La serie P+∞n=1anbn `e convergente

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 9 gennaio 2012 – A

(1) Fornire la definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann.

(2) Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

(3) Dimostrare che se (a_n)_n∈IN ha ordine di infinito minore di (b_n)_n∈IN e (b_n)_n∈IN ha ordine di infinito minore di (c_n)_n∈IN allora (a_n)_n∈IN ha ordine di infinito minore di (c_n)_n∈IN.

(4) Sia

+∞

X

n=0

a_n una serie a termini positivi convergente e sia (b_n)_n∈IN successione divergente a +∞. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se `e vera o falsa.

A. La serie^P+∞_n=1^a_bⁿ

n `e convergente. Vero

B. La serie ^P+∞_n=1a_nb_n `e convergente. Falso C. La serie di potenze

+∞

X

n=1

a_nxⁿ ha raggio di convergenza ρ ≥ 1. Vero

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale

Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 9 gennaio 2012 – B

(1) Fornire la definizione di funzione convessa ed enunciare i noti criteri di convessit`a.

(2) Enunciare e dimostrare il Criterio di integrabilit`a.

(3) Dimostrare che se (a_n)_n∈IN `e asintotica a (b<sub>n</sub>)<sub>n∈IN</sub> e (b<sub>n</sub>)<sub>n∈IN</sub> `e asintotica a (c_n)_n∈IN allora (a_n)_n∈IN `e asintotica a (c_n)_n∈IN.

(4) (4) Sia

+∞

X

n=0

a_n una serie a termini positivi divergente e sia (b_n)_n∈IN successione divergente a +∞. Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se `e vera o falsa.

A. La serie^P+∞_n=1^a_bⁿ

n `e divergente. Falso

B. La serie ^P+∞_n=1a_nb_n `e divergente. Vero C. La serie di potenze

+∞

X

n=1

a_nxⁿ ha raggio di convergenza ρ ≤ 1. Vero