Geometria Postulati di Euclide:

Geometria

Postulati di Euclide:

Primi postulati: Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani, un piano contiene infiniti punti e infinite rette, una retta contiente infiniti punti.

Postulati di appartenenza: Per due punti distinti passa una e una sola retta.

Per tre punti non allineati appartengono a uno e un solo piano.

Se due punti di una retta appartengono ad un piano allora la retta appartiene al piano.

Postulato d’ordine: Si può stabilire una relazione d’ordine tra i punti di una retta in modo che dati due punti distinti A e B della retta A precede B oppure B precede A e se A precede B e B precede C allora A precede C.

Postulato di partizione: Una retta R di un piano lo divide in due parti non vuote in modo che se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte e se i punti C e D appartengono a parti diverse allora il segmento CD ha in comune con r un punto.

Postulato di congruenza: Due figure si dicono congruenti quando hanno una corrispondenza biunivoca tra i loro punti.

Postulato di trasporto dei segmenti: Dati una semiretta di origine O e un segmento esiste sulla semiretta uno e un solo segmento di origine O congruente al segmento dato.

Postulato di trasporto degli angoli: Data in un piano una semiretta esiste uno e un solo angolo che abbia uno dei lati coincidente con la semiretta, il vertice dell’origine della semiretta e che giaccia da una parte prefissata rispetto ad essa.

Postulato di parallelismo: Per un punto esterno ad una retta passa una e una sola parallela alla retta data.

Teorema angoli supplementari: Angoli supplementari dello stesso angolo sono congruenti fra loro.

Teorema angoli opposti al vertice: Angoli opposti al vertice sono congruenti

Teorema angoli complementari: Angoli complementari dello stesso angolo sono congruenti fra loro.

Triangoli

Si definisce triangolo un poligono con tre lati. Se un triangolo ha 2 lati congruenti si dice isoscele, se ha 3 lati congruenti si dice equilatero, se non ha lati congruenti si dice scaleno.

I Criterio congruenza triangoli: Due triangoli aventi rispettivamente congruenti due lati e l’angolo fra esso compreso sono congruenti.

CN triangolo isoscele: Se un triangolo è isoscele allora gli angoli alla base sono congruenti.

CS triangolo isoscele: Se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele ed ha come base il lato compreso fra i due angoli.

II Criterio congruenza triangoli: Due triangoli aventi rispettivamente congruenti due angoli ed il lato compreso fra essi sono congruenti.

Teorema diretto triangolo equilatero: Ogni triangolo equilatero è anche equiangolo Teorema inverso triangolo equilatero: Ogni triangolo equiangolo è anche equilatero

III Criterio congruenza triangoli: Due triangoli sono congruenti se hanno tre lati rispettivamente congruenti

Teorema bisettrice triangolo isoscele: In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana relativa alla base.

Teorema mediana triangolo isoscele: In ogni triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice dell’angolo al vertice.

1° Teorema angolo esterno: In un triangolo un qualsiasi angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni ad esso non adiacenti.

I Corollario In un triangolo la somma di due angoli qualsiasi è sempre minore di un angolo piatto.

II Corollario In un triangolo vi sono sempre almeno due angoli acuti.

III Corollario Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono sempre acuti.

Teorema lati disuguali (diretto, cn): In un triangolo con due lati disuguali (che ha anche due angoli disuguali) a lato maggiore sta opposto angolo maggiore

Teorema angoli disuguali (inv, cs): In un triangolo con due angoli disuguali (che ha anche due lati disuguali) ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore.

I Corollario In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti.

II Corollario In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore degli altri due.

Teorema disuguaglianze triangolari: In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della differenza.

I Corollario In ogni poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri.

Teorema esistenza ed unicità bisettrice: Per ogni angolo esiste una ed una sola semiretta che lo divide in due parti congruenti.

Teorema esistenza ed unicità punto medio: Esiste, per ogni segmento, uno e un solo punto che lo divide in due parti congruenti.

Teorema mediane: (D: pag 64 n° 39): In un triangolo isoscele le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti.

Teorema bisettrici: (D: pag 65 n° 40): In un triangolo isoscele le bisettrici relative agli angoli alla base sono congruenti.

Teorema mediane triangolo equilatero (D: pag 65 n° 41): In un triangolo equilatero le tre mediane sono congruenti.

Teorema segmenti (D: pag 69 n°5): Se da un punto esterno ad una retta si conducono ad essa il segmento perpendicolare

Parallelismo

Due rette sono parallele quando non hanno punti in comune fra loro.

Teorema esist. ed unicità perpendicolare: Esiste una ed una sola retta passante per un punto perpendicolare ad una retta data.

Teorema angoli alterni: Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni (…) congruenti allora:

- Tutte le coppie di angoli alterni interni sono congruenti;

- Tutte le coppie di angoli alterni esterni sono congruenti;

- Tutte le coppie di angoli coniugati interni sono supplementari;

- Tutte le coppie di angoli coniugati esterni sono supplementari;

- Tutte le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti;

Teorema 2 rette perpendicolari: Due rette perpendicolari alla stessa retta sono parallele fra loro.

CS parallelismo: Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni interni (…) congruenti allora le due rette sono parallele.

CN parallelismo: Se due rette tagliate da una trasversale sono parallele fra loro allora formano una coppia di angoli alterni interni (…) congruenti.

Proprietà transitiva rette //: Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.

Teorema rette // e terza: Se due rette sono // ogni retta del loro piano che ne incontra una deve incontrare anche l’altra.

Teorema 1 retta perpendicolare: Se due rette sono parallele ogni perpendicolare all’una è pure perpendicolare all’altra.

Teorema angoli con lati //: Due angoli con due coppie di lati // e concordi o due coppie di lati // e discordi sono congruenti. Se hanno due lati // e concordi e due lati // e discordi sono supplementari.

Teorema segmenti // fra rette //: Segmenti // compresi fra rette // sono congruenti

Teorema rette // equidistanti: Se due rette sono // allora tutti i punti equidistanti dall’una sono anche equidistanti dall’altra.

Applicazioni ai triangoli

2° Teorema angolo esterno: In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli altri 2 ad esso non adiacenti.

I Corollario: La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180°

II Corollario: Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.

III Corollario: Ciascun angolo acuto di un triangolo equilatero è congruente a 60°

IV Corollario: Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora hanno congruenti anche l’angolo rimanente.

2° Criterio di congruenza generalizzato: Se due triangoli hanno congruenti un lato e due angoli qualsiasi allora sono congruenti.

Teorema altezza triangolo isoscele: In un triangolo isoscele, l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice.

Teorema somma angoli interni poligono: La somma degli angoli interni di un poligono è congruente a tanti angoli piatti quanto il numero di lati meno 2.

Il punto sui triangoli rettangoli

1° Crit. Cong. triangoli rettangoli: Due triangoli rettangoli aventi i cateti congruenti sono congruenti.

2° Crit. Cong. triangoli rettangoli: Due triangoli rettangoli aventi un cateto ed un angolo adiacente allo stesso sono congruenti.

2° Crit. Cong. Gen. triangoli rettangoli: Due triangoli rettangoli aventi un cateto e l’angolo opposto; due triangoli aventi l’ipotenusa e un angolo acuto sono congruenti.

Criterio congruenza triangoli rettangoli: Due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno l’ipotenusa e un cateto relativamente congruenti.

CN triangolo rettangolo: In ogni triangolo rettangolo la mediana è congruente a metà dell’ipotenusa.

CS triangolo rettangolo: Se in un triangolo la mediana relativa ad un lato è congruente a metà di un lato allora il triangolo è rettangolo e ha per ipotenusa tale lato.

Teo angoli tr.isoscele (D pag 91 n° 25): Se due triangoli isosceli hanno congruenti l’angolo al vertice allora hanno congruenti anche l’angolo alla base.

Parallelogrammo:

Si definisce parallelogrammo un qualsiasi quadrilatero con i lati opposti paralleli.

CN parallelogrammo: Ogni parallelogrammo ha:

1) Lati opposti congruenti 2) Angoli opposti congruenti

3) Angoli adiacenti a ciascun lato supplementari 4) Le diagonali si bisecano

CS1 parallelogrammo: Un quadrilatero è un parallelogrammo se ha i lati opposti congruenti.

CS2 parallelogrammo: Un quadrilatero è un parallelogrammo se ha gli angoli opposti congruenti.

CS3 parallelogrammo: Un quadrilatero è un parallelogrammo se ha una coppia di angoli adiacenti a due lati consecutivi supplementari.

CS4 parallelogrammo: Un quadrilatero con le diagonali che si bisecano è un parallelogrammo.

CS5 parallelogrammo: Un quadrilatero con due lati opposti congruenti e paralleli è un parallelogrammo.

Rettangolo:

1. Si definisce rettangolo un parallelogrammo con un angolo retto.

2. Si definisce rettangolo un quadrilatero equiangolo.

CN rettangolo: In ogni rettangolo le diagonali sono congruenti.

CS rettangolo: Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo.

CS1 rettangolo: Un parallelogrammo con un angolo congruente a 90° è un rettangolo.

CS2 rettangolo: Un quadrilatero equiangolo è un rettangolo.

Rombo:

Si definisce rombo un parallelogrammo equilatero.

CN rombo: Ogni rombo ha:

1) Le diagonali perpendicolari.

2) Le diagonali che bisecano l’angolo.

CS1 rombo: Un parallelogrammo con due lati consecutivi congruenti è un rombo.

CS2 rombo: Un quadrilatero equilatero è un rombo.

CS3 rombo: Se un parallelogrammo ha le diagonali perpendicolari allora è un rombo.

CS4 rombo: Se una diagonale biseca l’angolo di un parallelogrammo allora è un rombo.

Quadrato:

Si definisce quadrato un quadrilatero equilatero ed equiangolo.

CN quadrato: Ogni quadrato ha:

1) Le diagonali congruenti.

2) Le diagonali perpendicolari 3) Le diagonali che bisecano l’angolo.

CS1 quadrato: Un parallelogrammo avente le diagonali congruenti e perpendicolari è un quadrato.

CS2 quadrato: Un parallelogrammo è un quadrato se ha le diagonali congruenti e una di esse biseca un angolo.

Teorema di Talete: Dato un fascio di rette // tagliate da 2 trasversali a segmenti congruenti sull’una corrispondono segmenti congruenti sull’altra.

I Corollario: Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato questa biseca il lato rimanente.

II Corollario: La congiungente i punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato e congruente alla sua metà.

Trapezio

Si definisce trapezio un quadrilatero con 2 lati opposti paralleli.

CN trapezio isoscele: In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alle due basi sono congruenti.

CS trapezio isoscele: Se un trapezio ha due angoli adiacenti ad una base congruenti allora è isoscele.

CN2 trapezio isoscele: In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.

CN3 trapezio isoscele: In un trapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementari.

Punti notevoli di un triangolo

Ortocentro: Punto di intersezione delle altezze di un triangolo.

Incentro: Punto di intersezione delle bisettrici di un triangolo.

Circocentro: Punto di intersezione degli assi dei lati di un triangolo.

Baricentro: Punto di intersezione delle mediane di un triangolo.

Excentro: Punto di intersezione delle bisettrici di due angoli esterni e di quella dell’angolo interno non adiacente ad essi.

Teorema baricentro: Il baricentro di un triangolo divide ciascuna mediana in due parti, delle quali quella contenente il vertice è doppia dell’altra.

Circonferenza e cerchio.

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto centro

Il cerchio è la parte di piano compresa all’interno di una circonferenza più la circonferenza stessa.

Asse del segmento: Luogo geometrico di tutti i punti equidistanti dagli estremi.

Bisettrice di un angolo: Luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo.

Raggio: Distanza tra il centro e la circonferenza oppure qualsiasi segmento che unisce il

centro della circonferenza con la circonferenza stessa.

Diametro: Corda passante per il centro.

Corda: Segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza.

Arco: Ciascuna delle due parti in cui la circonferenza è divisa da suoi due punti.

Angolo al centro: Qualsiasi angolo avente il vertice nel centro della circonferenza.

Settore circolare: Ognuna delle due parti comprese fra due raggi.

Segmento circolare a una base: Ciascuna delle due parti di cerchio sottese da una corda Segmento circolare a due basi: Parte di cerchio sottesa fra due corde parallele.

Quadrante: Un quarto di cerchio oppure parte compresa tra due raggi perpendicolari.

Semicirconferenza: Ciascuno dei due archi sottesi da un diametro.

Semicerchio: Ciascuna delle due parti di cerchio divise da un diametro oppure somma di due

quadranti consecutivi.

Angolo alla circonferenza: Angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati secanti, oppure uno secante e uno tangente.

Teorema bisettrice angolo al centro: La bisettrice di un angolo al centro biseca l’arco corrispondente. (Ex teorema 1) Teorema angoli al centro: In una circonferenza o in circonferenze congruenti ad angoli al centro congruenti

corrispondono archi congruenti e ad angoli al centro disuguali corrispondono archi disuguali e precisamente ad archi maggiori corrispondono angoli maggiori. (Ex teorema 2)

Teorema corda massima: Il diametro è la corda massima.

Teorema perpendicolare corda x O: La perpendicolare di una corda passante per il centro dimezza la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondente.

Teorema perpendicolare corda x O (inv 1): La retta che passa per il centro e per il punto medio di una corda è perpendicolare alla corda stessa.

Teorema perpendicolare corda x O (inv 2): L’asse di una corda passa per il centro.

Teorema centro simmetria: Il centro di una circonferenza è il suo centro di simmetria.

Teorema asse simmetria: Ogni retta passante per il centro è asse di simmetria per la circonferenza stessa.

Teorema retta e circonferenza: Una retta è una circonferenza non possono avere più di due punti in comune. La retta può essere esterna (0 punti in comune), tangente (1 punto) o secante (2 punti) rispetto alla circonferenza.

Teorema 3 punti: Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.

Teorema archi e corde: Archi congruenti sottendono corde congruenti.

Teorema corde congruenti: Corde congruenti sono equidistanti dal centro.

Teorema corde diseguali: In una stessa circonferenza o in circonferenze congruenti corde diseguali distano diversamente dal centro e a corda maggiore corrisponde distanza minore.

Teorema angoli alla circonferenza: Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.

I Corollario: Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti.

II Corollario: Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto.

III Corollario: (CN) Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

III Corollario: (CS) Ogni triangolo rettangolo è inscrivibile in una semicirconferenza.

Teorema tangenti: Condotte da un punto esterno ad una circonferenza le due tangenti allora:

1. I segmenti di tangenza sono congruenti

2. La congiungente il punto esterno con il centro della circonferenza biseca gli angoli formati dai raggi ai punti di contatto con le tangenti e l’angolo delle tangenti ed inoltre è asse del segmento di contatto.

CNS di tangenza: Una retta è tangente alla circonferenza se e solo se è perpendicolare al raggio nel punto di contatto.

Teo corde // (H pag 32 n° 15): In una circonferenza corde parallele intercettano archi congruenti.

Poligoni inscritti e circoscritti.

Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i vertici del poligono appartengono alla circonferenza stessa.

Un poligono è circoscritto in una circonferenza quando tutti i lati sono tangenti alla circonferenza stessa.

CN di inscrizione: Se un poligono è inscritto in una circonferenza allora tutti i suoi assi passano per uno stesso punto che è il centro della circonferenza circoscritta ad esso.

CS di inscrizione: Se tutti gli assi di un poligono passano per uno stesso punto allora il poligono è inscritto in una circonferenza avente quel punto come centro.

CN di circoscrizione: Se un poligono è circoscritto in una circonferenza allora tutte le bisettrici degli angoli passano per un punto che è il centro della circonferenza inscritta in esso.

CS di circoscrizione: Se le bisettrici di un poligono passano per uno stesso punto allora è possibile circoscrivere il poligono a una circonferenza avente quel punto come centro.

Conseguenza sui triangoli: Ogni triangolo è inscrittibile e circoscrittibile in una circonferenza.

CN di inscrizione di un quadrilatero: Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti di esso sono supplementari.

CS di inscrizione di un quadrilatero: Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è possibile inscriverlo in una circonferenza.

Conseguenza: Ogni trapezio isoscele è inscrittibile in una circonferenza.

CN di circoscrizione di un quadrilatero: Se un quadrilatero è circoscrittle ad una circonferenza quando ha la somma dei lati opposti congruente.

CS di circoscrizione di un quadrilatero: Un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza quando ha la somma dei lati opposti congruente.

Trasformazioni geometriche nel piano euclideo

Simmetria centrale: Trasformazione che fa corrispondere a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un punto dato.

Centro di simmetria di una figura: Una figura ha un centro di simmetria se il simmetrico di ogni suo punto rispetto a O è un punto appartenente alla figura stessa.

Teorema punto intersezione diagonali parallelogrammo: Il punto di intersezione delle diagonali del parallelogrammo è centro di simmetria del parallelogrammo.

Simmetria assiale: Trasformazione che associa a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un asse di simmetria.

Asse di simmetria di una figura: Una figura ha un asse di simmetria se ogni suo punto ha per simmetrico rispetto a tale asse un punto appartenente alla figura stessa.

Traslazione di vettore (ved. libro): Si dice traslazione di vettore una corrispondenza biunivoca tra i punti di un pianco, fissato un vettore.

Rotazione (ved. libro): Si dice rotazione una corrispondenza biunivoca tra i punti di un piano fissata l’ampiezza di un’angolo.

Assi e centri di simmetria dei principali poligoni

Poligono Centri di simmetria Assi di simmetria

Triangolo isoscele ^NESSUNO Mediana relativa alla base

Triangolo equilatero ^NESSUNO Assi dei tre lati

Parallelogrammo Punto di intersezione delle diagonali NESSUNO

Rombo Intersezione delle diagonali Diagonali

Rettangolo Intersezione degli assi dei lati Assi dei lati

Quadrato Centro del quadrato (intersezione assi dei lati e diagonali)

Assi dei lati e diagonali

Trapezio isoscele ^NESSUNO Asse comune delle due basi

Poligoni regolari Se hanno un numero pari di lati è il centro della circonferenza circoscritta

Bisettrici e perpendicolari ai lati passanti per il centro.

Formule dirette:

Teorema di Pitagora: ²2

2 1

2 c c

i = +

1° teorema di Euclide: c1²=i⋅h1

2° teorema di Euclide: 1 2

2 h h

h = ⋅

Triangolo rettangolo isoscele: _{i=c 2} Triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°:

2 3 2 C i

c i

=

=

Area del triangolo equilatero:

2

4 3l A=

Equivalenza di figure piane

Definizione di superficie: Parte di piano delimitata da una linea chiusa

Definizione di superfici equivalenti: Sono equivalenti superfici che occupano la stessa estensione.

Somme / Differenze di superfici equivalenti: Somme / Differenze di superfici equivalenti sono congruenti.

Teorema superfici equiscomponibili: Superfici equiscomponibili sono congruenti.

Teorema equivalenza parallelogrammo: Parallelogrammi con altezze e basi congruenti sono congruenti.

I Corollario: Ogni parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza.

Teorema equivalenza triangolo: Ogni triangolo è equivalente ad un parallelogrammo che ha per base metà base e per altezza la stessa altezza del triangolo (oppure metà altezza e intera base).

I Corollario: Tutti i triangoli con la stessa base e la stessa altezza sono congruenti.

Teorema equivalenza trapezio: Ogni trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per base la somma delle basi e per altezza la stessa altezza

Teorema quadrilatero con diagonali perpendicolari: Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari è equivalente a metà del rettangolo aventi le diagonali stesse come dimensioni.

Teorema equivalenza poligono circoscritto: Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente al triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio.

1° teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Teorema di Pitagora: In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato dell’ipotenusa.

2° teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Grandezze omogenee: Si dicono omogenee le grandezze della stessa specie.

Postulato di continuità della retta: Se sopra una retta è dato un insieme di segmenti, ciascuno dei quali contenuto nel precedente e di ampiezza decerescente in modo che se ne trovi sempre uno minore di qualsiasi segmento piccolo a piacere, allora esiste uno e un solo punto B comune a tutti i segmenti dati.

Segmenti commensurabili e incommensurabili: Due segmenti si dicono commensurabili quando esiste un sottomultiplo comune ai due. Altrimenti si dicono incommensurabili.

Teorema irrazionalita radice di 2: La diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili ovvero la radice quadrata di 2 non è un numero razionale.

Proprietà fondamentale delle proporzioni: Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Teorema della quarta proporzionale: Date tre grandezze A, B, C delle quali le prime 2 omogenee, esiste una e una sola grandezza omogenea con la terza che formi una proporzione.

Grandezze direttamente proporzionali: Le grandezze di due insiemi sono direttamente proporzionali quando il rapporto tra due grandezze del primo è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell’altro.

Teorema angoli al centro (proporzioni): In una circonferenza o in circonferenze congruenti archi e angoli al centro intercettano grandezze proporzionali

Teorema di Talete (proporzioni): Un fascio di rette parallele determina sopra due trasversali due insiemi di segmenti direttamente proporzionali.

I corollario: La parallela a un lato di un triangolo divide gli altri due in parti proporzionali.

II corollario: Se una retta divide in parti proporzionali due lati di un triangolo essa è parallela al terzo lato.

Teorema bisettrice angolo interno: In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due parti proporzionali ai lati rimanenti.

Teorema bisettrice angolo esterno: In un triangolo la bisettrice dell’angolo esterno se non è parallela al lato opposto ne incontra il prolungamento in un punto che determina con gli estremi di quel lato segmenti proporzionali agli altri 2.

Triangoli simili:

Definizione: Due triangoli con i tre angoli rispettivamente congruenti e con il lati, opposti agli angoli congruenti, in proporzione si dicono simili.

Rapporto di similitudine: Si dice rapporto di similitudine il rapporto fra due lati omologhi.

I criterio di similitudine triangoli: Due triangoli sono simili se hanno due angoli congruenti.

I corollario: La parallela ad un lato di un triangolo stacca un triangolo simile al dato.

II corollario: Tutti i triangoli equilateri sono simili

III corollario: Due triangoli isosceli sono simili se hanno un angolo alla base o al vertice congruente.

IV corollario: Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto congruente.

II criterio di similitudine triangoli: Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso fra due lati proporzionali.

I corollario: Due triangoli rettangoli con lati proporzionali sono simili.

III criterio di similitudine triangoli: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati in proporzione.

Rapporto fra perimetri di triangoli simili: Il perimetro di due triangoli simili è proporzionale al rapporto fra 2 lati omologhi.

Rapporto fra aree di triangoli simili: L’area di due triangoli simili è proporzionale al quadrato del rapporto fra 2 lati omologhi

Circonferenza e poligoni simili:

Teorema delle corde: In una circonferenza se due corde si intersecano i segmenti che si formano sull’una sono i medi e quelli nell’altra gli estremi di una stessa proporzione.

Teorema delle secanti: Condotte da un punto esterno due secanti i segmenti che uniscono il punto esterno con i due punti di secante su una sono i medi sull’altra gli estremi di una stessa proporzione.

Teorema tangente e secante: Il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna.

Definizione: Due poligoni si dicono simili se hanno gli angoli congruenti e i lati in proporzione.

Definizione: Poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono sempre simili.

Teorema trapezi circoscritti circonferenza: In un trapezio circoscritto ad una circonferenza il raggio è medio proporzionale tra i 2 segmenti in cui il lato obliquo è diviso dal punto di tangenza.

Corollario per il trapezio isoscele: In un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza il diametro è medio proporzionale tra le due basi.

Teorema trapezi circoscritti semicirconferenza: In un trapezio circoscritto ad una semicirconferenza ciascun lato obliquo è congruente al segmento cui è divisa la base maggiore dal centro ad esso consecutivo.

Corollario per il trapezio isoscele: In un trapezio isoscele circoscritto ad una semicirconferenza ciascun lato obliquo è congruente a metà base maggiore

.

Lati dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza:

Quadrato l= 2r

Esagono l=r

Triangolo equilatero l= 3r

Pentagono

r

l 2

5 2 10−

= Decagono

r

l 2

1 5−

= Ottagono l=2( 2−1)

Formula di erone: A= p

(

)(

)(

)

Triangoli e circonferenze:

Raggio della circonferenza circoscritta ad un

triangolo ^A

r abc

=4

Raggio della circonferenza circoscritta ad un

triangolo isoscele h

r l 2

2

= Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo (A = Area)

p r A

pr A

=

=

Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo isoscele

( )

h b l r b

4 2 −

=

Formule relative al numero phi:

Rettangolo aureo AF:AD=AD:BF

Triangolo isoscele di base 72° CB:BA=AD:DB

Insiemi numerici:

Insieme N Insieme dei numeri interi positivi

Insieme Z Insieme dei numeri interi relativi

Insieme Q Insieme dei numeri esprimibili in frazione

Insieme R Insieme dei numeri irrazionali

Insieme C Insieme dei numeri complessi

Matrici:

Matrice di ordine m,n Una tabella formata da m righe e n colonne

Matrice rettangolare Matrice in cui m ≠ n

Matrice quadrata Matrice in cui m = n

Vettore riga Matrice di ordine 1,n

Vettore colonna Matrice di ordine m,1

Matrice nulla Matrice in cui tutti gli elementi sono uguali a 0

Uguaglianza fra matrici Due matrici sono uguali se e solo se tutti gli elementi corrispondenti

sono uguali

Matrice opposta di A (-A) La matrice che ha gli elementi di segno opposto rispetto ad A

Matrice trasposta di A (AT) La matrice che si ottiene scambiando fra di loro le righe e le colonne di A

Diagonale principale L’insieme degli elementi di una matrice quadrata che hanno i = k

Diagonale secondaria L’insieme degli elementi di una matrice quadrata che hanno i + k = n – 1

Matrice quadrata diagonale Matrice che ha tutti gli elementi tranne quelli della diagonale principale nulli

Matrice unità o identica Matrice che ha tutti gli elementi della diagonale principale uguali ad 1 Matrice triangolare superiore Matrice che ha tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale

nulli.

Matrice triangolare inferiore Matrice che ha tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale nulli.

Matrice somma (A+B) Matrice che ottengo sommando gli elementi corrispondenti delle matrici

A, B.

Prodotto di una matrice per uno scalare (a ∙ A) Si ottiene moltiplicando tutti gli elementi di A per a

Prodotto tra un vettore riga e un vettore colonna È un elemento che si ottiene sommando fra di loro i prodotti corrispondenti di tutti gli elementi della matrice.

Prodotto tra matrici (AB) È una matrice che ha il numero di righe della prima ed il numero di

colonne della seconda. Gli elementi si ottengono moltiplicando la riga per la colonna di riferimento per ogni elemento.

N.B. (Prodotto fra matrici) Il prodotto di una matrice non nulla può essere una matrice nulla.

Determinante di una matrice di ordine 1 È l’elemento stesso

Determinante di una matrice di ordine 2 È la differenza fra il prodotto degli elementi della diagonale principale e quello degli elementi della diagonale secondaria.

Determinante di una matrice di ordine > 2 Si calcola facendo la somma dei prodotti di una linea moltiplicati per i rispettivi complementi algebrici.

Complemento algebrico di a(i,k) Il minore complementare preceduto da + se i+k pari, da – se i+k dispari Minore complementare di a(i,k) Il determinante che ottengo togliendo da quella matrice la riga i e la

colonna k

Proprietà del determinante 1) Il determinante di una matrice è nullo se tutti gli elementi sono nulli

2) Il determinante di una matrice è nullo se due linee parallele hanno elementi uguali o proporzionali.

3) Il determinante di una matrice è nullo se una linea è combinazione lineare di altre due linee parallele

4) Il determinante non cambia se ad una linea sommo un'altra moltiplicata per un numero opportuno

5) Il determinante cambia di segno se cambio fra loro due linee parallele

6) Il determinante cambia se moltiplico tutti gli elementi di una linea per un numero k. Il determinante sara k volte quello della vecchia matrice.

Teorema di Binet Il determinante della matrice prodotto di due matrici è uguale al prodotto

dei determinanti delle due matrici.

Regola di Sarrus Il determinante di una matrice quadrata di ordine tre è uguale alla

differenza tra la somma dei prodotti degli elementi delle diagonali principali e la somma dei prodotti degli elementi di ogni diagonale secondaria.

Inversa di una matrice (A^-1) Data una matrice quadrata A definisco matrice inversa di A la matrice che moltiplicata per A da come risultato la matrice identica.

Costruzione della matrice inversa 1) Prendo la matrice A di determinante diverso da 0

2) Sostituisco ad ogni elemento di A il rispettivo complemento algebrico

3) Traspongo la matrice

4) Divido tutti gli elementi per il determinante di A

Sistemi lineari:

Equazione lineare Equazione in cui le incognite sono tutte al primo grado

Sistema lineare Sistema in cui compaiono solo equazioni di primo grado

Metodo di Sostituzione Si risolve un’equazione in base ad un’incognita e si sostituisce il

risultato nell’altra equazione.

Metodo di Confronto Si risolvono entrambe le equazioni rispetto ad un’incognita e, dopo

averla trovata applicando la proprietà transitiva, la si sostituisce nell’altra equazione

Metodo di Riduzione Si moltiplicano entrambe le equazioni per uno scalare opportuno e si

sommano, con lo scopo di ottenere un’equazione con un’incognita da risolvere

Metodo della Matrice inversa Si moltiplica la matrice inversa del sistema per il vettore dei coefficienti

Metodo di Cramer Si effettua il quoziente tra il determinante della matrice che ottengo

sostituendo il vettore dei coefficienti nella matrice del sistema ai coefficienti di un incognita e il determinante della matrice del sistema per trovare l’incognita stessa.

Rango di una matrice Il massimo ordine di minori non nulli che posso estrarre dalla matrice

Minore di ordine n Esistenza del determinante diverso da 0 in una sottomatrice quadrata di

ordine n.

N.B. (Rango) Il rango di una matrice è diverso da 0 se tutti gli elementi sono nulli

Il rango di una matrice è uguale a r se esiste un minore di ordine r non nullo e tutti i minori di ordine r+1 sono nulli.

Teorema di Kroenecker Il rango di una matrice è = r se e solo se esiste un minore di ordine r

diverso da 0 e tutti i minori di ordine r+1 orlando il minore diverso da zero sono nulli.

Teorema di Rouchè-Capelli Un sistema di m equazioni in n incognite è possibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti e quello della matrice completa sono uguali. È determinato se il rango è uguale al numero delle incognite. È indeterminato se il rango è minore del numero delle incognite e ha ∞ ^n-r soluzioni.

Risoluzione di un sistema di m equazioni in n incognite Si determinano i ranghi. Se r = r’ si individua ua sottomatrice Hr, quadrata di ordine r che abbia il determinante diverso da 0.

• Se r = n utilizzo tutte le equazioni per determinare le soluzioni

• Se r < m utilizzo r equazioni e scarto le altre

• Se r = n = m allora il sistema è determinato

• Se r < n allora utilizzo r incognite e tratto le altre come parametri.

Geometria analitica:

Assioma di appartenenza della retta Esistono sottoinsiemi propri chiamati rette tali che per due punti passi una e una sola retta Assioma di appartenenza del piano Esistono una retta ed un punto non allineati per i

quali passa uno e un solo piano

Assioma dell’ordine Ogni retta è dotata di due versi rispetto ai quali è aperta, densa e illimitata

Asse Retta orientata dotata di un sistema di

riferimento

Ascissa Distanza del punto dall’asse delle ordinate se il

punto è nel 1° o nel 4° quadrante, opposto di tale distanza se il punto è nel 2° o nel 3°

quadrante.

Ordinata Distanza del punto dall’asse delle ascisse se il

punto è nel 1° o nel 2° quadrante, opposto di tale distanza se il punto è nel 3° o nel 4°

quadrante.

Teorema della distanza fra due punti su una retta

p

q x

x PQ= − Teorema del punto medio su una retta

2

q p m

x

x x +

=

Distanza fra due punti PQ=

(

) (

)

Punto medio di un segmento



 



 + +

; 2 2

q p q

p x y y

M x Punto interno L ad un segmento

k

ABAL =

( )

( )





− +

=

− +

=

a b a

l

a b a l

y y k y y

x x k x x Baricentro G di un triangolo ABC



 



 + + + +

; 3 3

c b a c b

a x x y y y

G x

Problemi di geometria analitica Area del triangolo ABC

1) Metodo del rettangolo

Area del triangolo = Area del rettangolo – Areatr1 – Areatr2 – Areatr3 2) Metodo della matrice

1 1 1 2

1

c c

b b

a a

y x

y x

y x A=

3) Metodo “tradizionale”

2 A= bh

1

2 3

A

B

C O

x

x

y

y

O

4° vertice del parallelogrammo ABCD

1) Metodo lati





=

= BD AC

CD AB

2) Metodo punto medio diagonali



 



 + +

; 2 2

c b c

b x y y

M x





−

=

−

=

a m D

a m D

y y y

x x x

2 2 3) Metodo “vettori”

BDL

AKC ≅ x II criterio - AC≅ BDx Hp

- _Kˆ _{≅ L}ˆ_≅π2x costruzione - CAˆK ≅DBˆLx costruzione

(

)

a d

b d c a

l d c k

l d k c

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

DL CK

− +

=

−

=

−

−

=

−

−

=

−

=

(

)

a d

d b d a

l b k a

l b k a

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

BL AK

− +

=

−

=

−

−

=

−

−

=

−

=



( )

( )





− +

=

− +

=

b c a d

b c a d

y y y y

x x x x

4) Intersezione delle rette

- Trovo la retta parallela ad AB passante per C - Trovo la retta parallela ad AC passante per B - Le interseco in un sistema e trovo il punto D

A

B

C

M L D

K y

O x

Goniometria

Gradi sessagesimali Angolo retto = 90°, angolo giro = 360°

Gradi centesimali Angolo retto = 100^g, angolo giro = 400^g

Radianti Angolo congruente all’arco sotteso. Giro = 2π

Conversioni di angoli

°

=

°

= °

°

= °

°

=

°

200 180 180 200 180

180

g g

g g

α α α α

α π α

π α α

Circonferenza goniometrica Circonferenza avente centro nell’origine degli assi e raggio 1

Primo lato dell’angolo di una c.g. Coincide con il semiasse positivo dell’asse delle ascisse Seno dell’angolo alfa Ordinata del 2° estremo dell’angolo

Coseno dell’angolo alfa Ascissa del 2° estremo dell’angolo

Tangente dell’angolo alfa Ordinata del punto intersezione fra il prolungamento del secondo lato dell’angolo e la tangente alla circonferenza goniometrica perpendicolare al semiasse positivo dell’asse delle ascisse.

Cotangente dell’angolo alfa Ascissa del punto intersezione fra il prolungamento del secondo lato dell’angolo e la tangente alla circonferenza goniometrica perpendicolare al semiasse positivo dell’asse delle ordinate.

Secante dell’angolo alfa Ascissa del punto intersezione fra la tangente alla circonferenza goniometrica passante per il secondo estremo dell’angolo e l’asse delle ascisse.

Cosecante dell’angolo alfa Ordinata del punto intersezione fra la tangente alla circonferenza goniometrica passante per il secondo estremo dell’angolo e l’asse delle ordinate.

Relazioni fondamentali della goniometria

Prima relazione fondamentale La somma del quadrato del seno di un angolo e del quadrato del coseno di un angolo è uguale ad 1

Seconda relazione fondamentale La tangente di un angolo è il rapporto fra il suo seno ed il suo coseno

Terza relazione fondamentale La cotangente di un angolo è il rapporto fra il suo coseno ed il suo seno oppure è il reciproco della sua tangente

Quarta relazione fondamentale La secante di un angolo è il reciproco del suo coseno Quinta relazione fondamentale La cosecante di un angolo è il reciproco del suo seno

Formule relative agli archi associati

Con angolo piatto

( )

( )

( )

( )

( )

( )





−

=

−

=

−





−

= +

−

= +





=

−

−

=

−

α α

π

α α

π

α α

π

α α

π

α α

π

α α

π

sin 2

sin

cos 2

cos

sin sin

cos cos

sin sin

cos cos

Con angolo retto









−

=



 



 +

=



 



 +









−

=



 



 −

−

=



 



 −









=



 

 +

−

=



 

 +









=



 

 −

=



 

 −

α α

π

α α

π

α α

π

α α

π

α π α

α π α

α π α

α π α

2 cos sin 3

2 sin cos 3

2 cos sin 3

2 sin cos 3

2 cos sin

2 sin cos

2 cos sin

2 sin cos

La retta

Equazione della retta ax+by+c=0 Condizione di allineamento tra 2 punti

1 2

1 1

2 1

y y

y y x x

x x

−

= −

−

−

Condizione di allineamento tra 3 punti

1 2

1 3 1 2

1 3

y y

y y x x

x x

−

= −

−

−

Equazione della retta (forma esplicita) y=mx+q Coefficiente angolare m

α x tg y b

m a =

∆

= ∆

−

= Ordinata all’origine q

b q=−c Retta passante x un punto di coefficiente angolare noto

(

)

(

)

Distanza fra due punti su una retta di coefficiente angolare noto

1 m2

x x_a − _b + Forma segmentarla dell’equazione della

retta + =1

q y p x Ascissa all’origine p

a p=−c

Condizione di parallelismo fra due rette Date due rette r e r’ r//r'⇔ab'=a'b ovvero se m=m' Condizione di perpendicolarità fra due

rette

Date due rette r e r’ r ⊥r'⇔aa'+bb'=0 ovvero se '

1 m=−m Distanza del punto P (x₀;y₀) dalla retta R

ax + by + c = 0 ⁰ _{2 2}

b a

c by

PH ax ^o

+ +

= +

Intersezione fra due rette in un sistema - Sistema possibile  Rette incidenti

- Sistema indeterminato  Rette coincidenti - Sistema impossibile  Rette parallele

Asse del segmento ²x

(

)

(

)

(

) (

)

Bisettrice di un angolo

2 2 2

2 ' '

' ' '

b a

c y b x a b

a c by ax

+ +

= + +

+ +

Teorema angolo fra due rette La tangente dell’angolo alfa fra due rette di coefficiente angolare m e m’ è uguale a

' 1

' mm m m

+

−

Fasci di rette

Definizione Si definisce fascio di rette proprio un insieme di rette passanti per lo stesso punto detto centro del fascio. Un fascio improprio è un insieme di rette parallele a una retta data detta sostegno del fascio.

Equazione del fascio di rette

(

) (

)

Seni e coseni particolari (tabella completa) Primo quadrante

Gradi Radianti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

0° 0 0 1 0 ∅ 1 ∅

15°

12 π

4 2 6−

4 2

6+ 2− 3 2+ 3 6− 2 6+ 2

30°

6 π

2 1

2 3

3

3 3 3

3

2 2

45°

4 π

2 2

2

2 1 1 2 2

60°

3 π

2 3

2

1 3

3

3 2

3 3 2

75° π

12 5

4 2 6+

4 2

6− 2+ 3 2− 3 6+ 2 6− 2

Secondo quadrante

Gradi Radianti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

90°

2

π 1 0 ∅ 0 ∅ 1

105°

12π 7

4 2 6+

4 2 6+

− −2− 3 −2+ 3 − 6− 2 6− 2

120°

3π 2

2 3

2

− 1 − 3

3

− 3 -2

3 3 2

135° π

4 3

2 2

2

− 2 - 1 - 1 − 2 2

150°

6π 5

2 1

2

− 3

3

− 3 − 3 3

3

−2 ²

165° π

12 11

4 2 6−

4 2 6−

− −2+ 3 −2− 3 − 6+ 2 6+ 2

Seni e coseni particolari (continuazione) Terzo quadrante

Gradi Radianti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

180° π 0 -1 0 ∅ -1 ∅

195° π

12 13

4 2 6+

− 4

2 6−

− 2− 3 2+ 3 − 6+ 2 − 6− 2

210°

6π 7

2

− 1

2

− 3

3

3 3 3

3

−2 - 2

225°

4π 5

2

− 2

2

− 2 1 1 − 2 − 2

240° π

3 4

2

− 3

2

− 1 3

3

3 -2

3 3

−2 255°

12π 17

4 2 6−

− 4

2 6+

− 2+ 3 2− 3 − 6− 2 − 6+ 2

Quarto quadrante

Gradi Radianti Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec

270° π

2

3 -1 0 ∅ 0 ∅ -1

285°

12π 19

4 2 6−

− 4

2

6− −2− 3 −2+ 3 6− 2 − 6+ 2

300°

3π 5

2

− 3

2

1 − 3

3

− 3 3

3

2 3

3

−2

315° π

4 7

2

− 2

2

2 - 1 - 1 2 − 2

330°

6π 11

2

− 1

2 3

3

− 3 − 3 2 - 2

345°

12π 23

4 2 6+

− 4

2

6+ −2+ 3 2− 3 6+ 2 − 6− 2

360° 2 π 0 1 0 ∅ 1 ∅

Formule di somma e sottrazione

)

cos(α −β =cosαcosβ +sinαsinβ )

cos(α +β =cosαcosβ −sinαsinβ )

sin(α −β =sinαcosβ−cosαsinβ )

sin(α +β =sinαcosβ +cosαsinβ

) tan(α+β =

β α

β α

tan tan 1

tan tan

−

+ con

π π β α

π π β α

k k +

≠ +

+

≠

2 , 2

) tan(α−β =

β α

β α

tan tan 1

tan tan

+

− con

π π β α

π π β α

k k +

≠

−

+

≠

2 , 2

Formule di duplicazione

α 2

sin =2sinαcosα α

2

cos =





−

= −

− 2cos 1

sin 2 sin 1

cos ₂

2 2

2

a α α

α α

2

tan =

α α tan2

1 tan 2

− conα ≠π +kπ ∧α ≠π +kπ 2 2

4

Formule di bisezione

sinα2

= 2

cos

1− α

±

cosα2

= 2

cos

1+ α

±

tanα2

= α

α cos 1

cos 1

+

± − conα ≠π +2kπ

tanα2

= α

α cos 1

sin

+ con α ≠π +2kπ tanα2

= α

α sin

cos 1−

con α ≠kπ

Formule parametriche

α sin =

tan 2 1

tan 2 2

2α α +

α cos =

tan 2 1

tan 2 1

2 2

α α +

−

con α ≠π +2kπ

α tan =

tan 2 1

tan 2 2

2α α

−

Formule di prostaferesi

q p sin

sin + =

cos 2 sin 2

2 p+q p−q q

p sin

sin − =

sin 2 cos 2

2 p+q p−q q

p cos

cos + =

cos 2 cos 2

2 p+q p−q q

p cos

cos − =

sin 2 sin 2

2 p+q p−q

− q p tan

tan + =

( )

q p

q p

cos cos

sin +

con π π

k q

p ≠ +

, 2 q

p tan

tan − =

( )

q p

q p

cos cos

sin −

con π π

k q

p ≠ +

, 2 q

p cot

cot + =

( )

q p

q p

sin sin sin +

con p,q≠π +kπ q

p cot

cot − =

( )

q p

p q

sin sin sin −

con p,q≠π +kπ

Formule di werner

β αsin

sin =

[

(

)

(

) ]

2

1 = −

[

(

)

(

) ]

2 1 β

αcos

cos =

[

(

)

(

) ]

2 1 β αcos

sin =

[

(

)

(

) ]

2 1

Trigonometria

Primo teorema dei triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa ed il seno dell’angolo opposto oppure il coseno dell’angolo acuto adiacente

Secondo teorema dei triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la tangente dell’angolo opposto oppure la cotangente dell’angolo acuto adiacente

Teorema dell’area del triangolo L’area di un triangolo qualsiasi è equivalente al semiprodotto tra due lati ed il seno dell’angolo compreso tra essi.

Teorema del coseno o di Carnot o di Pitagora generalizzato

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è congruente alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del doppioprodotto dei due lati per il coseno dell’angolo compreso tra essi.

Teorema della corda In una circonferenza una corda è sempre uguale al diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza che insiste sulla corda

Teorema dei seni In un triangolo qualunque il rapporto fra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta ma anche al rapporto tra il prodotto dei lati ed il doppio dell’area.

La Circonferenza

Definizione La Circonferenza è il luogo dei punti del piano

equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza è detta raggio della circonferenza.

Equazione x² + y² +ax+by+c=0

Coordinate del centro







−

=

−

=

2 2 y b x a

o o

Raggio

b c r= a + −

4 4

2 2

Valori di a a>0 Il centro è nel II o nel III quadrante

=0

a  Il centro è sull’asse delle y

<0

a  Il centro è nel I o nel IV quadrante Valori di b b>0 Il centro è nel III o nel IV quadrante

=0

b  Il centro è sull’asse delle x

<0

b  Il centro è nel I o nel II quadrante Valori di c c=0 La circonferenza passa per l’origine Equazione circonferenza goniometrica x² + y² =1

Punti, rette e circonferenze

Posizioni reciproche di un punto e una circonferenza

Il punto può essere esterno, interno o sulla circonferenza. In quest ultimo caso le coordinate del punto soddisfano l’equazione

Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza

Può essere esterna (nessun punto in comune), secante (due punti di intersezione) e tagente (due punti di intersezioni coincidenti)