Esercizi di Algebra Lineare Vettori: prodotto scalare
Anna M. Bigatti 27 settembre 2012
Il piano reale
Fissiamo nel piano R2 un sistema di coordinate ortogonali monometrico.
Esercizio 1 Descrivete graficamente e algebricamente i seguenti insiemi: fate i conti a mano e disegnate le soluzioni verificandone la coerenza. (Quali problemi si risolvono tramite sistemi lineari?)
(a) punti (x, y) che soddisfano x = 1
(b) punti (x, y) che soddisfano x = 1 e y = x (c) punti (x, y) che soddisfano 2x − 3y = 1 (d) punti (x, y) che soddisfano xy = 0 (e) punti (x, y) che soddisfano xy − x = 0
Prodotto scalare
Ora definiamo una strana moltiplicazione:
Definizione 2 Il prodotto scalare di due vettori u = (a1, a2) e v = (b1, b2) in R2 `e lo scalare (un numero)
u · v = (a1, a2) · (b1, b2)def= a1· b1+ a2· b2
Lemma 3 Dati u e v vettori in R2 abbiamo che (a) La lunghezza (o modulo) di v `e √
v · v (b) u e v sono ortogonali se e solo se u · v = 0 Dim. Siano u = (a1, a2) e v = (b1, b2) .
(a) La lunghezza di v `e |v| =pa21+ a22=p(a1, a2) · (a1, a2) =√ v · v (b) Consideriamo i punti A(a1, a2) , B(b1, b2) , O(0, 0) .
Allora u = A − O e v = B − O , e la somma `e il vettore libero u + v = (a1+ b1, a2+ b2) , quindi
|u+v|2=p
(a1+ b1)2+ (a2+ b2)2= q
a21+ b21+ 2a1b1+ a22+ b22+ 2a2b2= |u|2+|v|2+2u·v Possiamo applicare il teorema di Pitagora se e solo se u e v sono perpendicolari ( u ⊥ v ), nel qual caso abbiamo
|u + v|2= |u|2+ |v|2
1
e quindi u · v = 0 ⇐⇒ u ⊥ v
u t Dati u , v , w vettori in R2 e β ∈ R valgono le seguenti propriet`a:
(a) Simmetria: u · v = v · u
(b) Linearit`a: (β · u) · v = β · (u · v) e (u + v) · w = u · w + v · w (c) Positivit`a: u · u ≥ 0 ; e u · u = 0 se e solo se u = 0
Definizione 4 Il versore di v `e il vettore di modulo 1 e direzione e verso uguale a v . vers(v) = v
|v|
Esercizio 5 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano. Descrivete graficamente e algebricamente i seguenti insiemi: fate i conti a mano e disegnate le soluzioni verificandone la coerenza. (Quali problemi si risolvono tramite sistemi lineari?)
(a) vettori perpendicolari al vettore (3, 4).
(b) vettori perpendicolari a entrambi i vettori (2, 2) e (0, 1).
(c) vettori di lunghezza 2 e perpendicolari a (0, 1).
(d) calcolare il perimetro del triangolo con vertici in A = (1, 2) , B = (3, 1) , C = (−1, −1) . Esercizio 6 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano. Determinare per quali valori reali del parametro b il triangolo ABC con A = (1, −2) , B = (1, 0) , C = (0, b)
`e un triangolo rettangolo
Esercizio 7 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano e si conside- rino i vettori u = (2, 2) , v = (−1, 2) .
(a) Trovare altri tre vettori che hanno lo stesso modulo di v . (b) Trovare altri tre vettori che hanno la stessa direzione di v . (c) Descrivere l’insieme dei vettori perpendicolari a u .
Esercizio 8 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nel piano e si consideri il vettore u = (10, 30) .
(a) Calcolare v = vers(u) (b) Calcolare v0 = vers(−u)
(c) Trovare un vettore w perpendicolare a v
(d) Esiste un vettore di lunghezza minima tra i vettori non nulli e paralleli a u ?
Lo spazio reale
Esercizio 9 Descrivete graficamente e algebricamente i seguenti insiemi: fate i conti a mano e disegnate le soluzioni verificandone la coerenza. (Quali problemi si risolvono tramite sistemi lineari?)
(a) punti (x, y, z) che soddisfano x = 1
(b) punti (x, y, z) che soddisfano x = 1 e y = 0 (c) punti (x, y, z) che soddisfano xy = 0 (d) punti (x, y, z) che soddisfano xy − x = 0
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Prodotto scalare
Il prodotto scalare `e definito in modo analogo nello spazio
Definizione 10 Il prodotto scalare di due vettori u = (a1, a2, a3) e v = (b1, b2, b3) in R3
`e lo scalare
u · vdef= a1· b1+ a2· b2+ a3· b3
Esercizio 11 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nello spazio.
Descrivete i seguenti insiemi:
(a) vettori perpendicolari al vettore (1/2, −3, 0) . (b) vettori perpendicolari al versore di (1/2, −3, 0) . (c) vettori perpendicolari ai vettori (2, −1, 2) e (0, 0, 3) . (d) vettori lunghi 3 e perpendicolari a (0, 1, 0) e (1, 0, 0) . (e) vettori perpendicolari a (1, 1, 0) con prima coordinata nulla.
Esercizio 12 Fissato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nello spazio, siano dati i due vettori u1= (1, −1, 1) , u2= (1, −2, 3) .
(a) Si trovi un vettore w non nullo parallelo a u2 e di lunghezza 16√ 14 . (b) Si trovi un vettore v non nullo ortogonale ad entrambi.
Esercizio 13 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nello spazio e si con- siderino i tre vettori u1= (1, 2, 0) , u2= (2, 4, 1) , u3= (4, 9, 1) .
(a) Trovare tutti i vettori che sono perpendicolari sia a u1 che a u2. (b) Trovare un vettore v che abbia le due seguenti propriet`a:
|v| = |u2| e u1· u2< u1· v
Esercizio 14 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nello spazio. Determi- nare per quali valori del parametro k esistono infiniti vettori perpendicolari ai vettori (k, 1, k) , (k, 1, 1) , (0, k, 0) , (0, 1, k − 1) .
Esercizio 15 Sia dato un sistema di coordinate ortogonali monometrico nello spazio. Determi- nare per quali valori del parametro k esistono infiniti vettori perpendicolari a (k, 1, k) , (k, 0, 1) , (k, 0, 0) , (1, 0, k) .
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