A AA PPENDICE PPENDICE A

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PPENDICE

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PPENDICE

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RISOLUZIONE

NELLE

IMMAGINI

RISOLUZIONE NELLE IMMAGINI

ECOGRAFICHE

ECOGRAFICHE

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1

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0

3

3

]

]

L’ecografo al giorno d’oggi è il mezzo più economico, leggero e facilmente utilizzabile per l’imaging dei tessuti molli. Questo apparecchio, facendo uso di ultrasuoni, produce immagini dell’interno di questi tessuti.

Gli ultrasuoni sono suoni di frequenza superiore ai 20 KHz; l’intervallo di frequenze usato in medicina è 1-10 MHz. Gli ultrasuoni sono utilizzati in medicina in particolar modo in due campi, anche se esiste poi un ulteriore campo di utilizzo terapeutico degli ultrasuoni per la distruzione dei calcoli ai reni. . Il primo campo consiste nella produzione di immagini dell’ interno del corpo umano e il secondo nella misurazione del flusso sanguigno nelle arterie e nelle vene. Recentemente è stato possibile combinare queste due tecniche in un unico apparecchio.

Alla base della formazione di immagini elettromagnetiche ed ultrasoniche, troviamo come elemento fondamentale la sorgente di radiazione. Tale sorgente, nel caso si tratti di immagini ultrasoniche, è un trasduttore piezoelettrico.

Un impulso di ultrasuoni viene emesso dal trasmettitore. L’impulso si muove attraverso il mezzo e gli oggetti che si trovano nel mezzo riflettono parte dell’energia verso il trasmettitore

poiché l’oggetto colpito dall’onda inizierà anche lui ad oscillare alla frequenza con cui è sollecitato. Il tempo utilizzato dall’eco per tornare al ricevitore è una misura della distanza dell’oggetto.

Se l’ultrasuono è trasmesso nel corpo, l’interfaccia tra due differenti tessuti o organi al suo interno produce un segnale di ritorno, o eco, se l’impedenza acustica dei due tessuti/organi è differente. Infatti l’interfaccia tra i due mezzi ha un coefficiente di riflessione (Z1-Z2)²/(Z1+Z2)² dove Z1 e Z2 sono le impedenze acustiche del mezzo.

Se la velocità di propagazione dell’ onda nel mezzo è conosciuta, allora i tempi fra la trasmissione e la ricezione del segnale possono essere trasformati in distanze dal trasduttore, a patto che la posizione e l’orientamento del trasduttore e del ricevitore siano conosciute e gli echi siano di intensità adeguata alla rilevazione.

Può essere così costruita una mappa bidimensionale, una sorta di immagine delle strutture all’interno del corpo. Se la velocità del suono nel mezzo è c [m/s] e il tempo trascorso dall’emissione dell’impulso al ritorno dell’eco è t [s], la distanza d [m] sarà:

d = c t / 2

La frequenza ultrasonora può essere alterata quando è riflessa da strutture in movimento per l’effetto Doppler. Per questa tecnica di imaging sono richieste alte frequenze poiché la risoluzione raggiungibile dipende dalla lunghezza d’onda dell’ ultrasuono (λ) e questa λ decresce con l’aumento della frequenza (f). La relazione tra lunghezza d’onda, velocità di propagazione (

c) e frequenza è :

λ= c / f

La velocità del suono in acqua alle frequenze di interesse per l’imaging è di circa 1500 m/sec. (Tabella 1).

TABELLA 1- VELOCITÀ DEL SUONO IN DIVERSI MEZZI (ONDE LONGITUDINALI)

Alla frequenza di 1 MHz la lunghezza d’onda in acqua è di 1,5 mm. Oggetti più piccoli di questa dimensione non vengono rilevati. Per avere una migliore risoluzione bisogna aumentare la frequenza. Il tessuto vivente, come si vede dalla tabella 1, escluso l’osso, ha velocità molto simile a quella dell’acqua che, come è noto, ne è il principale costituente. Aumentare la frequenza per migliorare la risoluzione è un processo che non è illimitato: in pratica alle alte frequenze l’assorbimento dell’ energia delle onde sonore da parte dei tessuti limita la penetrazione che può essere raggiunta.

La velocità del suono nei tessuti è abbastanza costante, ad esclusione dell’osso, ma presenta comunque variazioni da tessuto a tessuto, come si evidenzia in tabella 1. Una velocità costante è necessaria per l’imaging poiché il calcolo della distanza tra un oggetto riflettente e il sensore-generatore si basa sull’assunzione che la velocità sia conosciuta. Un 2.5 di differenza di velocità (tra il tessuto molle e il muscolo) oltre i 40 mm di distanza può comportare 1 mm di errore di misura.

L’interazione degli ultrasuoni con il corpo è complessa. I più importanti effetti rilevati sono: la riflessione, la rifrazione, l’assorbimento, l’attenuazione e lo scattering.

Gli ultrasuoni si propagano come onde nel mezzo e quindi subiscono rifrazione e riflessione all’interfaccia di due differenti mezzi. La proprietà che determina quanto questi fenomeni si verificano è chiamata impedenza acustica (Z), che viene così espressa:

Z= ρ c

La frazione di energia riflessa da un interfaccia fra due materiali con impedenze acustiche

Z1 e Z2 come già anticipato vale:

R = potenza riflessa / potenza incidente =

( Z1 - Z2 )²/ ( Z1 + Z2 )²

Quella trasmessa vale:

T = potenza trasmessa / potenza incidente =

4 Z1 Z2 / ( Z1 + Z2 )²

Ad esempio nel passaggio da aria a 25°C (Z1 = 412 Ns/m2 ) ad acqua (Z2 = 1,5 106_{Ns/m2 )}

si ha T=1,1 103_{. Per due tessuti molli, o tessuto molle e acqua, la frazione di energia riflessa è}

piccola e la maggior parte dell’energia continua a viaggiare attraverso l’interfaccia dei due “materiali”.

Questo è importante poiché significa che si possono vedere delle riflessioni lontane dal trasmettitore. L’onda sonora a queste frequenze potrebbe benissimo viaggiare nell’osso. Però nel caso di interfaccia fra i tessuti e il tessuto osseo, poiché l’onda sonora proviene inevitabilmente dal tessuto molle, gran parte dell’ energia viene riflessa data la grande differenza di impedenza. Così l’osso diviene una barriera insormontabile per gli ultrasuoni. Per l’interfaccia fra tessuto molle ed aria, la frazione di energia riflessa è ugualmente alta ed è quindi praticamente impossibile attraversare una cavità d’aria.

A

A

2

2

:

:

G

G

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E

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N

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E

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R

A

A

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Z

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G

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G

A

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Z

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I

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O

N

N

E

E

L’energia ultrasonora è generata da un trasduttore che converte energia elettrica in energia meccanica sotto forma di vibrazione e quindi in onda sonora. Un materiale piezoelettrico come il

quarzo e la tormalina cambiano la loro conformazione quando sono soggetti ad un campo elettrico.

L’effetto opposto è ugualmente ottenibile. Le deformazioni meccaniche del cristallo producono attraverso il cristallo stesso campi elettrici che possono essere misurati. I cristalli piezoelettrici sono perciò utilizzabili come trasmettitori e ricevitori.

In pratica, alle frequenze che sono usate per la diagnosi medica, il materiale artificiale utilizzato è il piombo titanio zirconato (PZT).

Un cristallo di particolare spessore ha una particolare frequenza di risonanza e questa determina la frequenza alla quale il trasduttore può essere usato.

Un tipico trasduttore opera ad una lunghezza d’onda di risonanza che è la metà del suo spessore. Dalla relazione f = c / λ con c=1.5 mm/µs, ossia il valore di velocità medio attorno a cui i tessuti biologici oscillano, ad eccezione dell’osso (Tabella 1), risulta che uno spessore di 3 mm corrisponde a 1 MHz di frequenza di risonanza.

A

A

3

3

:

:

C

C

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A

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C

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0

0

0

5

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-

-

2

2

0

0

0

0

6

6

]

]

Con riferimento alla Figura 1, sotto opportune ipotesi necessarie per semplificare la trattazione, la pressione ultrasonica p(x0,z0) lungo l’asse x0 posto a distanza z = z0

dall’allineamento è data dalla seguente equazione:

∫ − β = = L L r j 0 0 , z ) c p (x , z 0)e dx x ( p dove β=2π/λ e 2 0 2 0 (x x ) z

r= + − è la distanza tra il generico elemento piezoelettrico e il generico punto di coordinate (x0,z0) sull’asse x0.

x0 z = z0 x z 2a y z x FIGURA 1

Tale formula è valida ovunque. Tuttavia si possono effettuare approssimazioni per una migliore comprensione dell’andamento del campo, che sono valide per distanze crescenti dal trasduttore.

A.

Approssimazione di Fresnel

A partire da distanze dell’ordine della dimensione del trasduttore si possono effettuare alcune approssimazioni per il calcolo del campo. La prima approssimazione è valida nella regione di Fresnel o regione di campo vicino (Figura 2).

Effettuando un’approssimazione sullo sviluppo di Taylor del termine r, sviluppo di √(1+b) limitato ai primi tre termini, si ottiene:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = − + = − + = 4 0 z ) 0 x x ( 8 1 2 0 z ) 0 x x ( 2 1 1 0 z 2 0 z ) 0 x x ( 1 0 z 2 ) 0 x x ( 2 0 z r

Quando il terzo termine dello sviluppo in serie:

4 0 z ) 0 x x ( 8 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

fornisce un contributo di fase

trascurabile, cioè quando 1 4 3 0 z 4 ) 0 x x ( 4 << − λ π ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

ovvero per valori di z0 maggiori della dimensione

del trasduttore e per piccoli spostamenti laterali rispetto all’asse del trasduttore, l’espressione del campo nel punto p(x₀,z₀) è data da:

∫ − λ π − λ π λ π β = = L L dx 0 xx 0 z 2 j e 2 0 x 0 z j e 2 x 0 z j e 0 z j e ) 0 z , x ( p c ) 0 z , 0 x ( p

I contributi di fase proporzionali a z0 e x0 possono essere portati fuori dall’integrale,

mentre il termine x2 determina un ritardo proporzionale alla posizione dell’elemento piezoelettrico lungo l’allineamento, quindi si ottiene:

∫ − λ π − λ π = = L L dx 0 xx 0 z 2 j e 2 x 0 z j e ) 0 z , x ( p 1 c ) 0 z , 0 x ( p

dove c1 tiene conto del fattore esponenziale funzione di z0 e x0.

1

0

< campo vicino> <campo lontano>

FIGURA 2: L’ANDAMENTO DEL CAMPO ULTRASONICO PER UN TRASDUTTORE CIRCOLARE.

Si può verificare, mediante l'uso del calcolatore, che il campo fino alla distanza z0 = D2/4λ

ha un andamento oscillante. Approssimativamente, a tale distanza la larghezza del fascio uguaglia il diametro del trasduttore.

Nelle condizioni di campo vicino si può applicare la focalizzazione, la quale permette di ottenere in ogni punto che si trova sull’asse del trasduttore un’interferenza costruttiva. La focalizzazione è ottenuta sagomando opportunamente la superficie emittente oppure montando una lente, in questo caso acustica, sulla superficie del trasduttore, in modo da far convergere in un punto detto fuoco tutti i raggi ed eliminando la dipendenza del campo dal termine x2. Per un trasduttore focalizzato, l’andamento del campo (Figura 3) in ogni punto focale segue la legge di diffrazione ( r = λ(z0/D)), la quale mostra come la larghezza del fascio aumenti con la distanza

dal trasduttore. In prossimità del trasduttore la larghezza del fascio è pari alla lunghezza d’onda e rappresenta la migliore risoluzione che si possa ottenere con un sistema di imaging

d

d

r

r

In base a quanto detto fino ad ora si possono fare le seguenti considerazioni in riferimento alla Figura 3 :

1) la schematizzazione si riferisce a piani sui quali è stata operata la focalizzazione, per ovviare alla dipendenza quadratica data dal termine x2 nel calcolo della pressione;

2) la risoluzione sui piani paralleli al trasduttore decresce con l’aumentare della distanza dal trasduttore, pertanto è conveniente, quando possibile, posizionare il campione biologico a distanze prossime al trasduttore dove la risoluzione diventa dell’ordine della lunghezza d’onda;

3) la larghezza del fascio ultrasonico si riduce aumentando la frequenza, oppure aumentando il diametro del trasduttore.

B.

Approssimazione di Fraunhofer

I risultati ottenuti per la zona di Fresnel sono ovviamente validi per qualunque valore di z. Tuttavia, nel campo lontano o regione di Fraunhofer, l’espressione può essere ulteriormente semplificata. Infatti, tornando all'espressione in forma integrale dell’andamento della

pressionep(x₀,z₀), per distanze

λ >>

2 x 0

z , il contributo dell'esponente può essere trascurato. Ciò

porta ad una forma semplificata del precedente integrale, che risulta essere la trasformata di Fourier dell'apertura del trasduttore e cioè:

∫ − λ π − = = L L dx 0 xx 0 z 2 j e ) 0 z , x ( p 1 c ) 0 z , 0 x ( p

Per un’apertura rettangolare la trasformata di Fourier è data da:

] 1 ) 1 a ( sen [ 2 c ) 0 z , 0 x ( p Ψ Ψ =

dove: (Figura 4). Il primo punto in cui si annulla il campo di pressione, corrisponde allo zero della funzione

0 0 1 =βx /z Ψ ) 1 a (

sen Ψ e cioè: x0=zf λ/2a.

Tale formula è valida per distanze elevate dal trasduttore.

Come già accennato, per operare in campo vicino senza l’inconveniente dovuto al termine quadratico, si introduce un termine proporzionale a x2 nel precedente integrale, ma con segno negativo; la soluzione tecnologica che realizza l’annullamento di tale termine è chiamata focalizzazione. Per distanze superiori a: z = D2/4λ, la focalizzazione non è più necessaria in quanto il termine di sfasamento proporzionale a x2 diventa trascurabile.

2x0=zfλ/a

x0

⏐p(x0,z0)⏐

FIGURA 4: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PRESSIONE SULL’ASSE X0

Risoluzione dell’ordine della lunghezza d’onda è ottenibile a distanze paragonabili, in termini di ordine di grandezze, al diametro della sorgente. Usando gli ultrasuoni come frequenze diagnostiche, la risoluzione sarà dell’ordine di 300 μm, che risulta accettabile per la descrizione a livello d’organo.

A

A

4

4

:

:

C

C

A

A

M

M

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P

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O

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M

M

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S

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,

,

2

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0

0

0

0

5

5

-

-

2

2

0

0

0

0

6

6

]

]

I trasduttori ultrasonici possono essere affiancati in modo da formare un allineamento lineare, allo scopo di raggiungere elevate proprietà direzionali.

Per effettuare una trattazione teorica semplificata del processo di formazione delle immagini ultrasoniche, si ipotizza che:

9 il diametro, o estensione, del trasduttore sia molto maggiore della lunghezza d'onda. Sotto questa assunzione l'onda che si propaga può essere considerata come un estensione della superficie del trasduttore.

9 il coefficiente di attenuazione del mezzo su cui si propaga l’onda sia trascurabile.

Con riferimento alla figura 5 supponiamo che l’allineamento sia disposto lungo l’asse x. Vogliamo studiare il diagramma di emissione del campo ultrasonico lungo la direzione z > 0 emesso da un gruppo di elementi attivi compreso tra –L e +L. Assumiamo che la dimensione di ciascun elemento piezoelettrico lungo l’asse di allineamento sia 2a e la distanza tra gli elementi sia d. 2L x0 z = z0 x z d y z x 2a FIGURA 5.

Supponiamo di poter scrivere la seguente relazione matematica per simulare un allineamento di radiatori

∑

0 altrove

k

avendo introdotto la sequenza di delta di Dirac per simulare la posizione dei trasduttori sull’asse x. La pressione, calcolata come trasformata di Fourier dell’apertura, diventa:

] ) 2 / 2 ( sen ) 2 / 2 N ( sen ][ 1 ) 1 a ( sen [ 2 c ) 0 z , 0 x ( p Ψ Ψ Ψ Ψ =

dove: Ψ₁ =βx₀ /z₀; Ψ₂ =βdx₀ /z₀ , c2 è una costante e il rapporto delle funzioni sen

è la trasformata di Fourier della sequenza di Dirac.

La pressione è quindi il prodotto di due termini, di cui uno legato alla dimensione del singolo elemento piezoelettrico, mentre il secondo termine dipende dalla spaziatura tra gli elementi.

2x0=zfλ/Nd

2x0=zfλ/a

x0

FIGURA 6: RAPPRESENTAZIONE DELL’ANDAMENTO DELLA PRESSIONE SULL’ASSE X0 A DISTANZA Z = Z0

Quanto discusso in precedenza riguarda la formazione di una singola linea di vista del bersaglio in esame e valida nel piano (x,z). L’immagine completa si ottiene quando il gruppo di elementi attivi viene traslato elettronicamente lungo l’asse x (scansione elettronica) in modo da coprire tutto il bersaglio.

Lungo il piano perpendicolare a (x,z) l’estensione del campo è inversamente proporzionale all’altezza degli elementi piezoelettrici.