Strumenti di Analisi Matematica di Base
Appello del giorno
15/09/03
Cognome e nome (stampatello) C.L. (M/F)
Una e una sola `e la risposta esatta. Annerire la casella scelta cos`ı:
Punti per ogni risposta: Esatta = 3 , Bianca = 0 , Errata = −1 . Tempo a disposizione: 1 ora e 45 minuti.
1. Sia D l’intersezione del primo quadrante di R2 con il disco di centro (0, 0) e raggio 1 . Allora l’integrale R
Dxy dx dy vale a 1/8 ; b 1/4 ; c 1/2 ; d 1/6 .
2. Sia u : R → R di classe C∞ tale che u2(x) + u(x) = x2(1 + u(x)) ∀ x ∈ R e u(0) = 0 . Allora, per u , il punto x = 0 `e di a massimo relativo; b minimo relativo;
c flesso; d discontinuit`a.
3. Sia f : R → R . Perch´e f sia integrabile in [0, 1] `e sufficiente che a f sia limitata in [0, 1]; b exp f sia continua in R ; c f2 sia di classe C∞ in [0, 1];
d f2 sia continua in R .
4. Sia f (x) = (1 − |x|2)+exp |x| per x ∈ R3. Allora a f non `e limitata;
b f `e integrabile su ogni superficie sferica; c f `e differenziabile; d f `e di classe C1 ma non di classe C2.
5. La funzione x 7→ Rx2
0 exp(−√
y) dy , x ∈ R , `e a monotona; b convessa;
c dispari; d differenziabile in 0 .
6. Sia f (x, y) = x4 + y2, (x, y) ∈ R2. Allora (0, 0) `e per f un punto a di minimo relativo; b di massimo relativo; c stazionario ma non di estremo relativo; d non stazionario.
7. Per n ∈ N e x ∈[0, +∞) si definisca fn(x) = xne−x e si ponga Mn = sup fn. Allora il limite limn→∞Mn vale a 0 ; b 1 ; c +∞ ; d e .
8. Sia Γ il grafico della funzione x 7→ cosh x , x ∈ [0, 1]. Allora la lunghezza di Γ vale a (e − e−1)/2 ; b (e + e−1)/2 ; c e/2 ; d e−1/2 .
9. Sia u : R → R di classe C2 tale che u0(t) = 2 + sin u(t) ∀ t ∈ R e u(0) = 0 . Allora il suo polinomio di Taylor di centro 0 e ordine 2 vale a 1 + 2t + t2; b 2t + t2;
c 2t + t2/2 ; d 2t + 2t2.
10. Per r > 0 sia Σr la superficie sferica di centro (0, 0, 0) e raggio r e siano λ, ρ ∈ (0, +∞) . Allora la formula R
Σ2f (x) dS(x) = ρR
Σ1f (λy) dS(y) `e vera per ogni f : R3 → R continua se (λ, ρ) vale a (1, 1) ; b (2, 4) ; c (2, 1) ; d (2, 8) .
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