CAPITOLO 6CAPITOLO 6CAPITOLO 6CAPITOLO 6 Micromeccanica della LaminaMicromeccanica della LaminaMicromeccanica della LaminaMicromeccanica della Lamina

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CAPITOLO 6

Micromeccanica della Lamina

6.1 Generalità sulla Micromeccanica

Lo studio dei compositi nella loro generalità si avvale della cosiddetta “micromeccanica”. Con tale termine s’intende lo studio dei materiali compositi eseguito tenendo conto delle interazioni tra i materiali costituenti. La micromeccanica consente in particolare di rappresentare un composito (materiale eterogeneo) mediante un materiale omogeneo equivalente del quale consente di stimare le principali grandezze ingegneristiche a partire da quelle dei singoli costituenti. La possibilità di stimare le caratteristiche del composito mediante semplici relazioni teoriche è ovviamente di grande interesse nella progettazione strutturale in quanto, a differenza di quanto accade nella progettazione con materiali tradizionali, con i materiali compositi, il progettista oltre a definire geometria e dimensioni del pezzo in progetto può anche progettare il materiale da utilizzare.

In questa trattazione è necessario focalizzare l’attenzione sui compositi a fibra corta (lunghezza compresa tra 1 e 8 Cm); come però sarà possibile capire meglio nel seguito, i compositi a fibra corta sotto certe ipotesi fisiche (diametro e lunghezza delle fibre) si comportano come i ben più noti compositi a fibra lunga.

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Per questo motivo è opportuna la conoscenza del comportamento meccanico dei laminati e più in particolare la conoscenza del comportamento di una singola lamina con rinforzo unidirezionale.

6.2 Lamina Unidirezionale

Una lamina composita fibra-matrice può essere schematizzata come un insieme costituito da fibre a sezione circolare parallele ed equi-spaziate, immerse in una matrice continua come schematizzato nella seguente figura:

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Quella sopra è evidentemente una semplificazione della situazione reale di una lamina, costituita da una matrice in cui sono disposte delle fibre pressoché parallele e distribuite in modo casuale. La figura successiva mostra per esempio la distribuzione delle fibre in una generica sezione trasversale di una lamina unidirezionale.

Fig. 6.2-Sezione

trasversale di lamina con rinforzo

unidirezionale

Si vede come le fibre non sono esattamente equispaziate, ma hanno una distribuzione random ed alcune di loro possono pure toccarsi in alcuni punti. Con riferimento alla schematizzazione della lamina unidirezionale di Fig. 6.1, s’intuisce facilmente come un tale sistema fibre-matrice esibisce in pratica un comportamento anisotropo in quanto le caratteristiche fisico-meccaniche del materiale variano con la direzione considerata. In particolare si osserva che essa ammette tre piani di simmetria mutuamente ortogonali (materiale ortotropo). Indicando, infatti, con “1” la direzione delle fibre, con “2” la direzione ortogonale giacente sul piano medio della lamina e con “3” la direzione ortogonale al piano della lamina, allora i piani “1-2”, “2-3” e “1-3” sono evidentemente piani di simmetria. Gli assi “1”, “2”e “3” sono i cosiddetti assi del materiale; in

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particolare la direzione “1” è detta direzione longitudinale, le direzioni “2” e”3” direzioni trasversali.

Com’è facile intuire, la lamina presenta in direzione longitudinale (direzione del rinforzo) caratteristiche meccaniche (rigidezza, resistenza ecc) ben superiori a quelle esibite nelle altre direzioni. In una generica direzione ortogonale alla direzione longitudinale, vale a dire in una generica direzione giacente nel piano della sezione trasversale (Fig. 6.2) tali caratteristiche trasversali sono inoltre in pratica invarianti con la direzione considerata; per questo motivo la lamina è considerata trasversalmente isotropa.

In dettaglio (dimostrato nel capitolo N°5) il comportamento elastico di una lamina ortotropa e trasversalmente isotropa è definito completamente da 5 costanti elastiche quali il modulo di Young in direzione longitudinale E1 e

trasversale E2, il modulo d’elasticità trasversale nel piano della lamina G12, il

coefficiente di Poisson ν12 ed il coefficiente di Poisson nel piano trasversale ν23.

La resistenza meccanica della lamina è invece individuata univocamente da 5 parametri indipendenti quali la resistenza a trazione σL,R e compressione σ’L,R in

direzione longitudinale, la resistenza a trazione σT,R e compressione σ’T,R in una

generica direzione trasversale e la resistenza al taglio nel piano della lamina τLT,R.

Tali caratteristiche fisico-meccaniche della lamina dipendono da una serie di parametri, primo fra i quali il rapporto (volumetrico o ponderale) fibra/matrice, definito solitamente in modo indiretto tramite il rapporto (volumetrico o ponderale) fibra/composito e dal complementare matrice/composito.

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6.3 Proprietà Elastiche della Lamina Unidirezionale

Come già accennato le proprietà fisico-meccaniche di un composito sono legate alle proprietà dei singoli costituenti, alla loro concentrazione ed alle eventuali interazioni chimico-fisiche.

Un’accurata determinazione delle caratteristiche di un composito può essere sempre eseguita per via sperimentale con le usuali prove meccaniche (esistono le norme ASTM per le prove di caratterizzazione dei materiali compositi). In assenza di fenomeni d’interazione tra i costituenti, alcune caratteristiche di un composito, quali per esempio la resistenza e la rigidezza longitudinale, possono essere stimate per via teorica a partire dalle caratteristiche e dalla concentrazione dei costituenti. Ciò risulta evidentemente molto vantaggioso in sede di progettazione in quanto consente di conoscere le caratteristiche del materiale progettato senza dover eseguire preliminari e laboriose indagini sperimentali.

REGOLA DELLE MISCELE:

Per definire questa relazione occorre riferirci ad una lamina unidirezionale: questa può essere schematizzata come un sistema meccanico costituito da fibre cilindriche (o prismatiche) rettilinee, parallele ed equispaziate immerse in una matrice continua.

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Fig. 6.3-Schema di lamina unidirezionale usato per la determinazione delle

caratteristiche longitudinali

Sebbene tale modello differisce dalla reale configurazione della lamina, tali differenze risultano in genere poco influenti sulle caratteristiche longitudinali della lamina cosicché le stime di queste sono in genere in buon accordo con l’evidenza sperimentale.

Con riferimento alla figura sopra, indicando con PC il carico di trazione applicato

alla lamina, per ovvie considerazioni d’equilibrio questo risulta dalla somma del carico Pf sopportato dalle fibre e del carico Pmsopportato dalla matrice, cioè:

f m C P P

P = + (1)

(7)

m m f f CA σ A σ A σ = + (2)

essendo A l’area del composito, Af l’area complessiva della sezione trasversale

delle fibre, Am l’area della matrice. Dividendo entrambi i membri della (2) per A

e tenendo conto che per le ipotesi fatte il rapporto delle aree coincide con la concentrazione in volume dei costituenti, la (2) fornisce:

m m f f C σ V σ V σ = + (3)

Cioè la tensione media σ sulla lamina è la media delle tensioni presenti su fibra C e matrice pesata secondo le rispettive percentuali in volume (REGOLA delle MISCELE).

Nell’usuale ipotesi di perfetta adesione fibra-matrice, vale a dire in assenza di scorrimenti relativi, si ha inoltre che la deformazione delle fibre εf coincide con

quella della matrice εm e quindi con quella del composito εc, cioè si ha:

ε ε ε

εf = m = c = (4)

Derivando pertanto la (3) rispetto alla deformazione, tenendo conto della (4) si ottiene: m m f f c V d d V d d d d ε σ ε σ ε σ + = (5)

(8)

Nell’ipotesi che matrice e fibra abbiano un comportamento elastico lineare, la (4) fornisce: m m f f c E V E V E = + (6)

REGOLA delle MISCELE: tensione media, modulo di Young longitudinale ma anche densità di una lamina unidirezionale sono dati dalla media pesata secondo i volumi di fibra e matrice.

Il modulo d’elasticità longitudinale di una lamina è quindi sempre compreso tra quello della matrice (limite inferiore, Vf =0 e Vm =1) e quello della fibra (limite superiore, Vf =1 e Vm) e cresce linearmente al crescere della percentuale della fibra.

Nell’usuale condizione in cui la rigidezza delle fibre è molto superiore di quella della matrice, il termine della (6) legato alle caratteristiche della fibra prevale sull’altro, ovvero il modulo di Young longitudinale del composito è dello stesso ordine di grandezza di quello delle fibre e molto superiore a quello della matrice. Ovviamente nel caso in cui uno o entrambi i costituenti esibiscono un comportamento non lineare, non potendo per loro definire un modulo di Young, la (6) non è applicabile.

(9)

m m f f f f f W W W V ρ ρ ρ / / / + = m m f f f m m W W W V ρ ρ ρ / / / + = (7)

dove Wf e Wm sono rispettivamente la frazione in peso della fibra e della matrice, mentre ρ e f ρ sono rispettivamente la densità della costituente fibra e del m costituente matrice.

Lo stesso approccio della meccanica dei materiali può essere utilizzato per predire il modulo d’elasticità trasversale della lamina unidirezionale E2=ET.

Fig. 6.4-Schematizzazione direzioni “longitudinali e trasversali”.

Applicare il carico trasversalmente alle fibre fa comportare ugualmente la fibra e la matrice e l’assunzione da fare è che σf =σm. Le corrispondenti deformazioni sono:

f T f σ /E

ε = , εm =σT /Em (8)

(10)

m m f f T V ε V ε ε = + (9)

e sostituendo l’equazione (8), ottengo che:

m T m f T f T V σ /E V σ /E ε = + (10) sostituendo T T T E ε σ = (11)

Nell’equazione (10) e riarrangiando i termini si ottiene che:

(

f

)

m f f m f T V E V E E E E + − = 1 (12)

La forma generale di quest’espressione è in ragionevole accordo con i risultati sperimentali soprattutto per evidenziare la variazione del modulo ET con

f

V (all’aumentare del volume della fibra si ha un incremento del modulo elastico tangenziale della lastra).

(11)

Altre equazioni della stessa forma della (12) sono state proposte, tenendo conto dell’effetto di contrazione di Poisson con la conseguenza di avere un migliore adattamento ai risultati sperimentali per gli stessi valori di Vf.

Cosi, per esempio, l’espressione

m f f f f m T E V V E E E E + − = ) 1 ( (13) dove 2 1 m m m E E ν − = (14)

Le equazioni (12-14) sono valide essenzialmente per elementi strutturali laminati, ma esse introducono ad una conoscenza fisica delle distribuzioni delle tensioni e delle deformazioni attorno alle fibre; conoscenza che è richiesta per poter interpretare la frattura trasversale.

L’ assunzione σf =σm e l’implicita assunzione, che è stata usata per ottenere l’equazione (12), che fra ogni fase la deformazione è uniforme, è irrealistica perché le fibre non possono essere rappresentate semplicemente distese come nella figura sopra.

(12)

Questo può essere dimostrato attraverso la figura successiva, la quale mostra un ideale ordine esagonale delle fibre in un materiale composito soggetto all’applicazione di una deformazione esterna uniforme.

Fig. 6.5-Rappresentazione schematica della deformazione per una lamina

unidirezionale soggetta ad un carico trasversale.

La maggioranza della deformazione nella striscia XX’ è sopportata dalla resina quando vale che Ef >> Em. La deformazione della striscia YY’, la quale passa completamente attraverso la resina, sarà molto uniforme e la deformazione media sarà minore che nella resina della striscia XX’. In altre parole c’è una deformazione amplificata nella resina interposta tra le fibre. La differente deformazione in diverse parti della resina induce uno sforzo addizionale e conseguentemente una distribuzione non uniforme delle tensioni.

(13)

La teoria dell’elasticità e l’analisi agli elementi finiti sono spesso ben utilizzate per predire ET e altri moduli con diverse assunzioni realistiche.

Una semplificazione di alcune di queste soluzioni sono state sviluppate da Halpin & Tsai (1967) e le loro equazioni sono usate per la predizione delle proprietà dei materiali compositi. Le equazioni di Halpin-Tsai sono:

f f m V V P P η ξη − + = 1 1 (15) ) 1 ( ,T f f m f L =ν V +ν −V ν (16) dove: ξ η + − = ) / ( 1 ) / ( m f m f P P P P (17) in cui: P= EL,ET,G12oppureG23

P_f =E_f(perE_LeE_T)oppureG_f(perG₁₂eG₂₃) (18) P_m =E_m(perE_LeE_T)oppureG_m(perG₁₂eG₂₃)

Il parametro ξ dipende da varie caratteristiche della fase di rinforzo, come la forma e le dimensioni delle fibre, la geometria e regolarità della distribuzione

(14)

delle fibre, ma anche dalle condizioni di carico. E’ quindi necessario determinare ξ sperimentalmente attraverso curve di risultati sperimentali (fitting di risultati). Con Gij è indicato il modulo d’elasticità tangenziale del materiale (ovviamente

con i pedici “m” e “f” s’intendono riferiti a rispettivamente alla matrice e alla fibra considerati con proprietà isotrope). Tale modulo nel legame tra scorrimento mutuo e tensione tangenziale ha un ruolo analogo a quello del modulo di Young tra dilatazione lineare e tensione normale. Tali moduli, nelle caratterizzazioni sperimentali dei materiali, possono essere ricavati attraverso delle prove di torsione appositamente dedicate.

L’equazione (16) mostra che, similmente alle altre grandezze “longitudinali”, il coefficiente di poisson νL,T del composito è legato a quelli di fibre e matrice dalla

regola delle miscele. Il valore teorico stimato con la (16) è valido nell’ipotesi che la fibra abbia un comportamento isotropo.

La (16) fornisce in genere valori che presentano scostamenti dai valori rilevati sperimentalmente. Tali scostamenti sono in genere considerati trascurabili per il fatto che piccole variazioni del coefficiente di Poisson non determinano grandi variazioni sulla valutazione dello stato tensionale eseguita in sede di progettazione.

I pedici 1,2,3 si riferiscono alle direzioni principali del materiale. La direzione principale 1 coincide con quella inizialmente definita come longitudinale ovvero nella direzione in cui le fibre sono allineate. La direzione 2 è quella definita come

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trasversale ovvero perpendicolare alle fibre allineate; la 3 invece è perpendicolare alla 1 e 2.

Vediamo adesso di riferirci più in particolare ad un composito a fibra corta. Il modulo d’elasticità longitudinale di un composito a fibre corte parallele può essere determinato per via analitica con approccio simile a quello usato per la determinazione del modulo d’elasticità trasversale ET nei compositi a fibra lunga per la cui stima si è visto può essere usata l’equazione di Halpin-Tsai (relazione di tipo semiempirica).

Fig. 6.6-Modello semplificato di composito a fibre corte (interrotte) parallele.

Le equazioni di Halpin-Tsai possono quindi essere utilizzate anche per il composito a fibre corte parallele usando rispettivamente:

( )

₂ ₄₀ 10 f L V d l E +      = ξ (19)

(16)

( )

₂ ₄₀ 10 f T V E = + ξ (20)

(

)

10 12 1 40Vf G = + ξ (21)

(

)

m G ν ξ 3 4 1 23 − ≅ (22)

Nelle equazioni (19,20,21) il termine a sommare ₄₀ 10

f

V è rilevante soltanto nel caso che la percentuale in volume della fibra nel composito sia superiore al 50%. Nei comuni materiali fibrorinforzati a fibra corta tale percentuale non è mai raggiunta e quindi possiamo elidere tale termine ottenendo così:

( )

EL ≡2(l/d) ξ , ξ

( )

ET ≡2 , ξ

(

G12

)

≡1 (23) Si ottiene in pratica: f L f L m L V V d l E E η η − + = 1 ) / ( 2 1 ) / ( 2 ) / ( 1 ) / ( d l E E E E m f m f L + − = η (24)

(17)

f T f T m T V V E E η η − + = 1 2 1 2 ) / ( 1 ) / ( + − = m f m f T E E E E η (25) f f m V V G G − + = 1 1 ₁₂ 12 η 1 1 12 + − = m f m f G G G G η (26) f f G m V V G G 23 23 23 1 1 η η ξ − + = m G ν ξ 3 4 1 − = G m f m f G G G G ξ η + − = 1 23 (27)

Si osservi come il modulo di Young in direzione trasversale non dipende dal rapporto caratteristico (l/d). Com’è intuitivo, infatti, la distribuzione delle tensioni e delle deformazioni prodotta da un carico applicato in direzione trasversale non varia significativamente con la lunghezza delle fibre. Al contrario invece la distribuzione delle tensioni (e quindi delle deformazioni) prodotta da un carico parallelo alle fibre, varia fortemente col variare del rapporto caratteristico delle fibre (l/d).

Le figure seguenti mostrano l’andamento del modulo di Young trasversale e longitudinale al variare del rapporto caratteristico l/d per due diversi valori del rapporto Ef /Em, esattamente perEf /Em=20 (fibra di vetro resina epossidica) ed

m f E

(18)

(9-12) il modulo di Young trasversale è rappresentato dai valori corrispondenti all’asse delle ordinate (l/d=1).

Fig. 6.7-Modulo elastico EL per compositi a fibre corte parallele con Ef/Em=20

(a) ed Ef/Em=100 (b).

Dalle figure sopra si osserva come in pratica considerando il modulo di Young, un composito a fibre discontinue si comporta come uno a fibre lunghe (modulo elastico indipendente dalla variazione delle dimensioni delle fibre) per l/d≈1000, che per d≈10 µm corrispondono in pratica a circa 1 centimetro.

Un’ultima osservazione va fatta sul coefficiente di Poisson ν21(νL,T) che in

generale risulta più piccolo di ν12 (νL,T). Questo perché ad una deformazione in

direzione longitudinale del composito seguono significative deformazioni trasversali della matrice, mentre ad una stessa deformazione trasversale seguono solo limitate deformazioni longitudinali della matrice essendo queste fortemente impedite dalle più rigide fibre.

(19)

Per questo motivo i coefficienti di Poisson ν12 e ν21 sono indicati sovente nella

letteratura inglese con i termini di major Poisson e minor poisson ratio rispettivamente.

Il coefficiente ν21 non è però una costante elastica indipendente da quelle

precedentemente calcolate, ed il comportamento meccanico di una lamina ortotropa nel piano della lamina è sempre univocamente determinato dalle 4 costanti elastiche E1, E2, G12 e ν12 prima definite. Il coefficiente ν21 è infatti

legato ai moduli di Young ed al coefficiente di Poisson ν12dalla nota relazione:

(28) 2 1 21 12 2 21 1 12 E E E E ν ν ν ν = ⇒⇒ =

(20)

6.4 Effetto di Carichi Agenti in Direzioni Diverse dalle

Direzioni Principali del Materiale

Anche nel caso del composito più semplice (lamina a fibre continue e unidirezionali) soggetto ad una sollecitazione semplice ( ad es. trazione o compressione monoassiale), gli assi di simmetria del materiale composito non coincidono necessariamente con gli assi di simmetria del corpo o del sistema di carico.

E’ quindi necessario avere relazioni generali che ci consentono di trasformare gli sforzi e le deformazioni al variare dell’angolo di rotazione, θ, delle fibre rispetto alla direzione della sollecitazione.

(21)

Queste relazioni possono essere derivate in modo relativamente semplice applicando la condizione sulle rotazioni rigide del sistema di riferimento.

Si ottengono le seguenti relazioni (si omette la dimostrazione):

θ θ θ ν θ 4 2 2 2 1 12 12 4 1 sin 1 cos sin 2 1 cos 1 1 E E G E E_X _ +     − + = (29) θ θ θ ν θ 4 2 2 2 1 12 12 4 1 cos 1 cos sin 2 1 sin 1 1 E E G E EY +       − + = (30)

(

θ θ

)

θ θ ν 4 4 12 2 2 12 1 12 2 1 cos sin 1 cos sin 1 4 2 2 2 1 + +       − + + = G G E E E G_XY (31)

(

)

            − + − + = ν θ θ θ θ ν 2 2 12 2 1 4 4 1

12 _sin _cos 1 1 1 _sin _cos G E E E EX XY (32)

in cui “1” e “2” rappresentano gli assi di riferimento del materiale nel piano della lamina e “X” e “Y” le coordinate di riferimento del sistema di carico (vedi figura). La rotazione del sistema di carico rispetto agli assi di riferimento del materiale consente di individuare due nuove costanti ingegneristiche, dette coefficienti di mutua influenza di Lekhnitskii, definite come segue:

(22)

ij i ij i γ ε η_, = ; i ij i ij ε γ η _, = (33)

in cui la prima relazione è valida per τij =τ e tutti gli altri sforzi nulli, mentre la seconda vale per σ_i =σ sempre in assenza d’altri elementi di sforzo.

Il primo coefficiente caratterizza dunque la deformazione estensionale in direzione “i” che ha luogo per effetto di uno sforzo di taglio nel piano “ij”, mentre il secondo coefficiente caratterizza la deformazione a taglio nel piano “ij” generate da uno sforzo normale agente nella direzione”i”.

Il coefficiente del secondo ordine η può essere calcolato, note le costanti ij,i ingegneristiche, utilizzando una delle due equazioni seguenti:

            − + −       − + = ν θ θ ν θ θ

η 2 2 1 sin cos 2 2 1 sin3 cos

12 1 12 2 3 12 1 12 1 , G E E G E E E_X X XY (34)             − + −       − + = ν θ θ ν θ θ η 3 12 1 12 2 3 12 1 12 1 , sin cos 1 2 2 cos sin 1 2 2 G E E G E E EY Y XY (35)

Un’implicazione importante della presenza di questi coefficienti è che prove di trazione monoassiale effettuate in direzioni diverse dalle direzioni principali del materiale produrranno una “distorsione” a taglio del materiale oltre all’estensione assiale; come illustrato nella figura seguente.

(23)

(24)

6.5 Proprietà Elastiche in un Piano di una Lamina con

Fibre Lunghe Distribuite

Fibre Lunghe Distribuite Casualmente (Random)

Casualmente (Random)

Una lamina fatta con fibre lunghe ha le proprietà macroscopicamente isotropiche nel piano a condizione che le fibre siano distribuite in maniera casuale (randomly) ovvero se c’è una probabilità uniforme di distribuzione delle fibre sopra l’intero campo di variazione angolare da -π/2 a π/2. Per le fibre lunghe l’effetto d’estremità delle fibre può incidere negativamente sulla predizione dei moduli elastici.

Le proprietà di compositi con distribuzione random delle fibre sono spesso stimate attraverso l’approccio analitico introdotto da Nielsen & Chen in cui si assume che il modulo Ē può essere ottenuto attraverso l’integrazione dell’espressione:

∫

= 2 / 0 ) ( 2 π θ θ π E d E _X (36)

dove EX(θ) è la dipendenza dei moduli elastici dall’orientazione per una lamina unidirezionale avente lo stesso Vf ed è rappresentata dell’equazione del paragrafo

precedente (29).

(25)

(

)

(

)

(

)

_      − + + + − + − +         − + + = 12 , , , 12 , , , , , , 1 4 2 3 1 4 2 1 2 G E E E G E E E x E E E E L T T L T T L T L L T T L T T L T L L T T L T T L T L ν ν ν ν ν ν ν ν ν (37)

(

)

12 , , , 2 1 1 8 2 G E E E G L T T L T T L T L + − − + = ν ν ν (38) 1 2 − = G E ν (39) Le equazioni (37) e (38) sono abbastanza complicate; per i normali casi pratici possono essere utilizzate delle relazioni semplificate:

T L E E E 8 5 8 3 + = (40) T L E E G 4 1 8 1 + = (41)

In queste ultime due relazioni la dipendenza dal volume percentuale delle fibre rientra nei termini ELe ET.

Le proprietà elastiche attraverso lo spessore di un laminato con le fibre random nel piano, possono essere considerevolmente minori che le proprietà nel piano perché non ci sono fibre allineate attraverso la direzione dello spessore.

Le equazioni (37-41) si riferiscono ad una distribuzione completamente random delle fibre.

(26)

Lo scopo di questa trattazione analitica sta nel fatto che è possibile con le relazioni scritte, ricavare la variazione del modulo di Young con la direzione dell’asse di riferimento di carico per la lamina unidirezionale, ma anche per la lamina con distribuzione random delle fibre nel piano.

La curva per la lamina unidirezionale si calcolano attraverso le equazioni (29-32 ) mentre quelle per la lamina con distribuzione random nel piano attraverso l’equazione (40).

(27)

FIBRA DI VETRO- RESINA POLIESTERE Vf=30% Ef=76000 N/mm2 νf=0,37 Gf=Ef/2*(1+ νf)=27737,2 N/mm2 Vm=70% Em=3500 N/mm2 νm=0,25 νLT= ν12=0.27 Gm=Em/2*(1+ νm)=1400N/mm2 ξ=0,2 per ET ξ=1 per G12

Tab. 6.1-Proprietà del composito resina poliestere-fibra di vetro.

(28)

6.6

6.6 6.6 Compositi a Fibre Corte

Compositi a Fibre Corte

Il comportamento meccanico dei compositi a fibre corte in genere differisce da quello a fibre lunghe ed in particolare, al contrario di quanto accade per i compositi a fibre lunghe, esso è legato alla lunghezza caratteristica delle fibre. Dalla lunghezza dipende in particolare la distribuzione delle tensioni ed il meccanismo di trasferimento del carico dalla matrice alla fibra.

6.6

6.6 6.6.1 Trasferiment

.1 Trasferiment

.1 Trasferimento delle Tensioni

.1 Trasferiment

o delle Tensioni

Come nei compositi a fibra lunga, nei compositi a fibra corta (o interrotta o discontinua) il carico si trasmette alle fibre attraverso la matrice. La trasmissione del carico dalla matrice alle fibre avviene attraverso tensioni tangenziali concentrate prevalentemente alle estremità delle fibre (end effect). L’analisi teorica (teoria dell’elasticità) di sistemi bimateriali mostra infatti che anche in presenza di sollecitazioni semplici applicate, in corrispondenza degli spigoli dell’interfaccia si verificano stati di tensioni singolari dello stesso tipo di quelli che si rilevano in prossimità dell’apice di una cricca in un materiale isotropo omogeneo (meccanica della frattura lineare elastica). Nei compositi a fibre lunghe tali effetti d’estremità, interessando una porzione di fibra relativamente piccola, sono praticamente trascurabili e non influenzano globalmente il comportamento meccanico del manufatto.

(29)

Così non è invece per i compositi a fibra corta per i quali le caratteristiche elastiche, ed ancor più il carico sopportato dalla fibra (e quindi la resistenza meccanica) è influenzata direttamente da tali effetti locali.

Per una comprensione del comportamento meccanico dei compositi a fibra corta è necessario pertanto la sconoscenza del meccanismo di trasmissione del carico. A tal fine si consideri una fibra a sezione retta circolare immersa nella matrice, soggetta ad una sollecitazione di trazione σ allineata con la fibra come mostrato C nella figura successiva.

Fig. 6.11-Meccanismo di trasferimento del carico (a) ed equilibrio di tratto

(30)

Considerando in particolare un tratto infinitesimo di fibra (figura 11b), questo è soggetto ad una distribuzione di tensioni tangenziali sulla superficie laterale ed ad una tensione normale parallela all’asse e variabile con l’ascissa corrente Z.

Per l’equilibrio alla traslazione lungo l’asse della fibra si ha:

) ( 2 2 2 f f f r dz r d r σ π τ π σ σ π + = + (42)

Semplificando la (42) si ottiene la relazione tra la derivata delle tensioni normali sulla fibra e le tensioni tangenziali d’interfaccia:

(43)

La (43) mostra come la derivata della tensione normale presente nella fibra è direttamente proporzionale alla tensione tangenziale applicata ed inversamente proporzionale alle dimensioni della fibra. L’andamento della tensione normale lungo la fibra può essere ottenuto quindi mediante integrazione della (43). Per una fibra a sezione trasversale costante si ha così:

∫

+ = z f f dz r ₀ 0 , 2 τ σ σ (44) r dz dσ_f 2_τ =

(31)

Per determinare l’andamento della tensione normale lungo la fibra è necessario quindi conoscere la tensione iniziale e l’andamento della tensione tangenziale sulla superficie laterale. In generale, a causa d’inevitabili fenomeni di concentrazione delle tensioni dovute alla diversa rigidezza tra fibra e matrice si verifica facilmente un parziale o totale distacco fibra-matrice in corrispondenza dell’estremità e conseguentemente la tensione iniziale σf,0risulta pressoché trascurabile. Anche in presenza di matrici duttili (assenza di distacco) tale tensione può essere trascurata in quanto inferiore alla tensione di rottura della matrice che in generale è piccola rispetto alle tensioni presenti nella fibra.

Per quanto concerne invece l’andamento della tensione tangenziale lungo la superficie laterale della fibra, essa evidentemente è legata al particolare comportamento della matrice (elastico, elastoplastico, ecc.). Il modello più semplice, che bene approssima il comportamento di matrici duttili, è quello ideale di tipo rigido-perfettamente plastico: ad uno scorrimento non nullo corrisponde una tensione tangenziale costante e pari alla tensione tangenziale di scorrimento

S τ .

Fig. 6.12-Curva

tensione-deformazione per materiale rigido perfettamente plastico.

(32)

In queste condizioni la tensione tangenziale è in sostanza costante lungo la fibra. Conseguentemente la tensione normale sulla fibra varia linearmente, essendo per la (44): z r z S f τ σ ( )= 2 (45)

Il valore massimo di tensione si realizza ovviamente (simmetria) in corrispondenza della mezzeria della fibra ove si ha:

l r l S f Max f τ σ σ _, = ( /2)= (46)

La tensione massima per fibre corte è quindi proporzionale oltre che alla tensione di snervamento della matrice, anche alla lunghezza della fibra. Tensioni normali e tangenziali in una fibra corta hanno pertanto l’andamento rappresentato nella seguente figura:

(33)

Fig. 6.13-Andamento della tensione normale e tangenziale per fibra corta in

matrice duttile.

Si osservi come in pratica la distribuzione delle tensioni normali, e quindi anche il carico massimo sopportato dalla fibra pari a:

rl r

P_Max =σ_f _Maxπ 2 =τ_Sπ

, (47)

risulta indipendente dal carico σ applicato al composito. In particolare, fissato il c carico esterno applicato al composito, il carico sopportato dalla fibra (ovvero la massima tensione) risulta proporzionale alla lunghezza della fibra: diminuisce se si passa ad una fibra più corta, aumenta passando ad una fibra più lunga. L’uso

(34)

pertanto di fibre più lunghe consente di aumentare il carico sopportato da queste, ovvero consente di sfruttare maggiormente la resistenza del materiale.

Ovviamente al crescere della lunghezza della fibra la tensione normale non può crescere indefinitamente in modo monotono spostandosi dall’estremità verso la mezzeria.

Com’è facile intuire, infatti, esiste una lunghezza della fibra, oltre la quale la tensione assume nel tratto centrale un andamento costante in quanto il carico risulta completamente trasmesso dalla matrice alla fibra attraverso tensioni tangenziali che si sviluppano in due tratti d’estremità della fibra. Nel tratto centrale pertanto non ci sarà più un trasferimento di carico e quindi risulteranno nulle le tensioni tangenziali. In accordo con la (43), nel tratto centrale la tensione normale sulla fibra risulterà costante. Questa è anche la condizione tipica delle fibre lunghe:

C m f ε ε

ε = = (48)

Se infatti le deformazioni di fibra e matrice sono uguali allora saranno nulli gli scorrimenti della matrice e quindi risulteranno nulle anche le tensioni tangenziali all’interfaccia. Dalla relazione (48) si ottiene immediatamente il valore della tensione (massima) presente nel tratto centrale della fibra; si ha:

C C f f C f f Max f E E E E ε σ ε σ _, = = = (49)

(35)

La massima tensione presente nella fibra è in questo caso direttamente proporzionale al carico applicato σ ed al rapporto dei moduli di Young di fibra C e composito, ovvero al rapporto dei moduli di Young fibra/matrice ed alla concentrazione in volume delle fibre.

Sostituendo la (49) nella (46) si ottiene la lunghezza della fibra lt (t sta per trasmissione completa del carico), detta lunghezza di totale trasmissione del carico. Oltre la quale esiste un tratto centrale di fibra soggetto a tensione costante:

r E E r l C f S C S Max f t             = = τ σ τ σ , (50)

Si vede come, fermo restando le caratteristiche del composito, la lunghezza di trasferimento completo del carico lt cresce al crescere della tensione (σ ) C applicata al composito e decresce al crescere di τ , cioè al crescere della capacità S di trasferire carico da parte della matrice. Fissate quindi le caratteristiche della matrice ed il carico esterno applicato, se la lunghezza delle fibre è superiore alla lunghezza di trasferimento completo del carico lt, allora la tensione massima sulla fibra è fornita dall’equazione (49). Se invece la lunghezza delle fibre è inferiore ad lt la massima tensione sulla fibra si ha in mezzeria (46) e non cresce al crescere del carico esterno.

(36)

Poiché la lunghezza di trasmissione totale del carico cresce col carico stesso e con questi cresce la tensione massima sulla fibra secondo la (49), esiste un valore limite o critico lC (valore massimo della lunghezza di trasferimento totale del carico) corrispondente al massimo carico sopportabile dalla fibra.

Eguagliando pertanto la massima tensione della fibra fornita dalla (46) con la tensione di rottura (σf,R) della stessa si ha immediatamente:

r l S R f C       = τ σ _, (51)

La distribuzione delle tensioni tangenziali e normali in una fibra al variare della lunghezza, per dato carico applicato e per diversi casi che possono presentarsi è mostrato nella figura seguente:

r l S fMax τ σ = r E E C f S C fMax τ σ σ = r E E C f S C fMax τ σ σ =

Fig.6.14-Andamento delle tensioni normali e tangenziali nella fibra al variare

(37)

Dalla figura 6.14 si vede come, in accordo con la (46), se la lunghezza della fibra è minore o uguale a lt allora un aumento del carico applicato al composito non produce un aumento della massima tensione sulla fibra, cioè non produce un aumento del carico sopportato dalla fibra e pertanto l’incremento di carico deve essere sopportato dalla matrice. Al contrario invece, se la lunghezza della fibra è superiore a lt, un aumento del carico applicato al composito produce, in accordo con la (49) un aumento della tensione massima e quindi un aumento del carico trasmesso; dalla distribuzione trapezoidale delle tensioni si può cioè passare nuovamente ad una triangolare.

Ovviamente ciò si verifica sino a quando la tensione sulla fibra raggiunge la rottura, cioè sino a quando la lunghezza della fibra non raggiunge la lunghezza critica lC. Un aumento della lunghezza al di là di questo valore risulta inutile ai fini di un aumento del carico trasmesso dalla fibra, limitato ora dalla sola resistenza meccanica a trazione della fibra. Al contrario ovviamente se la lunghezza della fibra è inferiore al valore critico lC, la massima tensione che si può verificare nella sezione di mezzeria risulta, valutabile mediante la (46), inferiore alla tensione di rottura della fibra. Se la lunghezza della fibra è minore della lunghezza critica allora la rottura del composito avverrà sempre per rottura della matrice.

Per fibre di diametro dell’ordine di 10µm, la lunghezza critica assume valori piuttosto piccoli e sovente inferiori al millimetro. Per esempio per un composito

(38)

fibra di vetro (σf_,R =2000MPa) resina epossidica (τ =20MPa) utilizzando la S (51) si ottiene lC=1mm.

Questi risultati si basano a rigore sull’ipotesi fatta di matrice con comportamento duttile schematizzabile con il modello ideale rigido-perfettamente plastico. In questo caso lo stato tensionale in cui si vengono a trovare fibra e matrice può essere facilmente calcolato con il metodo degli elementi finiti(FEM).

Nel campo di comportamento elastico della matrice, l’andamento delle tensioni normali e tangenziali sulla fibra e sulla matrice adiacente la fibra, ottenute col FEM è riportato nella seguente figura:

Fig. 6.15-Tensioni nella fibra (a) e matrice (b), per matrice elastica con

Ef /Em =29,5,l/r=5,2 e Vf =0,42.

Dalla figura “a” si vede come, similmente al caso ideale di comportamento rigido-perfettamente plastico della matrice, la tensione normale sulla fibra cresce in un tratto limitato di fibra, avente in questo caso un’estensione pari a circa 2 volte il diametro della fibra. Si ha però ora un significativo fenomeno di

(39)

concentrazioni delle tensioni tangenziali all’estremità della fibra, in accordo con l’analisi teorica del problema elastico associato. La tensione normale nella parte centrale della fibra tende esattamente al valore teorico descritto dall’equazione (49), e cioè al prodotto del rapporto dei moduli di Young di fibra e composito per il carico applicato(valore prossimo a circa 2 volte il carico applicato per compositi a matrice polimerica con Vf ≈0.5).

Dalla figura “b” è interessante inoltre osservare come la tensione radiale che si sviluppa all’interfaccia fibra-matrice è di trazione in prossimità dell’estremità della fibra (ends effects) facilitando localmente il debonding, mentre assume valori negativi (compressione) nella restante parte della fibra. Ciò fa sì che se le fibre sono parallele al carico e la distanza interfibra non è troppo piccola, anche se occorrono fenomeni di scollamento fibra matrice causati da limitata adesione, è ancora possibile la trasmissione (totale o parziale) di carico della matrice alla fibra, a causa della presenza di forze d’attrito associate alle tensioni radiali di compressione.

Nel caso di comportamento elastoplastico della matrice, l’andamento delle tensioni tangenziali d’interfaccia (vedi figura 6.16) è diverso da quello previsto per comportamento elastico lineare e piuttosto vicino a quello previsto teoricamente con il modello di matrice rigida perfettamente plastica (linea tratteggiata in figura 6.16).

(40)

Fig. 6.16-Tensioni nella fibra per matrice elasto-plastica con 117

/ m = f E

E ,εS_,m =2,4%,l/r =200 e Vf =0.50

In ogni caso (matrice elastica o elasto –plastica) le tensioni tangenziali tendono a zero spostandosi verso la mezzeria della fibra, mentre la tensione normale tende al valore limite caratteristico dei compositi a fibre lunghe (49). Questi effetti d’estremità influenzano, come accennato, la rigidezza(modulo di Young) e resistenza di un composito a fibre corte.

Per semplicità nella determinazione teorica di tali caratteristiche del composito si fa riferimento solitamente al valore medio della tensione lungo la fibra, cioè:

∫

= l f f dz l ₀ 1 σ σ (52)

(41)

Tale valore si ottiene in generale mediante calcolo dell’area sottesa alla curva, teorica ( es. Equazione 45) o numerica (es.fig. 15 (a), che descrive l’andamento della tensione lungo la fibra. Nell’ipotesi esemplificativa di matrice rigida-perfettamente plastica, per quanto detto (vedi fig. 14) la tensione media sulla fibra è pari: l r S Max f f τ σ σ = = 2 , per l<lt (53)       − =       − = l l r E E l l _t S c C f t Max f f 2 1 2 1 , τ σ σ σ per l>lt (54)

Mediante la (54) si mostra immediatamente come la tensione media è pari al 90% ed al 99% della tensione massima se la lunghezza della fibra è pari rispettivamente a circa 5 e 50 volte la lunghezza lt. Considerando in particolare il carico di rottura delle fibre si ha che un composito a fibre discontinue si comporta in pratica come uno a fibre lunghe se la lunghezza delle fibre è pari a 5-50 volte la lunghezza critica, cioè per quanto sopra osservato (l_C ≡1mm) pari a 5-50 mm,

(42)

6

6.7 .7

.7

.7 Caratterizzazione Analitica

Caratterizzazione Analitica

Caratterizzazione Analitica PP 30%

Caratterizzazione Analitica

PP 30%

PP 30% G

PP 30%

G

GF

F

Vediamo adesso di ricavare le caratteristiche elastiche del POLIPROPILENE 30% FIBRA DI VETRO sfruttando le relazioni del capitolo precedente.

Per fare ciò è necessario conoscere le proprietà elastiche della matrice e della fibra e le caratteristiche dimensionali (lunghezza l e diametro d)di questa ultima. Queste informazioni possono essere ricavate attraverso dati presenti in letteratura, oppure ci possono essere forniti dall’azienda produttrice della matrice e della fibra.

La ditta produttrice del composito ha fornito una scheda tecnica con le principali proprietà della matrice e della fibra:

SIGLA IDENTIFICATIVA

MATERIALE

VERPLEN C30 01 NT

ACLK

MATRICE

Polipropilene omopolimero

PROPRIETA’ VALORE UNITA’ di _MISURA

DENSITA’ “

ρ

m

”

0,9

g/cm

3

MODULO DI YOUNG “

E

m

”

1500

N/mm

2

TENSIONE DI SNERVAMENTO

36 N/mm

2

ALLUNGAMENTO PERCENTUALE al

LIMITE dello SNERVAMENTO

12 %

RESILIENZA IZOD (23°C)

45 J/m

DUREZZA (Scala ROCKWELL)

90 //

PUNTO DI RAMMOLLIMENTO VICAT

135 °C

(43)

FIBRA

Fibra di vetro

PROPRIETA’ VALORE UNITA’di _MISURA

DENSITA’ “

ρ

f

”

2,57

g/cm

3

MODULO DI YOUNG “

E

f

”

74000

N/mm

2

RESISTENZA A TRAZIONE

3400

N/mm

2

ALLUNGAMENTO PERCENTUALE al LIMITE

della ROTTURA

4,2

%

TIPO DI VETRO

C

//

LUNGHEZZA MEDIA DELLA FIBRA “

l

”

3,2

mm

DIAMETRO MEDIO DELLA FIBRA “

d”

13 µm

RAPPORTO “

l/d

”

246,15

//

Tab. 6.3-Proprietà della Fibra.

VERPLEN C30 01 NT ACLK

PROPRIETA’ TIPICHE METODO VALORE UNITA’ di _MISURA

MELT FLOW RATE (230°C-2,16 Kg)

ASTM D

1238 L

1 g/10min

PESO SPECIFICO

ASTM D

792 1,13

g/cm

3

RITIRO LINEARE ALLO STAMPAGGIO

0,4

%

MODULO DI YOUNG

+23°C

ASTM D

790 5800

N/mm

2

RESILIENZA IZOD

+23°C

ASTM D

256

100 J/m

PUNTO DI

RAMMOLLIMENTO VICAT

49 N

ASTM D

1525

133 °C

TEMPERATURA DI

DEFLESSIONE SOTTO

CARICO

185 N/Cm

2

ASTM D

648

148 °C

(44)

DATI PROVENIENTI DALLA LETTERATURA

PROPRIETA’ VALORE UNITA’ di _MISURA

MODULO POISSON MATRICE “

ν

m

”

0,35

//

MODULO DI ELASTICITA’ TANGENZIALE

MATRICE “

G

m

”

588 N/mm

2

MODULO POISSON FIBRA “

ν

f

”

0,25

//

MODULO DI ELASTICITA’ TANGENZIALE

FIBRA “

G

f

”

29268

N/mm

2

Tab. 6.5-Proprietà di fibra e matrice rilevati dalla letteratura.

La percentuale del 30% con cui è definito il materiale dall’azienda produttrice, si riferisce alla percentuale in peso della fibra presente nel composito.

Nelle relazioni scritte nei paragrafi precedenti invece è necessario definire la percentuale in volume; definite appunto nelle relazioni (7).

Calcoliamo la percentuale in volume conoscendo quella in peso:

130 . 0 57 . 2 / 7 . 0 9 . 0 / 3 . 0 9 . 0 / 3 . 0 / / / = + = + = m m f f f f f W W W V ρ ρ ρ (55)

essendo il composito a soli due costituenti la percentuale in volume della matrice è il complementare ad 1 di quella della fibra. Quindi riassumendo:

870 . 0 130 . 0 = = m f V V (56)

(45)

6.7.

6.7. 6.7.1 Regola delle Miscele

1 Regola delle Miscele

Dall’equazione (6): m m f f C E V E V E = + 74000*0.130 1500*0.870 10925 ₂ mm N EC = + = (57)

mentre dall’equazione (12) si ottiene che:

(

f

)

m f f m f T V E V E E E E + − = 1 74000(1 0.130) 1500*0.130 1719 2 1500 * 74000 mm N E_T = + − = (58)

EC

10925 N/mm

2

ET

1719 N/mm

2

Tab. 6.6-Proprietà Elastiche con la Regola delle Miscele.

6.7

6.7 6.7.2 Equazioni di Halpin

.2 Equazioni di Halpin

.2 Equazioni di Halpin----Tsai per i Compositi a Fibra

.2 Equazioni di Halpin

Tsai per i Compositi a Fibra

Corta

Dalle equazioni (15-17) e (24-27): ) 1 ( 12 ,T f f m f L =ν =ν V +ν −V ν (59)

in cui i coefficienti di poisson di fibra e matrice assunti in base ai dati della letteratura rispettivamente pari a 0,25 e 0,35.

(

1 0.130

)

0.337 * 35 . 0 130 . 0 * 25 . 0 12 , =ν = + − = νLT (60) 08923 . 0 ) 15 . 246 ( 2 1500 74000 1 1500 74000 ) / ( 2 ) / ( 1 ) / ( = + − = + − = d l E E E E m f m f L η (61)

(46)

2 10185 130 . 0 * 08923 . 0 1 130 . 0 * 08923 . 0 * 15 . 246 * 2 1 * 1500 1 ) / ( 2 1 mm N V V d l E E f L f L m L = − + = − + = η η (62) 9416 . 0 2 1500 74000 1 1500 74000 2 ) / ( 1 ) / ( = + − = + − = m f m f T E E E E η (63) 2 2128 130 . 0 * 9416 . 0 1 130 . 0 * 9416 . 0 * 2 1 * 1500 1 2 1 mm N V V E E f T f T m T = − + = − + = η η (64) 1 ) / ( 1 ) / ( 12 + − = m f m f G G G G η (65)

Per i moduli d’elasticità tangenziali relativi alla matrice ad alla fibra posso considerare che valga le relazioni di carattere generale:

(

f

)

f f E G ν + = 1 2 e

(

_m

)

m m E G ν + = 1 2 (66) Quindi: 2 29600 ) 25 . 0 1 ( 2 74000 mm N Gf = + = 555.56 ₂ ) 35 . 0 1 ( 2 1500 mm N Gm = + = (67)

Possiamo osservare come questi valori sono praticamente coincidenti a quelli che si trovano come dati della letteratura.

(

)

(

29600/555.56

)

1 0.9632 1 56 . 555 / 29600 1 ) / ( 1 ) / ( 12 = + − = + − = m f m f G G G G η (68)

(47)

2 12 12 12 714.58 130 . 0 * 9632 . 0 1 130 . 0 * 9632 . 0 1 56 . 555 1 1 mm N V V G G f f m = − + = − + = η η (69) Infine: 33898 . 0 35 . 0 * 3 4 1 3 4 1 = − = − = m G ν ξ (70)

(

)

(

29600/555.56

)

0.3389 0.975 1 56 . 555 / 29600 ) / ( 1 ) / ( 23 = + − = + − = G m f m f G G G G ξ η (71) 2 23 23 23 663.53 130 . 0 * 975 . 0 1 130 . 0 * 975 . 0 * 33898 . 0 1 56 . 555 1 1 mm N V V G G f f G m = − + = − + = η η ξ (72)

Quindi riassumendo i risultati analitici:

Tab. 6.7-Proprietà Elastiche con le Equazioni di Halpin-Tsai per i Compositi a

Fibra Corta.

ν

LT=ν12

0,337

EL=E1

10185 N/mm

2

E

T

=E

2

2128 N/mm

2

Gm

555,56 N/mm

2

G

f

29600 N/mm

2

G

12

714,58 N/mm

2

G23

663,53 N/mm

2

(48)

6.7

6.7 6.7.3 Effetto di Carichi Agen

.3 Effetto di Carichi Agen

.3 Effetto di Carichi Agenti in Direzioni Diverse dalle

.3 Effetto di Carichi Agen

ti in Direzioni Diverse dalle

Direzioni Principali del Materiale

Dalle equazioni (29-32), utilizzando i risultati del modello di Halpin-Tsai del paragrafo precedente, ottengo i valori dei moduli elastici Ex, EY, Gxy e del coefficiente di Poisson νxy in

funzione dell’angolo θ d’inclinazione delle fibre rispetto all’asse verticale e orizzontale. I risultati di quest’analisi sono riportati sotto forma grafica:

MODULO DI ELASTICITA' LONGITUDINALE E TRASVERSALE MODULO DI ELASTICITA' LONGITUDINALE E TRASVERSALE MODULO DI ELASTICITA' LONGITUDINALE E TRASVERSALE MODULO DI ELASTICITA' LONGITUDINALE E TRASVERSALE

0,0 2000,0 4000,0 6000,0 8000,0 10000,0 12000,0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

ANGOLO INCLINAZIONE FIBRE

M O DUL O E L AS T ICO Ex Ey

Fig. 6.17-Modulo d’elasticità longitudinale e trasversale al variare dell’angolo

(49)

MODULO DI ELASTICITA' TANGENZIALE MODULO DI ELASTICITA' TANGENZIALE MODULO DI ELASTICITA' TANGENZIALE MODULO DI ELASTICITA' TANGENZIALE GxyGxyGxyGxy

0,0 200,0 400,0 600,0 800,0 1000,0 1200,0 1400,0 1600,0 1800,0 0,0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

M O DU L O E L AS T ICI T A' T A NG E NZ IAL E I

Fig. 6.18-Modulo d’elasticità tangenziale al variare dell’angolo d’inclinazione

delle fibre. MODULO DI POISSON MODULO DI POISSON MODULO DI POISSON MODULO DI POISSON XYXYXYXY 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

M O D U L O D I P O IS S O N X Y

(50)

MODULO DI POISSON MODULO DI POISSON MODULO DI POISSON MODULO DI POISSON YXYXYXYX 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

ANGOLO ORIENTAZIONE FIBRE

M O D UL O D I P O IS S O N Y X

Fig. 6.20-Modulo di Poisson YX al variare dell’angolo d’inclinazione delle fibre.

6.7

6.7 6.7.4 Proprietà Elastiche nel Piano con Distribuzione

.4 Proprietà Elastiche nel Piano con Distribuzione

Random delle Fibre

Dalle equazioni (40) e (41): 2 5149 2128 8 5 10185 8 3 8 5 8 3 mm N E E E = L + T = + = (73) 2 1805 2128 4 1 10185 8 1 4 1 8 1 mm N E E G = L + T = + = (74) 426 . 0 1 1805 * 2 5149 1 2 − = − = = G E ν (75) E

5149 N/mm

2 G

1805 N/mm

2 ν

0.426

(51)

6.7

6.7 6.7.5 Osservazioni

.5 Osservazioni

Si osserva che il modulo d’elasticità del composito che si ricava attraverso la regola delle miscele (fibre lunghe) risulta molto prossimo (scarto inferiore al 7%) a quello valutabile attraverso la relazione (36) per il modulo d’elasticità longitudinale.

Come ci aspettavamo, ai fini della rigidezza longitudinale, un tale composito a fibre corte (solo 3,2 mm) si comporta sostanzialmente come uno a fibre lunghe. A conferma di questo fatto possiamo tracciare anche il grafico del modulo elastico EL per i compositi a fibre corte parallele conseguenza delle equazioni

(36-37) di Halpin-Tsai.

Il rapporto caratteristico tra il modulo delle fibre e quello della matrice è:

50 / 1500 / 74000 2 2 = = mm N mm N E E m f (76)

Sfruttando quindi le equazioni e lasciando il rapporto l/d come variabile indipendente ottengo il seguente diagramma:

(52)

Fig. 6.21-Modulo elastico EL per il PP % 30 FG a fibre corte parallele con Ef/Em=50.

I valori numerici riportati nel grafico precedente si riferiscono al nostro materiale composito con il rapporto l/d=246,15. Come possiamo notare tale valore è approssimativamente nella zona del grafico orizzontale in cui, considerando il modulo di Young; un composito a fibre discontinue si comporta come uno a fibre lunghe.

Riferendoci sempre alla trattazione analitica fatta nei paragrafi precedenti vado a disegnare il grafico che mi dà la dipendenza del modulo di Young dall’orientazione delle fibre. La curva per la distribuzione completamente random delle fibre è stata calcolata attraverso l’equazione (63), mentre la curva per la

(53)

lamina unidirezionale è calcolata attraverso l’equazione (29) prendendo come dati: • EL=10185 N/mm2 • ET=2128 N/mm2

•

νL_,T =0.337 in base all’equazione (28) prendendo ancora il modulo di Poisson νf=0,25 per la fibra di vetro e νm=0,35 per la matrice

polipropilene.

•

2

12 714.58N/mm

G = modulo d’elasticità tangenziale riferito alle fibre

(54)

Fig. 6.22-Modulo elastico EL per la lamina unidirezionale e per la lamina random al variare dell’angolo θ d’inclinazione delle fibre

(55)

6.8

6.8 6.8 Effetto della Reale

Effetto della Reale

Effetto della Reale Lunghezza e

Effetto della Reale

Lunghezza e

Lunghezza e Orientazio

Orientazio

Orientazione delle

ne delle

Fibre sulle Proprietà E

Fibre sulle Proprietà Elastiche del Ma

lastiche del Ma

lastiche del Materiale Composito

lastiche del Ma

teriale Composito

Il corpo pompa è prodotto per stampaggio ad iniezione, processo in cui si ha la rottura di alcune fibre (la cui lunghezza media di quelle più corte non risulta più di 3,2 mm) e un orientamento adeguato al flusso producendo una distribuzione dell’orientamento e della lunghezza delle fibre all’interno del materiale.

Le condizioni di processo sono importanti per determinare la locale microstruttura che influenza le proprietà meccaniche finali del composito.

Nella letteratura (quanto appunto visto e utilizzato nei paragrafi precedenti), l’effetto della lunghezza e orientazione delle fibre sulle proprietà meccaniche per i compositi a fibre discontinue è stato principalmente investigato per i compositi a fibra corta. Questi modelli di micro-meccanica, pur tenendo conto della distribuzione dell’orientamento delle fibre, possono predire talvolta solo un valore limite di un limitato numero di costanti ingegneristiche, principalmente il modulo di Young.

Questo è insufficiente per un ulteriore sviluppo delle predizioni di danneggiamento. Inoltre, l’interazione fra le fibre orientate non è considerata in questi modelli.

Queste osservazioni sono state fatte per affermare che lo studio sui modelli di micro-meccanica per i compositi a fibra corta è un argomento ancora in evoluzione e oggetto di studio. A tal proposito nella letteratura tecnica è stato