Reazioni nucleari nel sole

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Fusione nucleare

Lezione 10

Fusione nucleare

•  Abbiamo già accennato alla fusione nucleare che costituisce la sorgente di energia del sole

•  Oggi vogliamo trattare questo processo in maniera un po’ più quantitativa:

–  Energia irraggiata e “durata” del sole

–  Fenomeni che determinano il tasso della reazione:

•  Picco di Gamow

Hans Bethe Nobel 1967

Reazioni nucleari nel sole

Reazioni nucleari nel sole

•  La sequenza di catene di fusione principale è data dalle reazioni:

•  Il risultato netto di 2 volte le prime rea- zioni e della terza è:

1H +¹H → ²H + e⁺ +ν_e

2H +¹H → ³He +γ

3He + ³He → ⁴He + 2¹H

Q = 2m

(

)

−m

(

)

−2m₂ −1.02 MeV

= 0.42 MeV +0.42 MeV

+5.49 MeV

Q = m

(

)

(

)

−m

(

)

(

)

−2m

(

)

−m

(

)

6(¹H) → ⁴He + 2(¹H) + 2e⁺ + 2ν_e + 2γ +24.68 MeV

4(

H) →

He + 2e

+ 2 ν

+ 2 γ + 24.68 MeV

Reazioni nucleari nel sole

•  Nuclei pesanti possono venire prodotti dalla fusione di particelle α

•  Questo permette altre catene, ad esempio la sequenza del ciclo CNO:

•  Il ¹²C funge come una sorta di catalizzatore, e l’effetto netto è sempre:

3

(

)

12C + ¹H → ¹³N + γ

+1.20 MeV +1.95 MeV

+7.55 MeV

+4.96 MeV

4(

H) →

He + 2e

+ 2 ν

+ 2 γ + 24.68 MeV

13N → ¹³C + e⁺ +ν_e

13C + ¹H → ¹⁴N + γ

14N + ¹H → ¹⁵O + γ +7.34 MeV

15O → ¹⁵N + e⁺ +νe 15N + ¹H → ¹²C + ⁴He

+1.68 MeV

La vita del sole

•  Il sole ha una massa M

= 2×10

kg

–  costituiti in massima parte da idrogeno –  atomi di idrogeno: M_☉N_A/A

•  La potenza irraggiata è L

= 4×10

W

–  il numero di cicli di fusione al secondo L_☉/24.68 MeV

–  Ogni ciclo brucia 4 atomi di idrogeno dN_H/dt=4L_☉/24.68 MeV

•  Il combustibile si esaurisce in un tempo

–  Prima della relatività ristretta si supponeva che l’energia prodotta dal sole fosse di origine gravitazionale. Quale sarebbe stata l’età del sistema solare in tal caso?

N_H=1.2×10⁵⁷

dN_H/dt=4×10³⁸ s^-1

T = N_H

dN_H / dt = 0.3 ×10¹⁹s ≈ 10¹¹yr

Barriera Coulombiana

•  Perché una reazione tra il nucleo X ed il nucleo Y possa avvenire bisogna superare la barriera coulombiana:

•  Per la prima reazione della catena, p+p, R_p~0.85 fm (PDG)

•  Il problema è quanti protoni hanno l’energia sufficiente per superare tale barriera:

–  I protoni, ad una temperatura T avranno una distribuzione di velocità alla Maxwell-Boltzmnann:

V = e² 4πε₀

Z_XZ_Y

R_X + R_Y = e² 4πε₀!c

!c

R_X + R_Y Z_XZ_Y =α !c

R_X + R_Y Z_XZ_Y

V_pp =α !c

2R_p = 1 137

197MeV fm

1.7fm = 0.85MeV

dN

dv = N 2 π

m_p kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3/2

v²exp −1 2

m_pv² kT

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

Barriera Coulombiana

•  Esprimiamo la distribuzione di Maxwell-Boltzmann in termini di energia cinetica:

–  dove abbiamo usato le relazioni:

•  La frazione di protoni con E>V_pp dN

dv = N 2 π

m_p kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3/2

v²exp −1 2

m_pv² kT

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

dN

dE = dN dv

dv

dE = N 2 π

m_p kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3/2 2E

m_p exp − E kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ 1

2m_pE = N 2 π

1 kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3/2

E exp − E kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

E = 1

2m_pv² dv

dE = 2 m_p

1 2

1

E = 1 2m_pE v = 2E / m_p

= dE 2 π

1 kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

3/2

E exp − E kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Vpp +∞

∫

f = 1

N dE dN

Vpp dE

+∞

∫

π dx x exp −x

( )

V_pp/kT +∞

∫

= 1− erf V_pp kT

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟+ 2 π

V_pp

kT exp −V_pp kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= erf( x ) − 2

π x exp −x

( )

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

V_pp/kT +∞

erf x( ) ^{= 2}

π ^{dx e}

−1 2x² 0

x

∫

Barriera Coulombiana

•  Al centro del sole T~15×10⁶ K:

–  kT=8.617×10^-5 eV/K × 15×10⁶ K = 1.3 keV –  V_pp/kT = 850 keV/1.3 keV = 654

•  Per fare calcoli con numeri così grandi possiamo usare l’espansione della erf per x→∞

•  Per vedere immediatamente l’ordine di grandezza, estraiamo il logaritmo

•  abbiamo visto che nel sole ci sono “solo” 10⁵⁷ protoni 1− erf x

( )

log₁₀ f = log₁₀ 1

π 2 V_pp

kT + kT V_pp

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟exp −V_pp kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = 1.5 −V_pp

kT log₁₀e = −282.5

non esistono protoni

f = 1

π 2 V_pp

kT + kT V_pp

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟exp −V_pp kT

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

Picco di Gamow

•  Reazioni di fusione alle temperature stellari sono possibili solo grazie

all’attraversamento della barriera Coulombiana per effetto tunnel

•  Lo stesso fattore di Gamow che entra nel decadimento α:

•  La sezione d’urto effettiva:

•  La probabilità di interazione λ per un protone di energia E è data da:

–  n_p=densità di protoni

•  Il tasso di interazioni per unità di volume ad una certa energia:

G = 2m_p

!²E e² 4πε_o ^f

2R_p b

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

f x( ) = arccos x − x − x⎡ ²

⎣ ⎤

b = e² ⎦ 4πε_oE

σ(E) = e^−2Gσ₀^(E)

sezione d’urto in assenza di repulsione Coulombiana

λ = vσ(E)n_p = 2E / m_pσ(E)n_p

dn_int

dt (E) = n_p(E) 2E

m_pe^{−2G(E )}σ₀^(E)n_p

Reattività

•  Il tasso di interazione ad una certa energia è dato da:

•  Il tasso totale di interazioni per unità di volume:

–  In generale per diverse specie:

•  Il prodotto ⟨σv⟩ prende il nome di reattività

–  determina il tasso di interazioni

–  dipende dalla temperatura del sistema dn_int

dt (E) = np(E) 2E

m_pe^{−2G(E )}σ₀(E)n_p = n_p n_p(E)

n_p v(E)e^{−2G(E )}σ₀^(E)n_p

dn_int

dt = n²_p dE n_p(E)

n_p v(E)e^{−2G(E )}σ₀^(E)

0 +∞

∫

sezione d’urto × velocità pesata sulla distri-

buzione dell’energia dn_int

dt = n_p² σ v

dn_int

dt = n_Xn_Y σv

Reattività

•  Il processo di fusione nel sole inizia con un in’interazione debole

σ≈10^-44 cm²

–  compensata dall’alta densità –  e volume

•  Processi di fusione artificiale necessitano di avere tassi di maggiori interazione maggiori:

–  processi “forti”

σ≈10^-26 cm²

–  temperature più elevate

Neutrini solari

•  Il sole produce energia sintetizzando elementi pesanti partendo da elementi leggeri mediante un processo di fusione nucleare

–  La reazione di partenza è la produzione di deuterio partendo da nuclei di idrogeno

•  La rivelazione del neutrino avviene con un processo analogo a quello utilizzato per l’antineutrino

•  La prima rivelazione del neutino solare fu fatta da R. Davis negli anni

’60 utilizzando un metodo radiochimico

–  L’interazione utilizzata era

–  Il nucleo di ³⁷Ar è radioattivo e decade con un tempo di dimezzamento di circa 35 giorni. Il positrone ha un’energia massima di circa 800 keV

p + p → d + e⁺ +ν_e

ν_e + n → p + e⁻

ν_e + ³⁷Cl → ³⁷Ar + e⁻

37 37 +

Fusione nel sole

Neutrini solari

ν_e +³⁷Cl →³⁷Ar + e⁻ ν_e +⁷¹Ga → ⁷¹Ge + e⁻

ν_e+ e⁻→ν_e+ e⁻

Neutrini solari

•  Il rivelatore consisteva in un eneorme serbatoio riempito di

tetracloroetilene e alloggiato nella miniera d’oro di Homestake in South Dakota

–  I pochi atomi di ³⁷Ar prodotti ogni giorno venivano estratti con un procedimento chimico-fisico e introdotti in un rivelatore a gas

–  Il rivelatore veniva fatto funzionare in un ambiente a bassa attività naturale

ESERCIZI

Esercizio 10.1

Stimare il flusso di neutrini solari sulla terra sapendo che vengono prodotti 2 neutrini per un ciclo 4

H →

He

liberando 26 MeV di energia.

•  trovare i dati mancanti sul PDG

Esercizio 10.2

Le reazioni nucleari avvengono nella parte centrale del Sole:

–  R<0.2 R_☉

•  +In tale regione è contenuta circa 1/3 delle massa solare M_☉

•  Assumendo il Sole composto al 100% di ¹H, dare una stima della reattività:

–  ⟨σv⟩

–  per il processo

1H+¹H→²H+e⁺+ν