Pertanto, la serie `e assolutamente (e quindi anche semplicemente) convergente se 4x92 &lt

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SOLUZIONI APPELLO STRAORDINARIO del 26/06/2018 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU

MECCANICA + ENERGETICA TEMA A

Esercizio 1

Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini di segno qualsiasi; pertanto, cominciamo a studiarne la convergenza assoluta utilizzando, ad esempio, il criterio della radice. In tal caso otteniamo

n

√

(4x²)ⁿ 9ⁿ√³

n + 1∼ ⁿ

√(4x²)ⁿ 9ⁿ =4x²

9 , dove abbiamo utilizzato il fatto che √ⁿ

√3

n + 1 → 1. Pertanto, la serie è assolutamente (e quindi anche semplicemente) convergente se ^4x₉² < 1, ovvero per −3/2 < x < 3/2. La serie è, invece, assolutamente divergente per x < −3/2 e x > 3/2 e, come conseguenza del criterio della radice, si ottiene anche che il termine generale non è infinitesimo, per cui la serie non `e neppure semplicemente convergente. Infine, per x =

±3/2, il criterio non fornisce alcuna informazione, ma sostituendo nel termine generale della serie otteniamo an = (−1)ⁿ √3 ¹

n+1, che non converge assolutamente per il confronto con la serie armonica generalizzata di esponente p = 1/3 < 1, ma converge semplicemente per il criterio di Leibniz, poich´e `e una serie a segno alterno, in cui la successione √₃¹

n+1 `e monotona decrescente, come si ottiene con semplici calcoli.

Esercizio 2

L’integrale proposto si pu`o risolvere eﬀettuando mediante un’integrazione per parti e il conseguente utilizzo delle formule parametriche cos x = ¹_1+tan^−tan²2^(x/2)(x/2) a sin x = _1+tan^{2 tan}²2^(x/2)(x/2). Infatti,

∫ π/2 π/4

(sin x) log(sin x) dx =− cos x log(sin x)^π/2

π/4+

∫ π/2 π/4

cos²x sin x dx =

√2 2 log

(√2 2

) +

∫ π/2 π/4

1− sin²x sin x dx

=

√2 2 log

(√2 2

) +

∫ π/2 π/4

1 sin xdx−

∫ π/2 π/4

sin²x sin x dx

=

√2 2 log

(√2 2

) +

∫ 1 tan(π/8)

1 + t² 2t

2

1 + t²dt + cos x^π/2

π/4

=

√2 2 log

(√2 2

)

+ log t¹

tan(π/8)−

√2 2 =

√2 2 log

(√2 2

)

− log(tan(π/8)) −

√2

2 , dove, nella quinta uguaglianza, abbiamo eﬀettuato la sostituzione t = tan(x/2), da cui t(π/2) = tan(π/4) = 1, t(π/4) = tan(π/8) e dx = _1+t²₂ dt.

Esercizio 3

Osserviamo che il problema di Cauchy proposto è relativo ad un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti e non omogenea, la cui equazione caratteristica associata `e data da λ²− n² = 0.

Quest’ultima ha per soluzione λ = ±n; pertanto, l’integrale generale dell’omogenea associata `e dato da y_0n(x) = C₁e^nx+ C₂e^−nx. Inoltre, dal metodo di somiglianza, si ricava che una soluzione particolare `e della forma y_p(x) = Ax + B, da cui y^′_p(x) = A e y^′′_p(x) = 0. Inserendo nell’equazione completa, otteniamo

−n²Ax− n²B = n⁴x, da cui A = −n² e B = 0. Quindi, l’integrale generale dell’equazione proposta `e yn(x) = C1e^nx+ C2e^−nx− n²x. Imponendo ora le condizioni iniziali, otteniamo

{2n = y(0) = C₁+ C₂,

− n²= y^′(0) = nC₁− nC2− n², =⇒ C₁= C₂= n .

Pertanto, la soluzione del problema di Cauchy proposto `e y_n(x) = n[e^nx+ e^−nx]− n²x. Conseguentemente, si ricava

n→+∞lim 1

nyn(2/n) = lim

n→+∞

n[e²+ e⁻²]− 2n

n = e²+ e⁻²− 2 . 1

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Esercizio 4

Osserviamo che l’equazione proposta si pu`o riscrivere nella forma z⁶= 1/2−√

3i/2 e, quindi, la sua risoluzione si riduce alla determinazione delle 6 radici seste di 1/2−√

3i/2 = e^−iπ/3. Pertanto, otteniamo

z = ⁶

√

e^−iπ/3={e⁻^iπ¹⁸, e^5πi¹⁸ , e^11πi¹⁸ , e^17πi¹⁸ , e^23πi¹⁸ , e^29πi¹⁸ }.

Esercizio 5

1) Per l’enunciato e la dimostrazione si veda il libro di testo.

2) Ponendo f (x) = e^x, dal Teorema di Lagrange si ricava subito che, per ogni x∈ (0, 2), esiste un punto ξ∈ (0, x) tale che

f (x)− f(0) = f^′(ξ)(x− 0) , ovvero e^x− 1 = e^ξx≤ e²x < 9x ,

dove abbiamo tenuto conto che l’esponenziale naturale `e crescente (quindi e^ξ ≤ e², dato che ξ < x < 2), che e²< 9 e che x∈ (0, 2], quindi `e positivo.

2

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TEMA B Esercizio 1

Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini di segno qualsiasi; pertanto, cominciamo a studiarne la convergenza assoluta utilizzando, ad esempio, il criterio della radice. In tal caso otteniamo

n

√

4ⁿ (9x²)ⁿ√⁴

n + 2 ∼ ⁿ

√ 4ⁿ

(9x²)ⁿ = 4 9x², dove abbiamo utilizzato il fatto che √ⁿ

√4

n + 2 → 1. Pertanto, la serie è assolutamente (e quindi anche semplicemente) convergente se _9x⁴2 < 1, ovvero per x < −2/3 oppure x > 2/3. La serie è, invece, assolu- tamente divergente per −2/3 < x < 2/3, x ̸= 0, e, come conseguenza del criterio della radice, si ottiene anche che il termine generale non è infinitesimo, per cui la serie non è neppure semplicemente convergente.

Infine, per x =±2/3, il criterio non fornisce alcuna informazione, ma sostituendo nel termine generale della serie otteniamo an = (−1)ⁿ √4n+2¹ , che non converge assolutamente per il confronto con la serie armonica generalizzata di esponente p = 1/4 < 1, ma converge semplicemente per il criterio di Leibniz, poich´e `e una serie a segno alterno, in cui la successione √4 ¹

n+2`e monotona decrescente, come si ottiene con semplici calcoli.

Esercizio 2

L’integrale proposto si pu`o risolvere eﬀettuando mediante un’integrazione per parti e il conseguente utilizzo delle formule parametriche cos x = ¹_1+tan^−tan²₂^(x/2)_(x/2) a sin x = _1+tan^{2 tan}²₂^(x/2)_(x/2).. Infatti,

∫ π/4 0

(cos x) log(cos x) dx = sin x log(cos x)^π/4

0 +

∫ π/4 0

sin²x cos x dx =

√2 2 log

(√2 2

) +

∫ π/4 0

1− cos²x cos x dx

=

√2 2 log

(√2 2

) +

∫ π/4 0

1 cos xdx−

∫ π/4 0

cos²x cos x dx

=

√2 2 log

(√2 2

) +

∫ tan(π/8) 0

1 + t² 1− t²

2

1 + t²dt− sin x^π/4

0

=

√2 2 log

(√2 2

)

+ [log(1 + t)− log(1 − t)]^tan(π/8)

0 −

√2 2

=

√2 2 log

(√2 2

)

+ log[1 + tan(π/8)]− log[1 − tan(π/8)] −

√2

2 ,

dove, nella quinta uguaglianza, abbiamo eﬀettuato la sostituzione t = tan(x/2), da cui t(0) = tan(0) = 0, t(π/4) = tan(π/8) e dx = _1+t²₂ dt.

Esercizio 3

Osserviamo che il problema di Cauchy proposto è relativo ad un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti e non omogenea, la cui equazione caratteristica associata `e data da λ²− 1/n² = 0.

Quest’ultima ha per soluzione λ = ±1/n; pertanto, l’integrale generale dell’omogenea associata `e dato da y0n(x) = C1e^x/n+ C2e^−x/n. Inoltre, dal metodo di somiglianza, si ricava che una soluzione particolare `e della forma yp(x) = Ax + B, da cui y^′_p(x) = A e y^′′_p(x) = 0. Inserendo nell’equazione completa, otteniamo

−(1/n²)Ax− (1/n²)B = x/n, da cui A =−n e B = 0. Quindi, l’integrale generale dell’equazione proposta

`

e yn(x) = C1e^x/n+ C2e^−x/n− nx. Imponendo ora le condizioni iniziali, otteniamo {2n²= y(0) = C1+ C2,

− n = y^′(0) = (1/n)C₁− (1/n)C2− n , =⇒ C1= C2= n².

Pertanto, la soluzione del problema di Cauchy proposto `e yn(x) = n²[e^x/n+ e^−x/n]−nx. Conseguentemente, si ricava

n→+∞lim 1

n²y_n(3n) = lim

n→+∞

n²[e³+ e⁻³]− 3n²

n² = e³+ e⁻³− 3 . 3

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Esercizio 4

Osserviamo che l’equazione proposta si pu`o riscrivere nella forma z⁴=√

3/2+i/2 e, quindi, la sua risoluzione si riduce alla determinazione delle 4 radici quarte di√

3/2 + i/2 = e^iπ/6. Pertanto, otteniamo

z = ⁴

√

e^πi⁶ ={e^πi²⁴, e^13πi²⁴ , e^25πi²⁴ , e^37πi²⁴ }.

Esercizio 5

1) Per l’enunciato e la dimostrazione si veda il libro di testo.

2) Ponendo f (x) = e^x, dal Teorema di Lagrange si ricava subito che, per ogni x∈ (0, 2), esiste un punto ξ∈ (0, x) tale che

f (x)− f(0) = f^′(ξ)(x− 0) , ovvero e^x− 1 = e^ξx≤ e²x < 9x ,

dove abbiamo tenuto conto che l’esponenziale naturale `e crescente (quindi e^ξ ≤ e², dato che ξ < x < 2), che e²< 9 e che x∈ (0, 2], quindi `e positivo.

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