ESERCIZI DI CALCOLO II gennaio 2007

ESERCIZI DI CALCOLO II gennaio 2007

 Serie numeriche: serie telescopiche ed altre serie la cui somma è direttamente calcolabile.

 Serie numeriche: criteri di convergenza.

 Integrali.

 Formula di Taylor.

1. Calcolare la somma della serie



^

04 224 35 1

n n n . {R.

10 1 }

2. Calcolare la somma della serie



^

   





2 2 2

2

) 4 2 )(

3 (

3

n n n n

n

n . {R.

7 2 }

3. Calcolare la somma della serie



^

  



1(2 3)2(2 5)2

2

n n n

n . {R.

200 1 }

4. Calcolare la somma della serie



^

  













1

2 3 2

3

) 2 )(

1 (

1 3 3 4

4

n n n

n n n n n

n . {R.

2 1 }

5. Determinare l'insieme dei numeri reali x per i quali la serie



^

0

) (log

n

x n converge, e calcolarne la

somma. {R. _1log¹ _x per ^{x e}

e 

1 }

6. Determinare l'insieme dei numeri reali x per i quali la serie



^





 









1

2 /

3 2

n

n

x

x converge, e calcolarne

la somma. {R.

2 3

2







 x x

x per

2 2 1

 x }

7. Determinare l'insieme dei numeri reali x per i quali la serie



^







2

2 3 3)

(

n

x n

x converge, e

calcolarne la somma. {R. ₂

2 3 4

3 4

9 18 3 6

x x

x x x x











 per 1

2 3 17 2

17

4 3    

 x x }

Studiare il carattere delle seguenti serie:

8.



^

1

! 3

n n

n

n

n {Suggerimento:

e n

n n

n n

n

n n n

n n

1

1 1 1

1 1 1 1 lim

1 1 1 lim

lim

1



 



 





 

 



 





 

 



 



















 }

9.



^

1

2 2

!

n n

n 10.



^

1

sen1

n n

n

11.



^

2log 1

n n 12.



^

2

log

n n

n

13.



^

1(1 )log(1 )

n n n

n

e e

e {Suggerimento: per dimostrare che

) 1 log(

) 1 ) (

( _{x x}

x

e e

x e

f    è

decrescente, tenere conto della disuguaglianza log(1 + t) < t.}

14.



^

   



1 6 6

2

3 2 11

5

n n n

n 15.



^













1 3

2

2 7 4 5 1

n n

n n n

n

16.



^

   









1 9 6 3

4 5 2 2

11 5 6

tgh 1 6

n n n n

n n

n n

{R. Le serie 9, 10, 14, 15, 16 convergono, le altre divergono.}

Studiare il carattere delle seguenti serie:

17.



^







 

1

1

4 ) 5

1 (

n

n

n

n 18.



^

  

 

0 2 6 13

) 3 1 (

n

n

n n

n

19.



^





0

2

) 1 (

n n

n

e

n {R. 17 e 19 convergono, 18 è indeterminata.}

Calcolare i seguenti integrali definiti e indefiniti:

20.



^{x5ex3dx {R. x3}₃^{1ex3 c}}

21.



^{(x24)5/2dx {R.} ₆^{x(x24)5/25}₆^{x(x24)3/25x x2420settsenh}₂^xc}

22.



2

1

6log

e

xdx

x {R.

49 1 13e¹⁴ 

} 23. ¹



^/2

0

arcsen xdx

x {R.

48 3 3  }

24.



_(x1)^x3_(x1)^{dx {R. 1}₈^log _x^x_^1₁^ _4(x^x_1)^{2 c}}

25.



⁷ _^

0 3

2 1dx x

x {R. ₆ ³

3 log 2

3  }

26. Calcolare arcsen 8

1 utilizzando il polinomio di Taylor del terzo ordine e maggiorare l'errore commesso.

27. Calcolare cos 9

2 con errore minore di 1/10000.

28. Calcolare ⁵



^/2

2 log x

dx utilizzando il polinomio di Taylor del secondo ordine di un'opportuna funzione integrale, e maggiorare l'errore commesso.

29. Dimostrare che la serie



^

 

 





 

0 2 1

1 2

)!

1 2 ( 1 2

n n

n n

n converge alla somma S = 1.

30. Dimostrare che la serie



^

1 7 1

n n n converge alla somma

6 log7



S .

31. Dimostrare che la serie



^

1 (2 )!

1

n n converge alla somma

e S e

2 ) 1 (  ²

 .

{Suggerimento: scrivere il polinomio di Taylor di ordine n per la funzione f(x) = cosh x  1.)