I VETTORI I VETTORI

(1)

I VETTORI I VETTORI

NellNell’’insiemeinsieme (n volte) si(n volte) si consideri la

consideri la

n n - - pla pla ordinata ordinata

R R

R

Rⁿ = × × ...×

n) 1,2,...,

(i con

), ,...,

,

( x

₁

x

₂

x

_n

x

_i

∈ R =

n) 1,2,...,

(i = xi

n) 1,2,...,

(i = xi

NBNB : un vettore si scrive sia come vettore riga

sia come vettore colonna

) ,..,

( x₁ x_n

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

xn

x

#

1

Tale

Tale nn--plapla, che indichiamo con , che indichiamo con xx, si chiama, si chiama VETTORE

VETTORE di componentidi componenti oo PUNTOPUNTO di coordinatedi coordinate

(2)

ordinata individua nel piano un

punto punto

di coordinate o, equivalentemente, un di coordinate o, equivalentemente, un

vettore

di componentidi componenti

Il suddetto vettore si Il suddetto vettore si

rappresenta mediante rappresenta mediante il il segmento orientatosegmento orientato 0P0P avente il secondo avente il secondo

estremo coincidente estremo coincidente

con il punto

con il punto P(x₁, x₂ ) )

, (x₁ x₂

) ,

( x₁ x₂

2 1, x x

xx

2 2

1

, )

( x x ∈ R

x1

x2

00

PP

(3)

In un determinato negozio sono in vendita

In un determinato negozio sono in vendita n n articoli

articoli che possono essere indicati mediante che possono essere indicati mediante il vettore il vettore xx

mentre la lista dei

mentre la lista dei prezziprezzi unitari può essere unitari può essere indicata con il vettore

indicata con il vettore pp

) ,...,

,

( x₁ x₂ x_n x =

) ,...,

,

( p₁ p₂ p_n p =

ESEMPIO

(4)

OPERAZIONI TRA VETTORI OPERAZIONI TRA VETTORI

1)1)

ADDIZIONE ADDIZIONE

2)2)

MOLTIPLICAZIONE SCALARE MOLTIPLICAZIONE SCALARE

3)3)

PRODOTTO INTERNO PRODOTTO INTERNO

(5)

1) 1) ADDIZIONE ADDIZIONE

Dati i vettori Dati i vettori

e e

il il

vettore somma vettore somma

èè dato per definizionedato per definizione dada

1 2

( , ,..., _n )

x = x x x ^y ⁼ ^{( ,}^{y y}₁ ₂^,..., ^y_n ⁾

1 1 2 2

( , ,..., _n _n )

x + =y x + y x + y x + y

xx++yy yy

xx

(6)

PROPRIETA PROPRIETA ’ ’

1)1) x+y=y+x

∀

x,y

∈

(p. commutativa)(p. commutativa) 2)2) (x+y)+z=x+(y+z)

∀

x,y,z

∈

(p. (p.

associativa) associativa)

3)3) ∃∃! Elemento neutro! Elemento neutro delldell’’addizione che addizione che èè il il vettore nullo

vettore nullo 00=(0,0,=(0,0,……,0),0) Infatti: Infatti:

4)4) ∃∃! Opposto di ! Opposto di xx,, infatti:infatti:

R

n

R

n

1 2

0 ( 0, 0,..., _n 0) R x + = x + x + x + = x ∀ ∈x

( 1,..., _n)

x x x

− = − −

n

1 1 2 2

( ) ( , ,..., _n _n ) 0 R x + − =x x − x x − x x − x = ∀ ∈x

(7)

2) 2) MOLTIPLICAZIONE SCALARE MOLTIPLICAZIONE SCALARE

Dato

λ∈ℜ λ∈ℜ

ed il vettore ed il vettore il il

prodotto prodotto

λ_λxx èè dato per definizionedato per definizione

dada

1 2

( , ,..., _n ) x = x x x

1 2

( , ,...,

_n

)

x x x x

λ = λ λ λ

λλxx xx

(8)

PROPRIETA PROPRIETA ’ ’

1)1)

(u+ (u+ λ λ ) ) x x =u =u x x + + λ λ x x

∀∀u,u,λ∈ℜλ∈ℜ, , ∀∀xx∈∈ 2)2)

λ λ ( ( x x + + y y )= )= λ λ x x + + λ λ

yy

∀λ∈ℜ∀λ∈ℜ,, ∀∀ xx,,yy ∈∈ 3)3)

λ λ ( ( u u x x )=( )=( λ λ u) u) x x

∀∀u,u,λ∈ℜλ∈ℜ, , ∀∀xx∈∈ 4)4)

1 1 x x = = x x

∀∀xx∈∈

R

n

R

n

R

n

R

n

(9)

L L ’ ’ insieme insieme munito delle munito delle operazioni fra vettori

operazioni fra vettori sopra sopra definite

definite acquisisce la acquisisce la

STRUTTURA di STRUTTURA di

R n

SPAZIO SPAZIO

VETTORIALE

(10)

ESEMPIO 1 ESEMPIO 1 Consideriamo

Consideriamo due magazzini due magazzini che che contengono

contengono quattro merci quattro merci nelle quantit nelle quantit à à indicate dai

indicate dai DUE VETTORI DUE VETTORI x x e e y y : : x x =(10,50,75,100) =(10,50,75,100) y y =(23,14,2,19) =(23,14,2,19)

Il Il complesso dei due magazzini complesso dei due magazzini conterr conterr à à quindi le quantit

quindi le quantit à à delle quattro merci delle quattro merci indicate dal

indicate dal VETTORE SOMMA VETTORE SOMMA x x + + y y

x x + + y y =(33,64,77,119) =(33,64,77,119)

(11)

ESEMPIO 2 ESEMPIO 2 Consideriamo una

Consideriamo una operazione operazione finanziaria

finanziaria che alle che alle scadenze 1,2, scadenze 1,2, … … ,n ,n implica movimenti di cassa

implica movimenti di cassa

(con segno (con segno

positivo per le entrate e negativo per le uscite) positivo per le entrate e negativo per le uscite)

di ammontare rispettivamente

di ammontare rispettivamente ^x

¹

^, ^x

²

^,..., ^x

ⁿ

Con il

Con il VETTORE VETTORE x x =( =( - - 500,200,700) 500,200,700) si potrebbe quindi descrivere un

si potrebbe quindi descrivere un titolo titolo che oggi si acquista a 500, tra un anno che oggi si acquista a 500, tra un anno

pagher

pagher à à 200 e tra due anni 700. 200 e tra due anni 700.

(12)

… … continua continua IL VETTORE

IL VETTORE 3 3 x x =( =( - - 1500,600,2100) 1500,600,2100) contiene uscite e entrate derivanti

contiene uscite e entrate derivanti dall dall ’ ’ acquisto di tre titoli acquisto di tre titoli mentre mentre

IL VETTORE

IL VETTORE - - 5 5 x x =(2500, =(2500, - - 1000, 1000, - - 3500) 3500) contiene le entrate presenti e le minori contiene le entrate presenti e le minori

entrate future derivanti dalla

entrate future derivanti dalla vendita di vendita di cinque titoli

cinque titoli

(13)

COMBINAZIONE LINEARE COMBINAZIONE LINEARE

DI VETTORI DI VETTORI

Siano

Siano v_i ∈ Rⁿ (i=1,2,3,(i=1,2,3,……,m),m)

Il VETTORE

si chiama combinazione combinazione lineare

lineare di con coefficienti

1 1 2 2

...

_{m m}

v = a v + a v + + a v

1

,

2

,...,

_m

v v v

ℜ

m

∈ a a

a

₁

,

₂

,...,

(14)

… … osservazione osservazione

Ogni vettore

Ogni vettore èè combinazione combinazione lineare dei

lineare dei vettori fondamentalivettori fondamentali

……

x ∈ Rn

Infatti:

dove i coefficienti della combinazione dove i coefficienti della combinazione

lineare sono le componenti del vettore lineare sono le componenti del vettore

1 2 1

2

( , ,..., ) (1, 0,..., 0) (0,1,..., 0) ... (0, 0,...,1)

n

x x x x x

x x

= = +

+ + +

1 (1, 0,..., 0)

e = e₂ = (0,1,..., 0) (0, 0,...,1)

en =

(15)

SOTTOSPAZIO DI UNO SOTTOSPAZIO DI UNO

SPAZIO VETTORIALE SPAZIO VETTORIALE

Dati i vettori

Dati i vettori v_i ∈ Rⁿ (i=1,2,3,(i=1,2,3,……,m),m)

In particolare V

In particolare V è è chiuso chiuso rispetto alla rispetto alla somma

somma e alla e alla moltiplicazione scalare moltiplicazione scalare definite in

definite in ⇓ ⇓

{

}

1 1 2 2

1 2

... ; , ,...,

m m

n m

V a v a v a v a a a

= + + +

∈ℜ ⊂ ℜ

R

n

(16)

⇓ ⇓

V V è è un sottospazio di un sottospazio di

Sono una famiglia di Sono una famiglia di

GENERATORI

GENERATORI di V o un di V o un SOSTEGNO

SOSTEGNO

R

n

{ ^{v v} ₁ ^, ₂ ^,..., ^v _m }

(17)

ESEMPIO ESEMPIO

Siano

Siano vv=(1,2)=(1,2)∈∈

R

² ed ed r=cr=cv,v, cc∈ℜ∈ℜ

La retta rr ÈÈ UNUN SOTTOSPAZIO VETTORIALESOTTOSPAZIO VETTORIALE

di

La retta ss è sottoinsieme di ma NON NON ÈÈ SOTTOSPAZIO VETTORIALE

SOTTOSPAZIO VETTORIALE di (per es.

v∈s ma 0⋅v∉s) poiché s non è chiusa rispetto alla moltiplicazione scalare.

R2

rr

ss vv

R2

(18)

… … osservazione osservazione

E E ’ ’ interessante notare che interessante notare che per per ogni sottospazio

ogni sottospazio

è è possibile determinare dei possibile determinare dei vettori

vettori che che

generi V generi V

R

n

V ∈

1

,

2

,...,

_m

v v v

(19)

VETTORI LINEARMENTE VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

DIPENDENTI E E INDIPENDENTI INDIPENDENTI

Def Def . . I vettori I vettori sono sono LINEARMENTE DIPENDENTI LINEARMENTE DIPENDENTI

se, e solo se,

se, e solo se, è è possibile scrivere possibile scrivere **() ()**

con almeno un coefficiente con almeno un coefficiente

1, 2,..., _k ⁿ x x x ∈ℜ

1 1 2 2

1

0 (c ... 0)

k

m m k k

m

c x x c x c x

=

= + + + =

∑

≠ 0 cm

(20)

Def Def . . I vettori sono I vettori sono LINEARMENTE INDIPENDENTI LINEARMENTE INDIPENDENTI

**se, e solo se, la () vale solo con i se, e solo se, la () vale solo con i**

coefficienti tutti nulli coefficienti tutti nulli

equivalentemente equivalentemente

Def Def . . I vettori sono I vettori sono LINEARMENTE DIPENDENTI

LINEARMENTE DIPENDENTI se, e se, e solo se, uno di essi può essere espresso solo se, uno di essi può essere espresso

come

come combinazione lineare combinazione lineare degli altri degli altri

IN CASO CONTRARIO SI DICONO

IN CASO CONTRARIO SI DICONO LINEARMENTE LINEARMENTE INDIPENDENTI

INDIPENDENTI

1

,

2

,...,

_k

x x x ∈ℜ

1

,

2

,...,

_k ⁿ

x x x ∈ℜ

(21)

ESEMPIO 1 ESEMPIO 1

2

1 2 3

1 0 2

, ,

1 1 1

v ⎛ ⎞ v ⎛ ⎞ v ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ∈ℜ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

0 2 0 , ,

linearmente dipendenti c v c v c v

v v v v v v

+ + =

− − = ⇒

3

2

1 2

v = v − v

(22)

ATT. ATT.

In generale se i vettori sono linearmente dipendenti non

linearmente dipendenti non èè detto che detto che ognuno di essi possa essere scritto come ognuno di essi possa essere scritto come

combinazione lineare degli altri (almeno combinazione lineare degli altri (almeno uno)uno)

Per esempio, i vettori

sono

linearmente dipendenti linearmente dipendenti

^{, infatti}

ma non può essere

scritto come combinazione lineare degli altri

2

1 2 3

2 6 1

, ,

3 9 1

v ⎛ ⎞ v ⎛ ⎞ v ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ∈ℜ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 0 1 3

3 2 9

6 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 1

(23)

⇒ i vettori sono

linearmente dipendenti linearmente dipendenti

1 2 3

1 0 0

, ,

2 1 0

v ⎛ ⎞ v ⎛ ⎞ v ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ESEMPIO 2 ESEMPIO 2

3 0 1 0 2

v = v + v

Osservazione:

Osservazione: Se una famiglia di vettori Se una famiglia di vettori contiene il

contiene il vettore nullovettore nullo, questi sono , questi sono sicuramente

sicuramente linearmente dipendentilinearmente dipendenti infatti infatti il vettore nullo può essere sempre scritto il vettore nullo può essere sempre scritto

come combinazione lineare degli altri : come combinazione lineare degli altri :

basta prendere i coefficienti tutti nulli basta prendere i coefficienti tutti nulli

(24)

⇒ i vettori sono

linearmente linearmente dipendenti

dipendenti

( può essere scritto come ( può essere scritto come combinazione lineare di )

combinazione lineare di )

1 2

1 3

2 , 6

v ⎛ ⎞ v ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ESEMPIO 3 ESEMPIO 3

2 2 1

v = v

Osservazione:

Osservazione: DueDue vettori non nulli sono vettori non nulli sono linearmente dipendenti se hanno le

linearmente dipendenti se hanno le

componenti proporzionali componenti proporzionali

v2

v1

(25)

Se ad un insieme di Se ad un insieme di

vettori linearmente dipendenti

vettori linearmente dipendenti si si

aggiungono altri vettori aggiungono altri vettori,,

la dipendenza lineare si conserva la dipendenza lineare si conserva

ALCUNE PROPRIETA

ALCUNE PROPRIETA ’ ’ (1) (1)

(senza dimostrazione) (senza dimostrazione)

Se ad un insieme di Se ad un insieme di

vettori linearmente indipendenti vettori linearmente indipendenti si si

tolgono dei vettoritolgono dei vettori,,

ll’’indipendenza lineare si conservaindipendenza lineare si conserva

(26)

ssonoono

linearmente dipendenti linearmente dipendenti

⇓ ⇓

sono ancora sono ancora

linearmente dipendenti linearmente dipendenti

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

4 , 2 2 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

0 , 6 1 , 5 4 , 2 2 1

ssonoono

linearmente linearmente

indipendenti indipendenti

⇓ ⇓

linearmente linearmente

indipendenti indipendenti

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 0 3 ,

1 0 1 ,

2 1 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 1 ,

2 1 1

(27)

Dato un insieme di

vettori vettori

linearmente dipendenti,

se ad uno se ad uno di essi si

di essi si sostituisce un suo multiplo, sostituisce un suo multiplo,

la dipendenza lineare si conserva la dipendenza lineare si conserva..

(2) (2)

Con multipli non nulli, lo stesso vale se i Con multipli non nulli, lo stesso vale se i

vettori

sonosono

linearmente indipendenti linearmente indipendenti

1

,

2

,...,

_k ⁿ

x x x ∈ℜ

(28)

ssonoono

linearmente linearmente dipendenti

dipendenti

⇓ ⇓

linearmente dipendenti linearmente dipendenti

ssonoono

linearmente linearmente

indipendenti indipendenti

⇓ ⇓

linearmente indipendenti linearmente indipendenti

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 4 ,

1 2 ,

0 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

6 12

6 ,

1 2 1 , 0 1 0

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 0 ,

0 3 0 ,

2 0 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

4 8 0 ,

0 3 0 ,

2 0 1

(29)

Dato un insieme di

vettori vettori

linearmente dipendenti,

se ad uno se ad uno di essi si somma una

di essi si somma una combinazione combinazione lineare degli altri,

lineare degli altri, la dipendenza la dipendenza lineare si conserva

lineare si conserva..

(3) (3)

Lo stesso vale se i

vettori vettori

sonosono

linearmente indipendenti linearmente indipendenti

1

,

2

,...,

_k ⁿ

x x x ∈ℜ

(30)

ssonoono

linearmente linearmente dipendenti

dipendenti

⇓ ⇓

sono ancora sono ancora

linearmente dipendenti linearmente dipendenti

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 4 2 ,

1 2 1 ,

0 1 0

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 4 2 ,

1 2 1 ,

2 0

4 2

1

2 0

2 4 2 ,

1 2 1 ,

2 4 2

1 2 1

0 1 0

2 1

c c

(31)

Se i

vettori vettori

sono linearmente indipendenti sono linearmente indipendenti , ,

allora allora

sono linearmente dipendenti sono linearmente dipendenti , ,

se, e solo se,

se, e solo se, può essere preso come può essere preso come COMBINAZIONE LINEARE di

COMBINAZIONE LINEARE di

(4) (4)

1

,

2

,...,

_k ⁿ

x x x ∈ℜ

1

,

2

,...,

_k

,

ⁿ

x x x y ∈ℜ

y

1

,

2

,...,

_k

I VETTORI I VETTORI