Calcolo 3 - 15 gennaio 2007

Calcolo 3 - 15 gennaio 2007

Esercizio 1

Si consideri la seguente successione di funzioni f_n(x) = 2x − 1

(2x)ⁿ , x ∈ (0, +∞), a) si determini l’insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite;

b) studiare la convergenza uniforme di f_n(x).

Soluzione:

a) E = [¹₂, +∞), f (x) = 0

b) (f_n)_n converge uniformemente a f in E.

Esercizio 2

Calcolare la somma della serie

f (x) =

∞

X

n=1 1 3

n

! xⁿ 2ⁿ⁻¹ +

∞

X

i=1 1 3

n

! xⁿ 2ⁿ⁺¹. Soluzione:

f (x) = ⁵₂



1 + ^x₂^

1 3 − 1



Esercizio 3

Data l’equazione differenziale

x⁰⁰+ (2e^x− 1)x⁰ + x − x⁵ = 0, a) scrivere un sistema differenziale ad essa equivalente;

b) trovare tutti i punti singolari del sistema e studiarne la stabilit`a.

Soluzione:

a) x⁰ = y, y⁰ = −x + x⁵− y(2e^x− 1)

b) (−1, 0) instabile (sella), (0, 0) asintoticamente stabile, (1, 0) instabile (sella).

Esercizio 4

Si consideri la seguente equazione differenziale:

y⁰⁰⁰+ 2y⁰⁰+ y⁰ + 2y = 18xe^x.

a) Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata.

b) Determinare l’integrale generale dell’equazione assegnata.

c) Determinare, qualora esistano, tutte le soluzioni limitate dell’equazione assegnata rispettivamente

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in (−∞, 0), (0, +∞), (−∞, +∞).

Soluzione:

a) y(x) = c₁e^−2x+ c₂cos x + c₃sin x, c_i ∈ IR

b) y(x) = c1e^−2x+ c2cos x + c3sin x + (3x − 4)e^x, ci ∈ IR

c) y(x) ´e limitata in (−∞, 0) ⇔ c₁ = 0, invece non esistono soluzioni limitate in (0, +∞) e quindi neppure in (−∞, +∞).

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