Laurea in Tecniche di Laboratorio Biomedico Laurea in Fisioterapia. a.a STATISTICA. Chiara Airoldi

Laurea in Tecniche di Laboratorio Biomedico Laurea in Fisioterapia

a.a. 2021-2022 STATISTICA

Chiara Airoldi

chiara.airoldi@uniupo.it

OBIETTIVI:

1-utilizzo delle tavole e calcolo probabilità per variabili normalmente distribuite

2- costruzione Intervalli di confidena

THEORY

1- classificazione delle variabili e costruzione della distribuzione di frequenze con rispettivi grafici

Variabili casuali continue

→Normale

→normale standardizzata

→t student

Normale e test

Distribuzione di

probabilità gaussiana (NORMALE

STANDARD CON MEDIA=0 E

DEVIAZIONE=1)

Data una variabile la cui distribuzione di probabilità è gaussiana, possiamo misurare la probabilità corrispondente a determinati intervalli di valori

Distribuzione normale standard

1 coda 2 code

Probabilità 0,001 0,01 0,025 0,05 0,1 0,001 0,01 0,02 0,05 0,1 3,09 2,33 1,96 1,65 1,29 3,30 2,58 2,33 1,96 1,65

Funzione di ripartizione della distribuzione normale

standardizzata

All’interno di sono i valori delle probabilità

All’esterno ci sono i valori soglia della normale standardizzata.

Calcolo il valore della statistica U, che mi consente di conoscere il valore di probabilità con l’ausilio delle tavole della Distribuzione Normale Standardizzata

Il calcolo della statistica U corrisponde ad una operazione di Normalizzazione.

dove:

x: valore cui siamo interessati

: deviazione standard nella popolazione

: media nella popolazione

Z: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati per (x, , ).

POPOLAZIONE

Dove:

x: media campionaria

: media nella popolazione

σ /n: errore standard nella popolazione

Z: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati per (x, , σ /n).

Quando si lavora con la media ottenuta da un campione (o gruppo) bisogna utilizzare :

CAMPIONE

12

Quale sarà la probabilità di osservare un soggetto con una statura inferiore a m 1,5928 data una popolazione con altezza media (μ) 1,730 e deviazione standard (σ) 0,07 (distribuzione di partenza assunta come normale)?

) 96 , 1 (

07 ) , 0

730 ,

1 5928 ,

( 1 )

5928 ,

1

( − =  −



=

 P Z P z

X P

Valore di x: 1,5928 Altezza media: 1,730

Deviazione standard: 0,07

𝑧 = 𝑥 − 𝜇

𝜎

Vorrei sapere quanta è l’area da -1.96 indietro (area grigia che sarà un valore compreso da 0 e 1). Anzi poiché è meno di metà curva sarà compreso tra 0 e 0.5

14

Devo cercare dalle tavole il valore -1.96 (esterno) e

vedere a che valore di area corrisponde (interno).

Non ci sono i valori negativi, ma la distribuzione è simmetrica per cui..

L’area indietro a -1.96= area dopo 1.96.

Dalle tavole ottengo però i valori a sinistra cioè l’area grossa per cui devo fare il complementare a 1.

1-funzione(1.96)

P(Z<=1.96)=0.975 Quindi

P(Z<-1.96)=1- 0.975=0.025

18

Se, nella stessa popolazione, decidessi di estrarre un campione di ampiezza 10, quale sarebbe la probabilità che l’altezza sia superiore a 1.65?

999 . 0 ) 7 . 3 (

2 ) . 3 / 07 , 0

730 , 1 65 . ( 1

) 65 . 1

( − =  − 



=

 P Z P Z

X P

Valore di x: 1,5928 Altezza media: 1,730

Deviazione standard: 0,07

Numerosità campionaria=10

n

Z  x − 

=

PASSAGGI:

1) Identifico i dati di interesse della popolazione: media,

deviazione standard. Devo capire se sto lavorando con la popolazione o con un campione

2) Costruisco la probabilità che devo indagare

3) Standardizzo, cioè mi riconduco a una normale standard 4) Faccio il disegno della distribuzione e capisco quanta e

quale parte di area cerco

5) Cerco dalle tavole i valori di interesse

Attenzione: le probabilità non possono mai essere

negative.

PRACTICE

Si consideri la distribuzione normale standardizzata con media=0 e deviazione standard=1

a. P(z>2,60) = ? b. P(z<1,35)=?

c. P(-1,70<z<3,10)=?

d. Quale valore di z delimita il 15% superiore della distribuzione normale standardizzata?

e. Quale valore di z delimita il 20% inferiore della distribuzione normale standardizzata?

ESERCIZIO 1

ESERCIZIO 2

L’aereonautica militare utilizza i seggiolini di espulsione ACES-II, progettati per uomini il cui peso varia tra 140 e 211 libbre. Dato che il peso delle donne è distribuito

normalmente con media 143 libbre e deviazione standard 29 libbre, quale è la percentuale di donne che rientra in questi limiti?

ESERCIZIO 3

L’altezza dal sedile alla parte superiore della testa dei guidatori è un parametro da considerare nella

progettazione di un nuovo modello di auto. Questa altezza per gli uomini è normalmente distribuita con media 36 pollici e deviazione standard 1,4 pollici. Gli ingegneri hanno presentato dei progetti che prevedono un’altezza massima di 38,8 pollici. Se si sceglie un

guidatore a caso, quale è la probabilità che l’altezza della sua seduta sia inferiore a 38,8? Basandosi si questo

risultato, il progetto ingegneristico è da ritenersi valido?

Media=36

Deviazione standard=1,4 Distribuita normalmente P(x≤38,8)=p(z ≤2)=0,9772

C’è una probabilità 0,9772 di selezionare in modo casuale un uomo che abbia un’altezza della seduta minore di 38,8 pollici.

Oppure

Il 97,72% degli uomini ha un’altezza della seduta inferiore a 38,8 pollici, di conseguenza per il 2,28% degli uomini le dimensione dell’auto non saranno adatte. Il produttore dovrà ora decidere se può permettersi di perdere il 2,28% di tutti i guidatori uomini

𝑧 = ^𝑥−𝜇

𝜎 = ^38,8−36

1,4 = 2

ESERCIZIO 4

Nella progettazione dei sedili che devono essere installati sugli aerei commerciali gli ingegneri

vogliono costruire i sedili larghi abbastanza da essere accessibili al 98% di tutti gli uomini. La larghezza dei fianchi degli uomini è distribuita

normalmente con media 14,4 pollici e deviazione

standard 1,0 pollici. Trovare p98 cioè la larghezza

dei fianchi degli uomini che separa il 98% inferiore

dei valori dal 2% superiore dei valori.

ESERCIZIO 5

Un avviso all’interno della funivia a Vail (Colorado), trasporta gli sciatori in cima alla montagna. Un avviso all’interno afferma che la sua capacità massima è di 12 persone, oppure 2004 libbre. Tale capacità verrà superata nel caso in cui la occupino 12 persone con pesi aventi una media maggiore di 2004/12=167 libbre. Poiché gli uomini tendono a pesare più delle donne, lo scenario peggiore è

quello di 12 passeggeri tutti uomini. Gli uomini hanno un peso che è distribuito normalmente con media 172 libbre e deviazione standard 29 libbre.

Calcolare la probabilità che un singolo individuo selezionato casualmente abbia un peso maggiore di 167 libbre.

Calcolare la probabilità che 12 uomini selezionati in modo casuale abbiano un peso maggiore di 167 libbre.

L’ altezza delle persone di una popolazione di 8420 individui si distribuisce in maniera approssimativamente normale con

media 1,72 metri e scarto quadratico medio 6 cm.

A) valutare il numero di persone con altezza compresa tra 1,58 m e 1,64 m

B) Valutare il numero di persone con altezza maggiore di 1,80 m

Unità di misura devono essere le stesse Arrotondare al secondo decimale

ESERCIZIO 6

A)

Valore di x1: 158 cm Valore di x2: 164 cm Altezza media: 172 cm

Scarto quadratico medio: 6 cm Numerosità popolazione: 8420

P(158< x < 164)=P(x<164)-P(x<158)=P(z<-1,3)-P(z<-2,3)=

0,10-0,01=0,09

u1=(164-172)/6=-1,3 u2=(158-172)/6=-2,3

Lo 0,09 di 8420 persone =0,09*8420=758 soggetti

Distribuzione normale standard

1 coda 2 code

Probabilità 0,001 0,01 0,025 0,05 0,1 0,001 0,01 0,02 0,05 0,1

3,09 2,33 1,96 1,65 1,29 3,30 2,58 2,33 1,96 1,65

B)

Valore di x: 180 cm

P(x>180)=P(z>1,3)=0,1 u1=(180-172)/6=1,3

Lo 0,1 di 8420 è rappresentato da 842 persone che hanno un’altezza maggiore di 1,80 metri.

Tra le donne degli Stati Uniti di età compresa tra 18 e 74 anni, la pressione diastolica è normalmente distribuita con media=77 mmHg e deviazione standard=11,6 mmHg

a. Qual è la probabilità che una donna selezionata casualmente abbia una pressione diastolica inferiore a 60 mmHg?

b. Qual è la probabilità che la donna abbia una pressione diastolica superiore a 90 mmHg?

c. Qual è la probabilità che la donna abbia una pressione diastolica compresa tra 60 e 90 mmHg?

ESERCIZIO 7

a. Qual è la probabilità che una donna selezionata casualmente abbia una pressione diastolica inferiore a 60 mmHg?

(60-77)/11,6=-1,47 P(z<-1,47)=0,071

b. Qual è la probabilità che la donna abbia una pressione diastolica superiore a 90 mmHg?

(90-77)/11,6=1,12 P(z>1,12)=0,131

c. Qual è la probabilità che la donna abbia una pressione diastolica compresa tra 60 e 90 mmHg?

1-0,071-0,131=0,798

Qual è la probabilità di avere da una popolazione di 1236 neonati un campione di 100 individui

a) il cui peso medio sia > 2.8055 Kg?

b)il cui peso medio sia < 2.6025 Kg?

c)il cui peso medio sia compreso tra 2.6025 e 2.8055 Kg?

Informazioni peso nascita Media della

popolazione

2,704

Standard deviation 0,517 Numerosità del

campione

100

Errore standard della popolazione

0,0517

Assunto: la distribuzione del peso alla nascita è normale.

ESERCIZIO 8

Nei Paesi Bassi, la popolazione maschile sana di età compresa tra 65 e 79 anni ha una distribuzione dei livelli di acido urico sierico approssimativamente normale con media = 341 μmol/l e deviazione standard = 79 μmol/l

a. Quale proporzione di soggetti ha un livello di acido urico sierico compreso tra 300 e 400 μmol/l?

b. Quale proporzione dei campioni di dimensione uguale a 5 ha un livello medio di acido urico sierico compreso tra 300 e 400 μmol/l?

c. Quale proporzione dei campioni di dimensione uguale a 10 ha un livello medio di acido urico sierico compreso tra 300 e 400 μmol/l?

ESERCIZIO 9

Per la popolazione di donne di età compresa tra 3 e 74 anni che hanno partecipato alla National Health Interview Survey, la distribuzione dei livelli di emoglobina ha una media = 13,3 g/100ml ed una deviazione standard =1,12 g/100 ml.

a. Se si selezionano da questa popolazione campioni ripetuti di dimensione uguale a 15, quale proporzione dei campioni avrà livello medio di emoglobina compreso tra 13,0 e 13,6 g/100ml?

b. E se la numerosità del campione fosse 30?

ESERCIZIO 10

THEORY

2- intervalli di confidenza

Calcolo dell’intervallo di confidenza

Una stima intervallare o intervallo di confidenza è un procedimento attraverso il quale a partire dalle informazioni tratte da un campione si ha come risultato un insieme di valori che con un certo grado di fiducia conterrà il parametro da stimare.

Campioni ripetuti dalla stessa popolazione forniscono medie campionarie diverse.

Ciascuna di queste medie campionarie costituisce una stima non distorta del parametro (media della popolazione) ma non può essere usata come stima del parametro da sola, senza tenere conto dell’incertezza causata dall’errore

campionario.

Intervallo di confidenza della media campionaria

Interpretazione dell’intervallo di confidenza:

Estraendo tutti i possibili campioni da una popolazione distribuita normalmente, il 95% degli intervalli conterrà la media della popolazione ossia abbiamo un grado di fiducia del 95% che la media della popolazione si trovi tra i due valori estremi dell’intervallo.

NON è la probabilità che il vero parametro della popolazione sia contenuto nell’intervallo.

L'ampiezza dell'intervallo di confidenza dipende da:

→Dimensione del campione

→Varianza

→Livello di confidenza

L’intervallo di confidenza, quando la varianza della popolazione è nota, è:

𝑋 ± 𝑍 ത

∗ ൗ 

𝑛

Talvolta non si ha a disposizione il valore della deviazione standard nella popolazione.

In questi casi bisogna utilizzare la deviazione standard del campione e la distribuzione non si approssima più a un normale ma a una distribuzione t di student.

Ricavata da Gosset (1876-1937)

Nella distribuzione t di student è necessario specificare il numero di gradi di liberà (n-1).

Con l’aumentare del numero di gradi di liberà la distribuzione della t di student si avvicina sempre di più a quella della normale di Gauss.

Distribuzione T

1 coda (superiore) 2 code

Probabilità 0,005 0,010 0,025 0,050 0,010 0,020 0,050 0,100 gradi libertà ↓ 1 63,66 31,82 12,71 6,31 63,66 31,82 12,71 6,31

2 9,22 6,96 4,30 2,92 9,22 6,96 4,30 2,92

3 5,84 4,54 3,18 2,35 5,84 4,54 3,18 2,35

4 4,60 3,75 2,78 2,13 4,60 3,75 2,78 2,13

5 4,03 3,37 2,57 2,02 4,03 3,37 2,57 2,02

6 3,71 3,14 2,45 1,94 3,71 3,14 2,45 1,94

7 3,50 3,00 2,37 1,90 3,50 3,00 2,37 1,90

8 3,36 2,90 2,31 1,86 3,36 2,90 2,31 1,86

9 3,25 2,82 2,26 1,83 3,25 2,82 2,26 1,83

10 3,17 2,76 2,23 1,81 3,17 2,76 2,23 1,81

11 3,11 2,72 2,20 1,80 3,11 2,72 2,20 1,80

12 3,06 2,68 2,18 1,78 3,06 2,68 2,18 1,78

13 3,02 2,65 2,16 1,77 3,02 2,65 2,16 1,77

14 2,98 2,63 2,15 1,76 2,98 2,63 2,15 1,76

15 2,95 2,60 2,13 1,75 2,95 2,60 2,13 1,75

16 2,92 2,58 2,12 1,74 2,92 2,58 2,12 1,74

17 2,90 2,57 2,11 1,73 2,90 2,57 2,11 1,73

18 2,88 2,55 2,10 1,73 2,88 2,55 2,10 1,73

19 2,86 2,54 2,09 1,73 2,86 2,54 2,09 1,73

20 2,85 2,53 2,09 1,73 2,85 2,53 2,09 1,73

per numeri di g.l. superiori a 20 usate la riga corrispondente a 20

Gradi di libertà

Area nella coda

superiore.

In questo caso la distribuzione campionaria non è più una

variabile casuale normale ma una variabile casuale T di student

𝑋 ± 𝑡 ത

2,𝑛−1

∗ ൗ s

𝑛 L’intervallo di confidenza diventa:

Se conosco  (deviazione standard della popolazione)

L’intervallo di confidenza al (1- 𝛼/2)%

è:

𝑋 ± 𝑍ത _𝛼/2 ∗ ൗ

𝑛

Dove:

𝑋 è la media campionariaത

µ è la media della popolazione

ൗ

𝑛

È l’errore standard della media

(calcolato conoscendo il valore  della popolazione)

𝑍_𝛼/2 valore della deviata normale standardizzata corrispondente alla precisione considerata

Se NON conosco  (deviazione standard della popolazione)

Possiamo definire un intervallo di confidenza della media campionaria

Basandoci sul test t e sulla distribuzione di probabilità t

𝑋 ± 𝑡ത ^𝛼

2,𝑛−1 ∗ ൗs

𝑛

Deviazione standard  o 𝑠 Errore standard ൗ

𝑛 o ൗ^𝑠 _𝑛 Margine errore 𝑍_𝛼/2 ∗ ൗ

𝑛 𝑡_𝛼/2 ∗ ൗs

𝑛

PRACTICE

ESERCIZIO 11

Per il campione delle temperature corporee si ha

n=106 e media campionaria=98,20 gradi F. si assuma che il campione sia un campione casuale semplice e che sigma sia in qualche modo noto e pari a 0,62 gradi F.

Usando il livello di confidenza al 95% si trovi l’intervallo di confidenza.

Viene misurato il livello di glicemia (mg/100ml) di alcuni soggetti femmine a digiuno.

I risultati delle 6 pazienti sono: 138, 164, 150, 132, 144 e 125.

Calcolare la media, la deviazione standard e l’errore standard del campione. Utilizzare poi i dati necessari per costruire l’intervallo di confidenza al 95% della media campionaria

𝑋=?ത

𝑍_𝛼/2 o 𝑡_𝛼/2 =?

s=?

n=?

ESERCIZIO 12

Si vuole stimare il peso medio di una donna adulta

giapponese. Si suppone che la relativa densità sia normale e si procede alla scelta casuale di un campione di n=10 000 unità. Si vuole dedurre che una stima intervallare del peso medio con una probabilità del 95%. La media campionaria è 55 kg mentre l’errore standard è 2,3 . Riportare gli

estremi dell’IC.

𝑋=?ത

𝑍_𝛼/2 o 𝑡_𝛼/2 =?

s=?

n=?

ESERCIZIO 13

La media della distribuzione della pressione sistolica delle donne diabetiche di età compresa tra 30 e 34 anni non è nota, tuttavia la deviazione standard è σ=11,8 mmHg. Un campione casuale di 10 donne è selezionato da questa popolazione: la pressione sistolica media del campione è pari a 130 mmHg.

Calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione

ESERCIZIO 14

)

*

;

*

(

z n n x

z

x  



 −

−

+

−

10) 8 ,

* 11 96

, 1 130

10 ; 8 ,

* 11 96

, 1 130

( − +

) 3 , 137 7

, 122

%(

95 −

IC

RIFAI I CALCOLI DELL’ESERCIZIO CON LA PICCOLA MODIFICA PROPOSTA

La media e la deviazione standard della distribuzione della pressione sistolica delle donne diabetiche di età compresa tra 30 e 34 anni non è nota. Un campione casuale di 10 donne è selezionato da questa popolazione: la pressione sistolica media del campione è pari a 130 mmHg e la deviazione standard campionaria pari a 11.8.

Calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione.

)

*

;

*

( _{1 / 2 1 /2}

n t s

n x t s

x − _− + _−

10 ) 8 .

*11 26 , 2 130 10 ;

8 .

*11 26 , 2 130

( − +

) 43 , 138 57

, 121

%(

95 −

IC

26 ,

2 2

/ 1_− =

g.d.l = n-1 = 9; α=0.05 t

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

T

Ipotesi 1 Ipotesi 2

Media 130 130

Deviazione standard Popolazione 11.8

Campione 11.8

Alfa 0.05 0.05

Z/T teorico Z-popolazione 1.96

T-campione (n-1 gdl) 2.26

n 10 10

IC 122.7-137.3 121.57-138.43

ampiezza 14.6 16.9

Se utilizzo una informazione proveniente dalla popolazione avrò degli IC, a parità di tutte le altre condizioni, più stretti quindi più precisi.

Prima di iniziare uno studio che esamina l’efficacia dell’eparina nel prevenire la

broncodilatazione, sono stati misurati i valori di base della funzionalità polmonare in un campione di 12 soggetti con anamnesi di asma introdotta da esercizio fisico.

Il valore medio della capacità vitale forzata per il campione è 4,49 litri e la deviazione standard è 0,83 litri; il volume espiratorio forzato in un secondo è mediamente 3,71 litri e la deviazione standard è 0,62 litri.

A)Calcolare un IC bilaterale al 95% per la reale capacità vitale forzata media della popolazione

B) Calcolare un IC bilaterale al 90% per la reale capacità vitale forzata media della popolazione. Come varia la lunghezza dell’intervallo?

C) Calcolare un IC bilaterale al 95% per la reale volume espiratorio medio della popolazione

D) Per calcolare questi intervalli di confidenza, quale assunzione è necessaria in merito alle distribuzioni originarie della capacità vitale e del volume espiratorio forzato?

ESERCIZIO 15

ESERCIZIO 16

Nell’articolo del 1908 «the probabile error of a mean» di

William Gosset erano stati forniti i seguenti dati sui raccolti di pannocchie di granoturco espressi in pound per acro. Questi valori riguardavano l’uso di semi regolari (invece che semi disidratati). Si costruisca un IC per la stima della raccolta media.

raccolti di pannocchie 1903 1935 1910 2496 2108 1961 2060 1444 1612 1316 1511

Poiché n<30 dobbiamo verificare che la popolazione abbia distribuzione approssimativamente normale. (disegnare istogramma)

n 11

mean 1841,45

sd 342,74

gdl 10

errore standard 103,34

t_teorico 2,23

margine errore 230,25

ic 1611,20 2071,71

Sulla base dei dati campionari, siamo sicura al 95% che i limiti 1611,2 e

2071,71

contengono

effettivamente il valore della media mu della

popolazione.

ESERCIZIO 17

Analizzando i dati relativi alle pulsazioni cardiache delle donne, riportati in tabella sotto. Usare tali risultati per determinare la stima puntuale della media campionaria e il margine di errore E.

il campione di pulsazioni cardiache è stato selezionato casualmente da una popolazione molto grande di donne.

inferiore superiore frequenza pulsazioni 72,3 80,3

ic 95%

ESERCIZIO 18

Ritmo cardiaco degli spalatori.

Dato che gli infarti sembrano aumentare dopo pesanti nevicate, è stato disegnato un esperimento per confrontare lo sforzo cardiaco degli spalatori rispetto a quello degli utilizzatori di spalatori elettrici. Dieci soggetti hanno pulito tratti di neve usando

entrambi i metodi, e sono state rilevate le misure del ritmo cardiaco massimo (battiti al minuto) durante entrambe le attività. Si sono ottenuti i seguenti risultati:

Ritmo cardiaco massimo degli spalatori di neve a mano n=10, x_media=175, s=15 Ritmo cardiaco massimo degli spalatori di neve meccanici n=10 x_medio=124 e s=18 1) Calcolare la stima intervallare della media della popolazione di coloro che spalano la neve manualmente con un livello di confidenza del 95%

2) Calcolare la stima intervallare della media della popolazione di coloro che spalano la neve meccanicamente con IC95%

3) Se fossi un medico che si occupa di infarti e che ha in cura degli spalatori manuali quale valore singolo dell’intervallo di confidenza calcolato al punto a sarebbe di

particolare attenzione?

4) Confrontare gli IC calcolati al punto 1) e 2) e trarne conclusioni