Esercizio Lezione 22
Esaminiamo i seguenti dati raccolti dallo studente Giuseppe Matisi, relativi alle variabili TD = tasso di disoccupazione, RD = Research & Developement,PE = Spesa nella pubblica istruzione (rispetto al PIL), HC = Health Care.
naz TD RD PE HC
Belg 6,6 0,41 5,93 9,99
Bulg 6,0 0,05 4,51 7,09
Czec 5,9 0,23 4,26 6,96
Denm 5,1 0,6 8,30 9,60
Ger 7,3 0,41 4,53 10,54
Est 12,3 0,39 4,88 5,08
Spa 16,0 0,33 4,23 8,36
Fra 7,5 0,4 5,65 11,03
Latvia 15,3 0,23 5,06 6,76
Lit 12,2 0,41 4,90 6,23
Lux 4,1 0,02 3,78 7,62
Hunga 8,8 0,24 5,47 8,09
Nether 2,8 0,54 5,48 9,72
Aust 4,0 0,61 5,48 10,26
Pol 6,8 0,18 5,47 6,20
Port 9,0 0,29 5,39 9,63
Roma 5,7 0,06 3,48 5,10
Sloven 5,2 0,24 5,67 8,23
Slovak 10,5 0,1 3,85 7,34
Fin 6,5 0,66 6,31 8,39
Sweden 6,0 0,79 6,97 8,93
Norw 2,2 0,47 7,02 8,65
M<-read.table("clipboard",dec=',',header=T,row.names=1); cor(M); plot(M) TD RD PE HC
TD 1.0000000 -0.1862693 -0.3357380 -0.3429866 RD -0.1862693 1.0000000 0.7414334 0.5306108 PE -0.3357380 0.7414334 1.0000000 0.4662142 HC -0.3429866 0.5306108 0.4662142 1.0000000
TD
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 5 6 7 8 9 10 11
24681014
0.00.20.40.60.8
RD
PE
45678
2 4 6 8 10 12 14 16
567891011
4 5 6 7 8
HC
Standardizziamo i dati su R. Ms<-M; for (i in 1:4) { Ms[,i]<-( M[,i]-mean(M[,i]))/sd(M[,i]) } PCA <- princomp(Ms); biplot(PCA)
Il risultato è molto interessante. Un utile esercizio potrebbe essere quello di mettere insieme questi indicatori con altri ancora trovati in altri momenti. Con summary(PCA) si legge:
Cumulative Proportion 0.5871166 0.8036344 0.9427123 1.00000000 Eseguire anche plot(PCA).
Se interpretiamo l’asse orizzontale come una variabile del tipo: “spese per il bene pubblico”, possiamo chiederci la classifica. Chiediamo: PCA$loadings
Loadings:
Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4
TD 0.345 0.884 0.247 -0.194
RD -0.556 0.413 -0.147 0.706
PE -0.565 0.203 -0.454 -0.658
HC -0.502 0.844 -0.174
Queste sono le componenti di una base rispetto all’altra. Proviamo:
0.345^2+0.884^2+0.247^2+0.194^2 = 0.999126 0.345^2+0.556^2+0.565^2+0.502^2 = 0.99939
E così via. L’ampiezza (e segno) dei numeri danno indicazione del legame. Es: TD è rappresentato più che altro da Comp.2; Comp.1 cattura soprattutto RD, PE, HC (in egual misura), un po’ meno TD; e così via. Tutte cose del resto chiare dal disegno. Non visibili nel disegno sono i ruoli di Comp.3 e Comp. 4.
La classifica è data dalle proiezioni delle nazioni su Comp.1, cambiate di segno perché, come si vede dai loadings e dal disegno, Comp.1 è orientata nel verso opposto al significato intuitivo di “ampia spesa”. La proiezione di un vettore su uno normalizzato è il prodotto scalare dei due. Il vettore Comp.1 ha componenti (nella base canonica) 0.345, -0.556 ecc. mentre le componenti delle nazioni (nella base canonica) sono i numeri della tabella (standardizzata). Pertanto, ad esempio, i punteggi di Belg e Bulg sono:
-sum(Ms[1,]* PCA$loadings[,1]) = 1.093552.
-sum(Ms[2,]* PCA$loadings[,1]) = -1.355473 Possiamo introdurre un vettore punteggio, P, P <- 1:nrow(Ms) e riempirlo con
for (i in 1:nrow(Ms)) { P[i] <- -sum(Ms[i,]* PCA$loadings[,1]) }
Così si perdono i nomi delle nazioni. Un trucco per leggere i punteggi a fianco delle nazioni è P<-Ms; for (i in 1:nrow(Ms)) { P[i,1] <- -sum(Ms[i,]* PCA$loadings[,1]) }; P
ed ora nella prima Colonna ci sono I punteggi. Cercare un metodo migliore.
