm

Il segnale è a 2 MHz ed è richiesto uno SPAN di 1 MHz, per cui fSTART=1. 5 MHz, fSTOP=2.5 MHz.

Dobbiamo visualizzare una singola sinusoide, per cui non ci sono richieste stringenti sulla risoluzione in frequenza, il testo suggerisce di scegliere RBW=10 kHz.

Il fondo di rumore è pari al rumore dell’AS PAS:

PN,AS,(dBm)=kT(dBm/Hz)+NF(dB)+10log (RBW / 1 Hz) =-174 dBm/Hz+20 dB+40 dBHz= -114 dBm .

Dunque possiamo ad esempio scegliere un Reference Level RL= -20 dBm e una amplificazione verticale Ay=10 dB/DIV, con quindi un fondo scala di visualizzazione a -120 dBm.

Il tempo di scansione per 1 traccia vale ST=3×SPAN/(RBW)²=0.3 ms 3e)

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Frequenza [MHz]

-120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20

Potenza [dBm]

(20 min) Esercizio 4

(svolgere su questo foglio e sul retro)

4) Si effettua una misura di tensione continua con 3 differenti voltmetri digitali, che hanno la stessa dinamica

±10 V e lo stesso rumore elettronico con valore efficace VN,ele=8 mV:

F) voltmetro flash (8 bit)

A) voltmetro ad approssimazioni successive (12 bit) I) voltmetro integratore a doppia rampa (40 000 livelli)

4a) Valutare la risoluzione e l’incertezza di quantizzazione di ciascun voltmetro.

4b) Dopo avere riportato e commentato la formula rappresentativa, si valuti, ancora per ciascuno dei 3 casi considerati, il numero di bit equivalenti.

4c) Il voltmetro integratore considerato dispone di un orologio interno con frequenza di clock fc=100 kHz e integra per un tempo TI=100 ms.

Si calcoli il valore della tensione di riferimento utilizzata VR, e il numero massimo di conteggi nelle fasi di salita, Nu,max, e di discesa, Nd,max.

4d) Si valuti la reiezione del voltmetro, esprimendola in dB, a due disturbi sinusoidali: uno alla frequenza di rete l’altro alla frequenza di 321 Hz.

4a) Nei tre casi considerati, la dinamica di misura è D=±10 V=20 V

In generale, la risoluzione dimensionale è ∆V=D/2ⁿ, con n numero di bit del voltmetro.

Nei tre casi considerati le risoluzioni dimensionali sono:

ΔV^F=D/2⁸≅78.125 mV ; ∆VA=D/2¹²≅4.882 mV ; ∆VI=D/40000=500 µV mentre le incertezze di quantizzazione, uq=∆V/ 12 , sono:

uqF ≅22.55 mV ; uqA ≅1.41 mV ; uqI ≅144 µV

4b)In generale, il numero di bit equivalenti di un voltmetro digitale a n bit è











 +

−

= ₂¹log₂ 1 ²₂

q N

e n

n σ

σ

dove σq è il rumore di quantizzazione (pari all’incertezza di quantizzazione) e σN è il rumore aggiunto, pari in questo caso a VN,ele.

ne,F ≅8-0.085=7.9 bit ne,A ≅12-2.52≅9.5 bit

ne,I ≅15.3-5.8≅9.5 bit (attenzione al conto del numero di bit reale, che con 40000 livelli non è un numero intero)

Si osserva come, stante il livello di rumore elettronico indicato, la conversione a 40000 livelli non fornisce accuratezza migliore di quella a 12 bit (entrambe consentono di operare con circa 9.5 bit equivalenti).

4c) Si opera con D=±10 V, e ∆VI= D/40000=500 µV .

U

dove TU=Tu=TI è il tempo di integrazione. Per una data frequenza del disturbo, la reiezione avrà un valore generalmente crescente al crescere del tempo di integrazione e per valori specifici di TI (TI=m/f=mT dove f e T sono frequenza e periodo del disturbo mentre m è un numero intero) si può ottenere una reiezione idealmente infinita (o praticamente molto elevata).

La reiezione in dB si calcola come rdB=10⋅log10(r²)=20⋅log10(r).

Nel caso di f=50 Hz, il cui periodo T=20 ms è un sottomultiplo del tempo di integrazione TI=100 ms, si ottiene una reiezione rdB=∞.

Nel caso di f=321 Hz, svolgendo il calcolo in maniera precisa e con πfTI=100.845…, si ottiene una reiezione rdB=50.3 dB (pari a 326.3 in unità lineari, di ampiezza).