Def Def . .

BASE DI UNO SPAZIO BASE DI UNO SPAZIO

VETTORIALE VETTORIALE

Def Def . .

Si chiama

Si chiama

base base

un insieme di vettori

LINEARMENTE INDIPENDENTI

LINEARMENTE INDIPENDENTI di di V che sono un

V che sono un sostegnosostegno per V

v

v

v

,

,...,

per V

Poich

Poichéé sono unsono un sostegno di V

sostegno di V, , ogni vettore

ogni vettore può scriversi comepuò scriversi come combinazione lineare

combinazione lineare di questi edi questi e Poich

Poichéé i vettori sonoi vettori sono

linearmente indipendenti linearmente indipendenti, ,

ogni vettore può essere scritto in ogni vettore può essere scritto in

un unico modo

un unico modo, come combinazione , come combinazione lineare di

lineare di

I coefficienti di questa combinazione lineare I coefficienti di questa combinazione lineare

si chiamano

si chiamano coordinate dicoordinate di v rispetto alla basev rispetto alla base

v

v

v

,

,..., V v ∈

V v ∈

v

v

v

,

,...,

…… osservazioneosservazione

Un sottospazio

Un sottospazio non ammette una sola non ammette una sola basebase ma, in generale,ma, in generale, infinite basi infinite basi

diverse diverse

TEOREMA TEOREMA

SeSe V V èè un sottospazioun sottospazio di alloradi allora due due diverse basi di V

diverse basi di V sono necessariamente sono necessariamente costituite da un

costituite da un ugual numero di vettoriugual numero di vettori; ; tale numero viene chiamato

tale numero viene chiamato DIMENSIONE DIMENSIONE DI VDI V e si indica cone si indica con dim(V)dim(V)

Rn

I vettori

I vettori sonosono

linearmente indipendenti linearmente indipendenti

e costituiscono una

e costituiscono una BASE DIBASE DI

LeLe COORDINATE COORDINATE del generico vettore del generico vettore rispetto a questa

rispetto a questa base sono proprio

base sono proprio

⇒ ⇒

⇒ ⇒

⇒ ⇒ BASE CANONICA BASE CANONICA

) 0 ,..., 0

, 1

1 = (

e e ₂ = (0,1,...,0) )

1 ,..., 0

, 0

= ( e n

R

n

e n

e

e₁ , ₂ ,..., ∈ℜ

n 2

1 , ,..., )

( x x x_n ∈ R

xn

x

x₁ , ₂ ,...,

…… osservazioneosservazione

Si può dimostrare che se

Si può dimostrare che se ss èè lala dimensione

dimensione del sottospazio Vdel sottospazio V di , di , allora

allora

R

ogni

ogni ss--plapla di vettoridi vettori

LINEARMENTE INDIPENDENTI LINEARMENTE INDIPENDENTI

costituisce una

costituisce una BASE DI VBASE DI V..

3)3)

PRODOTTO SCALARE PRODOTTO SCALARE

(o prodotto interno) (o prodotto interno)

LL’’operazione operazione PRODOTTO PRODOTTO SCALARE

SCALARE èè un operazione un operazione e se

e se

R R

R

×

→ :

) ,...,

, (

), ,...,

,

( x

x

x

y y

y

y

x = =

∑

=

= +

+ +

→

⋅

n

i

i i

n n

y x

y x

y x

y x

y x

y x

1

2 2

1

1

...

) ,

(

:

ESEMPIO 1 ESEMPIO 1 DatiDati

il loro prodotto

il loro prodotto xx yy èè dato dadato da

) 3 , 0 , 2 , 1 ( ),

2 , 0 , 1 , 3

( =

= y

x

11 6

2

3 + + =

=

⋅ y

x

ESEMPIO 2 ESEMPIO 2

Consideriamo il

Consideriamo il processo produttivoprocesso produttivo di una di una determinata merce. Supponiamo che per determinata merce. Supponiamo che per

avere una unit

avere una unitàà di prodotto si usino di prodotto si usino n mercin merci in in quantitquantitàà rispettivamente rispettivamente

. Sia il

. Sia il prezzoprezzo unitario della unitario della merce .

merce . xn

x

x₁ , ₂ ,..., qn

q

q₁ , ₂ ,..., p_i

xi

distinta base unitaria distinta base unitaria vettore dei costi unitari

vettore dei costi unitari

) ,...,

,

(q₁ q₂ q_n q =

) ,...,

,

( p₁ p₂ p_n p =

⇒⇒ costo costo unitarounitaro di produzione:di produzione:

n nq p

q p

q p q

p = _{1 1} + _{2 2} + ... +

PROPRIETA PROPRIETA ’ ’

1)1) xx ⋅⋅ yy==yy ⋅⋅ xx ∀∀ xx,,yy ∈∈ (p. commutativa)

(p. commutativa)

2)2) ((xx++yy) ) ⋅⋅ zz==xx⋅⋅zz + + yy⋅⋅zz ∀∀ xx,,yy,,zz ∈∈ (p. distributiva risp. all

(p. distributiva risp. all’’addadd. fra vettori). fra vettori) 3)3) hhxx ⋅⋅ kkyy=h=h((xx ⋅⋅KKyy))=hK=hK((xx ⋅⋅yy)) ∀∀ xx,,yy,,∈∈

∀∀ h,k,h,k,∈∈ 4)4) xx ⋅⋅xx ≥≥ 0 0 ∀∀ xx∈∈

Rn

Rn

Rn

Rn

R

Osservazione:

Osservazione:

Il Il prodotto di due numeri realiprodotto di due numeri reali èè zero zero se, e solo se,

se, e solo se, uno dei due uno dei due èè uguale a uguale a zero.

zero.

Per il

Per il prodotto internoprodotto interno fra vettori non fra vettori non èè coscosìì: :

-- se uno dei due vettori se uno dei due vettori èè nullo, il prodotto nullo, il prodotto èè nullo ma nullo ma

-- se il prodotto se il prodotto èè nullo, non nullo, non

necessariamente uno dei due vettori necessariamente uno dei due vettori èè nullonullo..

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 x 1

0 0

0 ma

0 0

0 allora

,

0 0

0 allora

,

=

=

⇒

=

=

⇒

=

= ℜ

∈

=

=

⇔

= ℜ

∈

y o x

y x

y x y

o x

y x

o y x

xy y

x

n

Per esempio Per esempio

se e se e

⇓⇓

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

1 y 1

0 1

1 + =

−

= y

x

Def Def . .

Sia ; Sia ;

la la NORMANORMA di di xx èè definita dadefinita da )

,..., ,

( x₁ x₂ x_n x =

2 2

2 2

1

x ... x

x x

x

x = ⋅ = + + +

NB:NB: Se n=1, .Se n=1, .

x = x

PROPRIETA PROPRIETA ’ ’

1)1) 2)2)

3)

3) (disuguaglianza (disuguaglianza triangolare)

triangolare)

0 0

,

0 = ⇔ =

≥ x x

x

x x λ

λ =

y x

y

x + ≤ +

PP

00

) ,

( x₁ x₂ x =

In se In se

allora allora

R2

P x = 0

) ,

( x₁ x₂

La 3) significa che in La 3) significa che in

ogni triangolo ogni triangolo lala

lunghezza di un lunghezza di un

lato

lato èè minore o minore o uguale alla

uguale alla somma delle somma delle

lunghezze degli lunghezze degli

altri due )

, (x₁ x₂ A =

) ,

( y₁ y₂

B = C = (x₁ + y₁, x₂ + y₂ )

altri due

Def Def . .

Sia Sia

e ; e ;

Due vettori e si dicono Due vettori e si dicono

ORTOGONALI

ORTOGONALI sese

Def Def . .

Due vettori e si dicono Due vettori e si dicono

ORTONORMALI

ORTONORMALI se sono se sono ortogonali ortogonali e e

n

xn

x x

x = ( ₁ , ₂ ,..., ) ∈ ℜ

= 1

= y x

n

yn

y y

y = ( ₁ , ₂ ,..., ) ∈ℜ

x ∈ ℜn y ∈ℜⁿ

= 0

⋅ y x

x ∈ ℜn y ∈ℜⁿ

In si può vedere facilmente che In si può vedere facilmente che

α

cos y

x y

x ⋅ = ⋅

R

x y

α

Quindi

Quindi xx e e yy sono ortogonali se, e solo se, sono ortogonali se, e solo se, oo almeno uno dei due vettori è uguale a zero

o (k 0,1,...)

2 + =

= π π

α k