Capitolo Quarto

Capitolo Quarto

Metodi di confronto fra progetti alternativi

4.1

Il problema della scelta fra alternative progettuali

L'applicazione delle tecniche decisionali alla pianificazione ed alla progettazione dei sistemi di trasporto implica alcune considerazioni sul come queste tecniche contribuiscano al processo decisionale.

In generale le alternative progettuali con le quali è possibile dare risposta agli obiettivi che ci si propone di raggiungere sono diverse, caratterizzate da costi monetari diversi e contemporaneamente da effetti diversi relativamente ai singoli obiettivi. In casi quali quelli che coinvolgono problematiche del territorio, dei trasporti e dell'ambiente, per di più caratterizzati da un contesto di riferimento complesso per via della fitta rete di relazioni che collegano le componenti del sistema sotto osservazione (relazioni interne) e le relazioni di questo con gli altri sistemi con cui si interconnette (relazioni esterne), si opera in presenza di un soggetto decisionale portatore di una pluralità di interessi e di criteri di valutazione anche contrastanti, per cui la ricerca della soluzione di progetto da assumere non è, per definizione, quella ottimale che non è raggiungibile, ma quella viceversa, a rendimento mediamente migliore.

È pertanto necessario disporre di una metodologia che, in un modo che sia accettato dalla collettività, permetta di scegliere la migliore fra le alternative proposte.

L'insieme dei criteri attraverso i quali è necessario operare la selezione, il contrasto sia fra i diversi obiettivi da soppesare che all'interno fra componenti antagoniste dello stesso soggetto decisionale,nonché la molteplicità delle categorie sociali in un modo o

nell’altro coinvolte, richiedono al processo di scelta non solo la risoluzione di problemi puramente tecnici ma anche di quelli in cui la componente politica gioca un ruolo importante.

In generale quindi tra un insieme di piani o di progetti sarà preferibile quello che porta ad un conseguimento degli obiettivi considerati rilevanti durante la fase valutativa al maggior livello possibile. Gli obiettivi di cui si parla possono essere esprimibili tanto su scale cardinali quantitative, quanto su scale ordinali qualitative. Tali obiettivi sono spesso conflittuali e contrastanti per cui è necessario che nella fase di valutazione ad ognuno di essi venga attribuito il giusto riconoscimento (peso) al fine di permettere uno sviluppo equilibrato del sistema.

In generale si possono distinguere due grosse categorie di modelli di decisione: quelli appartenenti alla Programmazione monobiettivo e quelli appartenenti alla Programmazione multiobiettivo. Alla prima categoria appartengono quei modelli che trattano essenzialmente le Analisi Costi/Benefici (A.C.B.) e che portano a privilegiare, per loro stessa natura, quei progetti che comportano significativi contributi economici o che, ad esempio, sono sottoposti ad una preventiva verifica circa la remuneratività del capitale privato investito; alla seconda categoria appartengono, viceversa, gli algoritmi delle Analisi Multicriteria (A.M.C.).

4.2

L’Analisi Costi-Benefici

Tra le tecniche monobiettivo la più nota è l'Analisi Costi-Benefici (ACB), derivata dalla teoria dell'impresa. L'A.B.C, che è una tecnica di tipo economico finanziario, si basa su un unico criterio di valutazione, ad esempio la massimizzazione dei benefici sociali o, equivalentemente del rapporto benefici-costi.

I passi logici che bisogna seguire in un qualunque problema di ACB si possono così schematizzare:

• Individuazione degli effetti (costi e benefici)

• Stima degli effetti in unità fisiche e quindi loro monetizzazione • Distribuzione temporale degli effetti

• Definizione dei criteri decisionali

Il passo più critico, quello su cui l’ACB spesso evidenzia dei limiti, è il secondo, cioè quello della monetizzazione.

Si tratta in pratica di definire e misurare i costi e i benefici sociali associati a progetti alternativi di intervento, al fine di valutarne la convenienza e contribuire alla scelta del progetto ritenuto più vantaggioso secondo criteri resi espliciti.

La tecnica utilizza esclusivamente elementi quantifìcabili, espressi attraverso un parametro omogeneo e, perciò, presuppone che tali elementi siano traducibili in termini quantitativi. Qualora le grandezze in gioco siano di natura qualitativa (ad esempio tutte quelle che hanno attinenza con la qualità della vita: la sicurezza, il comfort, il benessere psicofisico, l'ambiente) l'ACB richiede che sia perfettamente nota la funzione di utilità che esse esprimono, che consente di monetizzarle e di renderle confrontabili con le grandezze quantitative.

Costi e benefici vengono definiti in rapporto al soddisfacimento dei desideri o delle preferenze. In termini generali qualsiasi cosa soddisfi un desiderio è detto beneficio. Al contrario, qualsiasi cosa venga sottratta a un desiderio costituisce un costo. Nel caso specifico si può dire che tutto ciò che aumenta il benessere rappresenta un beneficio, mentre tutto ciò che lo riduce rappresenta un costo. Sono benefici diretti quelli che toccano direttamente gli utenti, persone singole o aziende che siano, sono benefici indiretti quelli che toccano i membri della comunità in generale, indipendentemente dall’uso che essi fanno dell’attrezzatura o del servizio. Per rilevare l’aumento o la diminuzione del benessere devono, pertanto, essere studiate le preferenze degli individui. L’obiettivo dell’analisi costi-benefici è di individuare i progetti che massimizzano il benessere collettivo. Fra diversi progetti alternativi essa sceglie quello che massimizza il beneficio netto complessivo, ricavato come differenza tra i benefici ed i costi compresi quelli sociali.

L’ACB si presta ad una serie di critiche, sia per la struttura teorica del metodo, che contingenti delle problematiche che essa studia. Tali limiti riguardano in particolare: • la difficoltà di calcolare l'entità dei benefici diretti e indiretti che attengono le sfere o aree di meta relative alla salvaguardia ambientale e del patrimonio storico-culturale, al miglioramento del comfort e della sicurezza, al risparmio energetico, ed altre ancora;

• l'approssimazione e l'arbitrarietà di talune valutazioni sui costi, legate a fattori imponderabili, ancorché misurabili quantitativamente, quali i danni prodotti dall'inquinamento e gli effetti ad esso connessi;

• l'impossibilità di tenere conto della distribuzione dei benefici tra le diverse componenti della società a seguito di un intervento sul sistema e, quindi, delle istanze (spesso conflittuali) che provengono dai diversi gruppi sociali interessati.

Infine dal momento che nella realizzazione di un progetto si producono costi e benefici anche nel futuro, per renderli comparabili con quelli attuali è necessario ricorrere alla pratica dell’attualizzazione. Scegliere il tasso di sconto più appropriato è però molto problematico. Sarebbe necessario utilizzare tassi sociali di sconto diversi in funzione del tipo di opera o del reddito di chi subisce gli effetti della stessa.. Il modo di procedere più comune è di fissare il tasso di sconto tramite precise scelte politiche: generalmente esso varia tra il 5 e l’8 %. E’ importante sottolineare che lo sconto può condizionare radicalmente la decisione definitiva di accettare o rifiutare un progetto o può modificare la graduatoria tra progetti alternativi. La determinazione del tasso di sconto è pertanto fortemente soggettiva in quanto dipende dai portatori di interesse. Si capisce pertanto come l'ACB risulta tutt'altro che quel metodo contabile asettico e oggettivo che si vorrebbe.

Tali limiti si evidenziano, soprattutto laddove debbano essere monetizzati costi e benefici intrinsecamente imponderabili, quali quelli legati al benessere sociale, alla qualità della vita ed ai valori ambientali.E’ infatti proprio la necessità di monetizzare che rende talvolta l’ACB un metodo di valutazione soggettivo e criticabile. Come detto una stima monetaria degli effetti intangibili è spesso impossibile o arbitraria. Un metodo per risolvere questo problema è di affiancare all’analisi quantitativa dei costi e dei benefici un’analisi qualitativa degli elementi intangibili in modo tale che il decisore politico possa considerarli in modo adeguato. Quando si operi in questo senso, si sta però già uscendo dall’ambito della pura ACB, con tutti gli svantaggi che questo comporta, ovvero la perdita di una scala monetaria unica per valutare costi e benefici sociali, il solo e unico vero scopo dell'ACB.

D'altra parte gli obiettivi concernenti la pianificazione di un sistema territoriale sono fortemente eterogenei; sono cioè di tipo sociale, politico, culturale, ambientale, oltreché

economico. Essi non sono esprimibili in genere attraverso una stessa unità di misura; a ciò si somma il fatto che i diversi gruppi sociali assegnano priorità diverse a tali obiettivi (cioè diversi pesi). Pertanto non è spesso corretto escludere dal processo decisionale elementi molto frequentemente determinanti ai fini della scelta, solamente per il fatto che la tecnica adottata non è in grado di tenerne conto.

Tutto ciò rende problematica l'individuazione delle misure più adatte a descrivere l'impatto delle varie alternative sui singoli obiettivi e i maggiori problemi si hanno al momento del confronto e della scelta tra le diverse azioni alternative. Sarebbe infatti arbitrario sommare effetti ottenuti da ciascuna alternativa sui singoli obiettivi, eventualmente ponderati fra loro in modo differente.

A fronte di una relativa semplicità di computo, la tecnica in oggetto presenta anche difficoltà nel reperimento e trattamento dei dati d'ingresso, principalmente nel caso in cui essi si riferiscano a problematiche complesse che implicano benessere ed equità sociale.

Per tale motivo l'utilizzo di A.B.C, nella valutazione di strategie di sviluppo di sistemi complessi, quali quelli che interessano il territorio e i trasporti, non consente di selezionare la soluzione di miglior compromesso attraverso la "contemporanea" comparazione dei rendimenti nei confronti di più funzioni obiettivo.

Queste problematiche sono così intrinsecamente legate alla Analisi Costi-Benefici che erano già evidenti una trentina di anni fa quando, sull'onda dell'entusiasmo, si applicava questa metodologia nella sincera speranza di rendere più chiaro e trasparente il processo decisionale.

L'interesse all'impiego di tecniche monobiettivo rimane cionondimeno vivo in progetti per i quali la complessità dell'impatto dell'intervento sull'ambiente di riferimento non è tale da richiedere l'approccio sistemico.

4.3

I metodi dell’Analisi Multicriteria

Nei sistemi complessi i problemi di decisione e di scelta sono "intrinsecamente" multiobiettivo, nel senso che vi interagiscono aspetti tecnici, economici, sociali, politici,

ambientali, contrastanti e non facilmente riconducibili ad una unità di misura omogenea; spesso, nemmeno descrivibili in una qualche scala cardinale. Viene, perciò, naturale optare in questi casi per l'uso di tecniche "isomorfe".

Con le tecniche di analisi multicriteria (A.M.C.), è possibile il confronto e l'ordinamento delle alternative attraverso l'uso di dati di varia natura, comunque combinati (qualitativi e quantitativi, discreti e continui, cardinali, nominali od ordinali) e riferiti ad obiettivi anche conflittuali e contrastanti.

Nell'Analisi Multicriteria vengono invece presi in considerazione diversi criteri simultaneamente. In generale, sulla base di tale analisi, non esiste generalmente un'azione che sia migliore di tutte le altre, in relazione a tutti i criteri considerati.

La moderna metodologia di analisi multicriteria, lungi dal fornire "verità rivelate" al decisore, lo supporta nell'attività decisionale, tracciandogli una via che gli consenta di raggiungere le proprie determinazioni in maniera sistematicamente coerente rispetto a suoi obiettivi e ai suoi valori, dandogli il modo di manipolare la massa dei dati a disposizione, malgrado la loro complessità.

Nell'AMC gli elementi basilari che entrano in gioco sono i seguenti: - i decisori, che sono i soggetti "politici" interessati alla valutazione; - le alternative, ovvero gli oggetti della valutazione e della scelta; - le preferenze;

- i criteri, ovvero gli elementi di giudizio che concorrono alla formazione della valutazione delle alternative.

L'analisi multicriteria utilizza una serie di metodi e concetti che derivano da diverse teorie e metodologie scientifiche. Un tale insieme di metodi permette di aggregare i diversi criteri di valutazione con lo scopo di selezionare una o più "azioni". Ma i singoli metodi possono essere diversissimi tra loro in funzione del background teorico al quale si ricollegano. In effetti, l'eterogeneità dei metodi si presta alla risoluzione dei più svariati problemi, e tale eterogeneità corrisponde ed è funzionale alla stessa eterogeneità delle multiformi problematiche riscontrabili nella realtà.

Nell'uso delle varie tecniche multicriteria è importante, da un lato definire i termini "operativi" degli obiettivi,i quali vengono definiti punti di vista, e dall'altro assegnare a

ciascuno di essi un peso numerico che ne esprima l'importanza fornita da ogni soggetto decisionale.

Per la prima condizione è necessario che le finalità specifiche siano espresse in forma tale che il progresso nella loro direzione, o l'allontanamento da esse, sia misurabile in termini di opportune unità di misura; la seconda condizione esige, viceversa, che siano individuate le diverse istanze della collettività. Ciò può farsi sulla base dell'analisi dell'ambiente di riferimento e del contesto decisionale.

Se in teoria non vi sono dubbi sull'opportunità d'uso di metodi multicriteri nella scelta degli investimenti per progetti a carattere sistemico, di fatto la validità delle tecniche A.M.C. è limitata da due ordini di problemi. In primo luogo, la necessità di dover misurare valori talvolta non quantificabili, che richiedono giudizi qualitativi al fine di identificare unità di misura appropriate. Di qui l'importanza della identificazione e dell'uso di scale opportune, nonché degli obiettivi a fronte dei quali devono essere misurati gli effetti di ogni alternativa; in secondo luogo, la pesatura dei vari obiettivi che deve essere la più "oggettiva" possibile, cioè quella che meglio riproduca le preferenze dei soggetti decisionali.

Le informazioni disponibili sono variegate ed approssimate, per cui, ancorché espresse in termini quantitativi, hanno un significato prevalentemente qualitativo. La possibilità di trattare le informazioni di questo tipo consente di tener conto di dati che potrebbero risultare decisivi ai fini dell'ordinamento delle alternative.

L'A.M.C. si concretizza nella costruzione di una matrice, le cui righe sono relative alle diverse alternative progettuali mentre le colonne si riferiscono ai diversi criteri di giudizio definiti in relazione alle diverse finalità fissate dal decisore.

L' elemento generico della matrice, aij relativo all' i-esima alternativa progettuale ed al

j-esimo criterio, è costituito dalla "misura della rispondenza dell'alternativa a quel criterio", ossia dalla misura dell'effetto che quell'alternativa offre nei confronti dell’obiettivo, il cui criterio di valutazione rappresenta lo strumento interpretativo.

La misura della rispondenza dell'alternativa al criterio può essere quantitativa o qualitativa, di tipo cardinale, ordinale o, addirittura, soltanto nominale.

In una stessa matrice degli effetti possono essere contemporaneamente presenti misure di rispondenza cardinali, ordinali e nominali, qualitative e quantitative. In tal modo non si è obbligati a ricondurre le valutazioni ad una unità di misura omogenea.

La costruzione della matrice degli effetti è la fase di stima della misura con cui ogni alternativa contribuisce al perseguimento degli obiettivi.

La matrice degli effetti ha una struttura del tipo:

A1 A2 … Aj … Am X1

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

dove: Xi rappresenta la i-esima alternativa; Aj rappresenta il j-esimo punto di vista

rispetto al quale vengono misurati gli effetti delle alternative; zij rappresenta la misura

dell'effetto riferito all'alternativa i-esima per il j-esimo punto di vista.

Una volta costruita la matrice esitono numerose tecniche per giungere ad un giudizio sintetico di valutazione; nel seguito si presenteranno i metodi che sono stati utilizzati per lo studio oggetto di questa tesi.

4.3.1 I metodi AHP (Analytic Hierarchy Process)

Il punto di partenza delle procedure basate sulla teoria denominata Analytic Hierarchy Process è la disposizione su livelli gerarchici diversi dei vari elementi che intervengono

nel processo decisionale, poiché è essenziale per la decisione la conoscenza delle relazioni esistenti fra ciascun livello e quello superiore della gerarchla. Per esempio, in un problema di scelta fra progetti alternativi nel campo dei trasporti possono configurarsi tre livelli gerarchici: al livello più basso stanno i progetti, ad un livello superiore i punti di vista in base ai quali i progetti debbono essere valutati, ad un livello ancora superiore l'obiettivo finale da raggiungere. Per procedere alla scelta è necessario conoscere le azioni dei progetti con riferimento a ciascun punto, di vista, e l'importanza dei vari punti di vista nei riguardi dell'obiettivo finale.

Si consideri un processo decisionale e si suddivida l'insieme degli elementi di tale processo in z sottoinsiemi disposti in una sequenza ordinata, che chiamiamo livelli, in modo da dar luogo ad una struttura gerarchica del processo. Il livello 1 ha un solo elemento, nr è il numero di elementi del livello r, yri (è l'elemento che occupa la

posizione i nel livello r. Sia ir

k j

a,_, un numero che misura l'importanza relativa degli elementi yr_j+1 e y_kr+1 del

livello r + 1 nei confronti dell'elemento yri del livello r. La AHP suppone che:

r i k j r i j k a a,_, =1/ ,_, ai_j,_,r_k⋅a_ki,_,r_h =ai_j,_,r_h (1) Il valore ir k j

a,_, è l'elemento j,k di una matrice Bir (nr+l · nr+l) in cui gli elementi della

diagonale principale sono uguali a 1, e gli elementi simmetrici sono l'uno l'inverso dell'altro. Una matrice che soddisfa questa proprietà si dice reciproca; poiché in Bir è

verificata anche la seconda delle (1), essa è detta consistente.

Bir ha rango 1 e ha ha pertanto un unico autovalore λ diverso da zero, uguale alla r_i

traccia n r+1 della matrice, il cui corrispondente autovettore chiamiamo w_ir.

Si verifica immediatamente che, come conseguenza delle (1), gli elementi ir k j

a,_, di Bir

possono essere espressi come rapporti fra gli elementi delle coppie estratte da un insieme di nr+1 numeri ir ir _nir r , , 2 , 1 ,γ ,...,γ ₊₁ γ :

r i k r i j r i k j a _, , , , _γ γ = j,k = 1,2,.., n r+1 Detto ir i , γ il vettore di componenti ir n r i r i r , , 2 , 1 ,γ ,...,γ ₊₁ γ , si ha: r i i r r i i r i n B γ , = ₊₁γ , e poiché ir i ,

γ = n r+1, si deduce che γ_ii,r coincide con l’autovettore w_ir di Bir .

Poiché le componenti di r

i

w sono definite a meno di una costante moltiplicativa,

assumiamo che la somma delle componenti di r

i

w sia uguale a 1, ed interpretiamo tali

componenti come misure normalizzate della importanza (che d'ora in avanti chiamiamo pesi) degli elementi del livello r +1 della gerarchia nei riguardi dell'elemento yri del

livello r. Sia W r

r+1 (nr+1 · nr ) la matrice le cui colonne sono i vettori wir, i = 1,2,...,nr e sia wir−1

l'autovettore normalizzato della matrice Bir-1, le cui componenti sono i pesi degli

elementi del livello r della gerarchia nei confronti dell'elemento yr-1

i del livello r-1.

Detto r_,−1₊₁ r i

w il prodotto della matrice W rr+1 per il vettore wir−1 si ha:

1 1 , 1 1 − −+ + ⋅ = irr r i r r w w W

l’AHP assume che le componenti di r_,−1₊₁ r i

w , la cui somma è uguale a 1, siano i pesi

normalizzati degli elementi del livello r +1 della gerarchia nei confronti dell'elemento yr-1i del livello r -1.

Analogamente, detta r₊−₁1 r

W la matrice le cui componenti sono i vettori w_ir_,−_r1₊₁, i = 1, 2,…,r-1, e r−2

i

w il vettore normalizzato dei pesi degli elementi del livello r-1 rispetto

agli elementi yr-2

i del livello r-2, il prodotto +−11⋅ ir−2 r

r w

dei pesi degli elementi del livello r+1 nei riguardi dell'elemento yr-2

i del livello

r-2.

In questo modo, attribuendo una misura quantitativa alla importanza relativa di ciascuna coppia di elementi in un livello r +1 riguardo a ciascun elemento del livello superiore r, si ricava la scala normalizzata dei pesi degli elementi di un livello nei confronti di un qualsiasi elemento di un livello superiore. In particolare si ottiene la scala normalizzata dei pesi degli elementi del livello z (i progetti alternativi) nei confronti dell'unico elemento del livello 1 (l'obiettivo finale).

Nell'assegnare un valore numerico alla importanza relativa di una coppia di elementi, dobbiamo considerare che gli attributi degli elementi possono essere tangibili, cioè possono essere ricavati mediante il calcolo, o intangibili, suscettibili cioè soltanto di valutazioni qualitative, e perciò soggettive.

Quindi se si considera il problema della scelta fra progetti alternativi, gli attributi dei progetti sono le azioni da essi prodotte relativamente ai diversi punti di vista.

Quando gli attributi sono tangibili, il modo migliore per ricavare l'importanza relativa di due elementi, r+1

j

y , y_kr+1 , espressa da ai_j,_,r_knella matrice Bir, è di considerare il rapporto

dei loro attributi. Siano i,r+1

j

e , e_ki,r+1rispettivamente gli attributi di yr_j+1e y_kr+1 nei confronti di yir : se la

condizione i,r+1

j

e > e_ki,r+1 significa che yr_j+1 è più importante di y_kr+1, diciamo che gli attributi sono favorevoli, e poniamo ,_, = , +1/ i,r+1

k r i j r i k j e e a ; in caso contrario, se ei_j,r+1> 1 ,r+ i k

e significa che yr_j+1 è meno importante di y_kr+1, diciamo che gli attributi sono

sfavorevoli, e poniamo ,_, = , +1/ i,r+1 j r i k r i k j e e a .

Quando invece gli attributi sono intangibili, l’attribuzione di un valore numerico al giudizio qualitativo circa l'importanza relativa di due elementi viene eseguita utilizzando una scala opportuna, la quale fornisce i valori numerici corrispondenti a giudizi qualitativi diversi.

γ

/ γ

1 Importanza uguale L'importanza dei due elementi è praticamente la stessa

3 Importanza moderatamente maggiore

L'importanza di un elemento appare alquanto superiore a quella dell'altro

5 Importanza maggiore L'importanza di un elemento appare senz'altro superiore a quella dell'altro

7 Importanza molto maggiore L'importanza di un elemento è decisamente superiore a quella dell'altro

9 Importanza estremamente più grande

L'importanza di un elemento è senza dubbio nettamente maggiore di quella dell'altro 2,4,6,8 Valori intermedi fra due

giudizi alternativi Quando un compromesso risulta necessario

Tab. 4.1. Scala del confronto fra una coppia di elementi

Quando gli attributi sono tangibili, entrambe le proprietà (1) della matrice Bir sono

soddisfatte, ed è facile verificare che:

∑

e k = l,....,nr+1 sono favorevoli, mentre se gli attributi sono

sfavorevoli si ha:

∑

Quando gli attributi sono intangibili, non è un problema imporre la conformità con la prima delle (1) (cioè la condizione di reciprocità), mentre è più difficile assicurare la

soddisfazione della seconda condizione (cioè la consistenza). In questo caso, se λmax è

l'autovalore principale della matrice Bir e nr+1 è il suo ordine,

si definisce l’indice di consistenza CI di Bir :

1 1 1 max − − = + + r r n n CI λ

il quale rappresenta il valore medio degli autovalori di Bir eccetto λmax , che dovrebbero

essere uguali a zero se la matrice fosse consistente. Si definisce inoltre il rapporto di consistenza CR = CI / ACI, dove ACI è il valore medio di CI per una matrice random di ordine nr+1.

Qui di seguito sono riportati i valori di ACI per diversi nr+1, calcolati da Donegan e

Dodd:

nr+1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ACI 0.000 0.4887 0.8045 1.0591 1.1797 1.2519 1.3171 1.3733 1.4055

Come regola pratica si può accettare la consistenza di Bir se CR < 0.1, ed in questo caso

l'autovettore principale di Bir fornisce una buona stima dei pesi ijr

,

γ , y = l,....,nr+1.

Da quanto si è detto appare chiaro che una ipotesi fondamentale della teoria AHP è che il peso di un elemento r+1

j

y del livello r + 1 rispetto ad un elemento yr_j−1 del livello r-1 è dato dalla combinazione lineare dei pesi di r+1

j

y rispetto agli elementi del livello r, i cui coefficienti sono i pesi di questi elementi rispetto a r−1

j

y , e che questi pesi sono

indipendenti dagli attributi degli elementi del livello r +1. Quindi, quando consideriamo il problema della scelta fra progetti alternativi di trasporto, la teoria AHP suppone che il peso di un progetto xj riguardo all'obiettivo finale è dato dalla combinazione lineare dei

vista rispetto all'obiettivo finale. L’ipotesi di indipendenza dei pesi dei punti di vista dagli attributi dei progetti è tuttavia non realistica. Sia infatti i

j

γ il peso normalizzato del progetto x j : riguardo al punto di vista i, e sia γ il peso normalizzato del punto di 1i

vista i rispetto all'obiettivo finale. Se n è il numero dei punti di vista, il peso normalizzato γ1_j del progetto x j rispetto all'obiettivo finale è:

∑

γ del progetto x j può essere interpretato come una misura dell'utilità sociale

del progetto in una scala in cui la somma delle utilità di tutti i progetti è uguale a uno. Quindi ciascun coefficiente della (2) è l'utilità sociale di un valore unitario di i

j

γ ; poiché questo valore unitario è una misura, nella scala dei pesi dei progetti, della somma degli attributi di tutti i progetti relativi al punto di vista i (se gli attributi sono favorevoli) o degli inversi degli attributi (se sono sfavorevoli), si deduce che i pesi dei punti di vista dipendono fortemente dagli attributi dei progetti.

L'ipotesi di indipendenza introduce incertezza nel processo di stima dei pesi dei punti di vista, poiché nel valutare questi pesi il decisore non considera gli attributi dei progetti, ma è influenzato dal suo stato emotivo e dalle esperienze precedenti, i quali variano casualmente da una persona all'altra. Questa incertezza è inevitabile quando gli attributi dei progetti sono intangibili, ma quando essi sono tangibili l'incertezza può essere drasticamente ridotta utilizzando una variante dei tradizionali metodi AHP, la quale tiene conto esplicitamente della dipendenza dei pesi dei punti di vista dagli attributi dei progetti.

4.3.2 Una variante dei tradizionali metodi AHP

Sia A = {xl ,...,xm} l'insieme di m progetti alternativi di trasporto, e sia n il numero di

punti di vista in base ai quali i progetti debbono essere valutati, il quale è uguale al numero di azioni che ciascun progetto produce.

Sia e_j(x_i) l'azione del progetto x j relativa al punto di vista j; supponiamo che gli

attributi dei progetti siano tangibili, per cui i valori delle azioni possono essere ricavati mediante il calcolo.

Considerando che l'obiettivo finale del processo di scelta è l'utilità sociale, assumiamo che l'utilità che deriva dall'azione di un progetto è indipendente dalle altre azioni dello stesso progetto, e che l'utilità complessiva del progetto è la somma delle utilità derivanti da tutte le sue azioni.

L'utilità U j di una azione e relativa ad un punto di vista j può essere positiva o j

negativa. Tuttavia in ogni caso la derivata d|Uj| / de j del valore assoluto di U j rispetto

a e j (cioè il valore assoluto dell'utilità marginale) è una funzione decrescente di e j .

Se per esempio e j è il costo di realizzazione di un progetto, l'incremento di utilità

derivante da una riduzione di e j uguale a € 50.000 è molto maggiore se e j = € 500.000

che se e j = € 5.000.000.

Ciò deriva dal fatto che i progetti poco costosi sono molto più numerosi di quelli costosi, per cui il guadagno complessivo che la società riceve da una riduzione di € 50.000 in progetti poco co tosi è molto maggiore di quello risultante da una stessa riduzione in progetti molto costosi. Lo stesso accade se si considera l'incremento di utilità dovuto ad una data riduzione dei tempi di viaggio in un progetto di piccola entità localizzato in una piccola rete di trasporto, in cui il tempo totale di viaggio è abbastanza modesto, posto a confronto con quella derivante dalla stessa riduzione in un grosso progetto in una rete di grandi dimensioni, caratterizzata da un elevato valore del tempo totale di viaggio.

Se aj e bj sono il minimo e il massimo valore dell’ azione e in tutti i progetti, è j

possibile approssimare Uj come funzione lineare di e nell'intervallo Δ j =[ a_j j , bj ]

(fig.4.5): )U_j(e_j(x_i))=α_j +β_je_j(x_i dove β_j è il rapporto fra la differenza )

( )

( _{j j j}

j b U a

U − e l'ampiezza b_j − dell'intervallo, ed è funzione dell'ascissa centrale a_j dell'intervallo.

)) ( ( _{j i} j e x U ) ( _j j b U ) ( _j j a U a j b j e j

Come si è detto precedentemente, l'utilità sociale U(x_i) di un progetto x i è data dalla

somma delle utilità derivanti da tutte le sue azioni:

)) ( ( ) ( 1 i j j j n j i e x x U =

∑

Per conoscere le priorità relative di due progetti x i e x k noi siamo interessati a calcolare

la differenza: )) ( ) ( ( ) ( ) ( 1 j i j k n j j k i ik U x U x e x e x U = − = − Δ

∑

fra le utilità relative ai due progetti: se ΔUik > 0 la priorità del progetto x i è superiore a

quella di x k , è invece inferiore se ΔUik < 0. I coefficienti βj nella (3) possono essere

positivi o negativi, e in ogni caso dipendono dalla scala di misura delle azioni e . Allo _j scopo di semplificare la stima dei coefficienti della funzione di utilità è conveniente utilizzare una scala per le azioni e la cui unità di misura è l'intervallo Δ j, tale che i _j

termini della funzione di utilità siano tutti positivi, mentre la differenza fra le utilità di due progetti resta uguale al valore ΔUik dato dalla (4).

La differenza ΔUik non varia se sottraiamo un termine costante ad ambo i termini di

ciascuna coppia e_j(x_i), )e_j(x_k a secondo membro della (4). Poniamo quindi:

0 se ) ( min ) ( ) ( = − > ∀h j h j i j i j x e x e x β ν 0 se ) ( max ) ( ) ( = − < ∀h j h j i j i j x e x e x β ν

E’ evidente che:

)] ( ) ( [( )] ( ) ( [( 1 1 j i j k n j j k j i j n j j ik e x e x x x U = β − = β ν −ν Δ

∑

∑

D’altra parte moltiplicando e dividendo il j-esimo termine della sommatoria a secondo membro della (5) per la quantità:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ± = Δ (max ( ) min _j( _h) h h j h j e x e x ν

col segno + se β_j >0, - se β_j <0, e ponendo:

j i j i j x x g ν ν Δ = ( ) ) ( e γ_j =β_jΔν_j ∀x_i∈A, j=1,2,...,n dalla (5) si ha: )] ( ) ( [( ) ( ) ( 1 k j i j n j j k i ik S x S x g x g x U = − = − Δ

∑

) ( ) ( 1 x g x S _j n j j

∑

è la nuova espressione della funzione di utilità, dove i termini della sommatoria sono tutti positivi, e che mantiene inalterata la differenza di utilità fra i progetti. Le g_j(x_i) sono funzioni lineari delle azioni dei progetti, misurate in una scala in cui g_j(x_i) = 0 se

i

x è il peggiore fra i progetti dell'insieme A rispetto al punto di vista j e g_j(x_i) = 1 se

i

x è il migliore. D'altra parte g_j(x_i) > g_j(x_k) implica che il progetto x i è migliore di

xk rispetto al punto di vista j. Quindi, usando la stessa terminologia impiegata dai

metodi della Concordance Analysis, denominiamo la funzione g_j(x_i) criterio relativo al punto di vista j.

Il coefficiente γ_j misura l'aumento di utilità sociale derivante da un incremento unitario del criterio g , mentre _j γ_i / γ_j è il rapporto fra gli aumenti di utilità dovuti ad incrementi unitari di entrambi i criteri g i e g j . Un incremento unitario di g j , misura,

nella scala dei criteri, la differenza b_j− fra il massimo e il minimo valore dell'azione a_j e j prodotta dai progetti dell'insieme A. Pertanto γ_i / γ _j è il rapporto fra i valori assoluti

della variazione di utilità dovuta alla massima differenza fra le azioni dei progetti dell'insieme A relative al punto di vista i, e l'analoga variazione di utilità corrispondente alle azioni relative al punto di vista j .

I rapporti γ_i / γ_j debbono essere valutati dal decisore, il quale deve tener presente che i coefficienti γ _j sono funzioni decrescenti dell'ascissa del punto centrale dell'intervallo

] ,

[b_j a_j , la quale è data dal rapporto (a_j+b_j)/[2(b_j −a_j)] nella scala in cui l'unità di misura è Δ . _j

Il risultato del confronto è un giudizio qualitativo, il quale viene trasformato in valore numerico del rapporto γ_i / γ_j utilizzando una scala di conversione, per esempio quella riportata nella Tab. 4.1.

Quindi, paragonando le utilità corrispondenti alle massime differenze fra le azioni relative ai vari punti di vista, si costruisce una matrice B di confronto fra i punti di vista rispetto all'obiettivo finale, analoga a quella utilizzata dai metodi AHP.

Le componenti normalizzate dell’autovettore principale γ~ di B rappresentano le stime da parte del decisore, dei coefficienti normalizzati della (6), e al tempo stesso i pesi dei punti di vista rispetto all'obiettivo finale.

Sia gˆ il vettore le cui componenti sono i valori _j g_j(x_i) ∀x_i∈A del criterio g _j corrispondenti ai progetti dell'insieme A, e sia G la matrice (m · n) le cui colonne sono i vettori gˆ , j = l,2,...,n. Le componenti normalizzate del vettore w = G · _j γ~ sono i valori normalizzati assunti dalla funzione S della (6) per i vari progetti alternativi, e al tempo stesso i pesi di questi ultimi rispetto all'obiettivo finale, cioè le loro priorità.

I metodi AHP richiedono il calcolo dell'autovalore principale e del corrispondente autovettore normalizzato di una matrice B (n · n).

Quando l'autovalore principale è nettamente prevalente sugli altri autovalori di B, come avviene nei metodi AHP, si può efficacemente seguire il seguente procedimento di calcolo.

Detto x un vettore qualsiasi di n componenti (queste possono essere per esempio le somme degli elementi delle righe di B ), esso viene ripetutamente premoltiplicato per la matrice B, dando luogo ad una sequenza di vettori wk :

w1 = B · x, w2 = B · w1 = B2 · x,..., wk = Bk · x

Il procedimento si arresta quando i rapporti fra le componenti corrispondenti di due successivi vettori wk+l e wk sono uguali fra loro a meno di uno scarto di tolleranza. La

media λ di tali rapporti costituisce una buona stima dell'autovalore principale λ_max di B , mentre wk lo è del corrispondente autovettore, il quale viene successivamente

normalizzato dividendo ciascuna componente per la somma delle componenti.

Un altro metodo, più rapido anche se meno preciso, calcola le componenti dell'autovettore principale di B come medie geometriche degli elementi delle righe di B. L'autovettore così ottenuto viene successivamente normalizzato.

Detti w l'autovettore normalizzato e y = B·w, indicando con zi = yi / wi il rapporto fra

le i-esime componenti di y e di w, si ha che

∑

= n i i n z 1

/ costituisce una buona stima