Capitolo 9 Caso Studio: Metodo di Analisi

(1)

Caso Studio:

Metodo di Analisi

9.1 Introduzione

Il sisma è un fenomeno dinamico che imprime alle fondazioni degli spostamenti variabili nel tempo tali da indurre nelle masse della struttura delle forze d’inerzia proporzionali alle stesse e alle corrispondenti accelerazioni.

L’analisi dinamica modale è basata sulla ricerca dei modi propri di vibrazione di una struttura e i periodi di ogni singolo modo ne sono i risultati.

Il termine modale indica che il complesso modo di vibrare di una struttura ad n gradi di libertà viene scomposto isolando gli n modi di vibrare, relativamente semplici, che lo compongono.

Le vibrazioni indotte nella struttura nascono dalla sovrapposizione di modi di vibrare sia traslazionali che torsionali, quest’ultimi trascurabili nel caso di edifici regolari in pianta e in altezza.

Se tale metodo di calcolo è associato a un qualunque spettro di risposta, che sia per esempio l’azione sismica in una qualsiasi direzione, l’analisi è in grado di valutare i contributi massimi di sollecitazione e spostamento di ciascun modo e combinando opportunamente i valori ottenuti, avendo supposto il comportamento della struttura elastico lineare, fornisce la risposta massima del sistema all’azione.

L’analisi dinamica modale riferita allo spettro di risposta di progetto ed applicata ad un modello tridimensionale della struttura è, per la normativa, il metodo normale da utilizzare per la ricerca delle sollecitazioni di progetto.

9.2 Analisi Modale

L’analisi dinamica modale è basata sulla ricerca dei modi propri di vibrare di una struttura e i periodi di ogni singolo modo ne sono i risultati.

Questo tipo di analisi deve essere applicato ad un modello tridimensionale della struttura a meno che non siano rispettati i criteri di regolarità in pianta: in questo caso è sufficiente studiare due modelli piani separati.

La maggiore differenza con l’analisi statica equivalente consiste nel fatto che nel calcolo dei parametri di risposta del sistema si tiene conto delle caratteristiche dinamiche della struttura tramite l’utilizzo dei modi propri di vibrare.

L’analisi modale prevede di calcolare, tramite l’utilizzo dello spettro di risposta di pseudo-accelerazione, i valori massimi di sollecitazioni e spostamenti associati a ciascun modo proprio di vibrare della struttura supposta elastica lineare e quindi di combinarli in modo opportuno.

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Il numero di modi propri di vibrare di una generica struttura è pari ai gradi di libertà del sistema, nella progettazione però non è possibile prendere in considerazione tutti gli n modi di vibrare tenuto conto che n può assumere un valore elevato e che solo i primi forniscono un contributo sostanziale all’assorbimento dell’azione sismica. Quindi per sapere quanti modi occorre considerare ai fini dell’analisi, è necessario definire un parametro di misura, detto massa partecipante, definita come la massa che moltiplicata per l’ordinata spettrale fornisce il taglio alla base dell’i-esimo modo. La somma delle masse partecipanti di tutti i modi è pari alla massa totale dell’edificio. La massa partecipante espressa come percentuale di quella totale indica l’entità complessiva del contributo del singolo modo. Modi con massa partecipante molto piccola danno contributi in genere trascurabili e per questo motivo la normativa dà alcune indicazione per capire quali modi considerare. Il numero di modi da considerare deve essere tale da garantire che almeno una frazione pari all’85% della massa totale sia partecipante; in alternativa è possibile trascurare i modi la cui massa eccitata sia inferiore al 5% di quella totale. Se non sono analizzati tutti i modi, questa sicurezza si raggiunge solo se la massa considerata è almeno pari all’95%.

Nel caso di modelli tridimensionali questa condizione deve essere verificata per entrambe le direzioni principali.

Per definire le sollecitazioni di progetto, questo metodo utilizza la combinazione degli effetti derivanti dall’applicazione statica di forze orizzontali, la cui distribuzione in altezza sia proporzionale ai vari modi di vibrare della struttura.

(

j j

)

Ad j j sj

M

g

S

T

F

max = ⋅Φ ⋅

γ

⋅ ⋅ ,

ξ

Le sollecitazioni ottenute saranno combinate secondo la regola della CQC (combinazione quadratica completa), definita in normativa al punto 7.3.3.1.

∑ ∑

⋅ ⋅ = i j j i i j

E

ρ

con:

(

)

(

₂

)

₂

(

)

2 2 3 2 1 4 1 1 8 i j i j i j i j i j i j

β

ξ

β

ξ

ρ

− + − + =

definito come il coefficiente di correlazione tra il modo

i

ed il modo

j

, che ha valore compreso tra 0 e 1 ed è una funzione simmetrica;

β

_{i j} è il rapporto tra le frequenze

ω

_i e

ω

_j dei due modi considerati;

ξ

è il coefficiente di smorzamento che generalmente si può assumere uguale per i vari modi.

Questo tipo di analisi, pur facendo riferimento ad un’applicazione statica del sistema di forze, tiene conto, al contrario dell’analisi statica lineare, come si è già detto, dei modi superiori di vibrare, fornendo risultati meglio approssimati.

(3)

In definitiva la normativa riassume il procedimento di tale analisi nei seguenti punti fondamentali:

- determinazione dei modi di vibrare della struttura (analisi modale);

- calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare individuati;

- combinazione di questi effetti.

Inoltre nel caso di analisi modale su modelli spaziali (applicabile ad edifici non regolari) bisognerà tenere conto l’eccentricità fra centro di massa e centro delle rigidezze, sia quella accidentale

i

e

sia quella effettiva.

9.3 Analisi Modale dell’Edificio in esame: Modi di Vibrare

L’analisi dinamica modale è stata applicata ad un modello 3d realizzato dall’assemblaggio di telai equivalente. Tale modello è stato inserito all’interno del programma di calcolo Midas Gen, dove, in seguito all’impostazione delle sezioni e delle proprietà dei singoli elementi e dopo aver definito i carichi gravanti sulla struttura, è stato possibile definire i modi di vibrare caratteristici della struttura.

Per raggiungere i minimi di massa partecipante stabiliti per normativa si sono dovuti considerare 20 modi di vibrare con i quali abbiamo ottenuto:

• Massa Partecipante lungo X pari a 85.83% • Massa Partecipante lungo Y pari a 86.75%

• Massa Partecipante per la rotazione in Z pari a 86.74%

Secondo la direzione X il modo di vibrare più rilevante è stato il 2° che ci permette di valutare una massa pari 73,16%.

Figura 9.1: Immagine estrapolata dal programma Midas che mostrano il 1° modo di vibrare della struttura.

(4)

(5)

In direzione Y il modo di vibrare più indicativo è stato il 1° dove si raggiunge una massa partecipante di 51.54%.

Figura 9.5 Immagine estrapolata dal programma Midas che mostrano il 2° modo di vibrare della Struttura.

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Figura 9.6 Immagine estrapolata dal programma Midas che mostrano il 2° modo di vibrare della. Struttura.

Per quanto riguarda la rotazione attorno all’asse Z si è riscontrato un modo di vibrare superiore agli altri e pari al 51.17% della massa partecipante rimando sempre nei modi di vibrare descritti in precedenza.

Figura 9.7: Immagine estrapolata dal programma Midas che mostra il 3° modo di rotazione all’asse Z della struttura

(7)

Figura 9.8: Immagine estrapolata dal programma Midas che mostra il 3° modo di rotazione all’asse Z della struttura.

Figura 9.9: Immagine estrapolata dal programma Midas che mostra il 3° modo di rotazione all’asse Z della struttura.

9.4 Modellazione dell’Azione Sismica mediante lo spettro di risposta

La valutazione della risposta sismica di una struttura intelaiata può essere condotta agevolmente mediante la tecnica dello spettro di risposta. Si consideri a tal fine un telaio costituito da un traverso rigido di massa M sostenuto da piedritti elastici di lunghezza h e di massa trascurabile, deformabili solo nel piano del telaio stesso (Figura 9.1). Dal punto di vista dinamico esso è equivalente ad un oscillatore elementare a un grado di libertà. Tale schema non è rappresentativo di strutture di pratico interesse, tuttavia per la sua semplicità consente di dare significato intuitivo ai parametri che definiscono il comportamento dinamico, e di chiarire gli aspetti elementari della risposta delle strutture durante un sisma. Per l’ipotesi di flessibilità delle colonne rispetto agli allungamenti (ovvero

(8)

δ>>ω) e di indeformabilità del traverso, quest’ultimo può compiere, rispetto al terreno, solo spostamenti orizzontali.

Figura 9.10: sistema ad un grado di libertà.

Sia K la costante elastica flessionale complessiva dei sostegni: K·x(t) è la reazione esercitata dai sostegni sulla massa, essendo x(t) lo spostamento di questa rispetto al terreno.

La dissipazione del sistema nel suo moto sia definita da uno smorzatore viscoso, nel quale si ipotizza che la forza viscosa vari linearmente con la velocità dx(t)/dt secondo la costante moltiplicativa C. Anche questa azione, come la precedente, se di valore positivo ha verso opposto a quello delle x positive.

Quando il terreno compie degli spostamenti orizzontali, y(t), nel piano del telaio, la massa M si mette pure in movimento per effetto delle forze che su di essa esercitano i sostegni elastici e lo smorzatore viscoso. Lo scopo è quello di calcolare lo spostamento x(t) della massa durante il terremoto, noti che siano la funzione di eccitazione ÿ(t) (accelerogramma) e le costanti del sistema M, K, C.

Lo spostamento assoluto della massa M è dato da x(t) - y(t), per cui l'equazione del moto del sistema si scrive:

(1)

ovvero:

(2)

ove si è messo in evidenza, come forza esterna impressa al sistema, il termine noto M·ÿ. Le condizioni iniziali sono:

(3). La relazione (2) può essere riscritta nella forma:

(4) dove si è indicato con:

(5)

(6)

M

h

(9)

rispettivamente, la frequenza angolare naturale e il rapporto di smorzamento viscoso del sistema. Dalla (5) il periodo naturale del sistema vale:

(7).

9.4.1 Spettro di risposta in termini di spostamento

Nota la (4), per fissato accelerogramma ÿ(t), è possibile definire la storia di x(t), ossia la funzione che, istante per istante, definisce lo spostamento (risposta) del traverso del telaio. In generale, tuttavia, non interessa conoscere la descrizione completa della funzione x(t) (Time History), ma è sufficiente conoscere il valore massimo xmax che tale funzione raggiunge durante l'evento

sismico ad un certo istante tS, ovvero sia xmax=x(tS). L’istante tS è il valore temporale per il quale si

verifica il picco della risposta xmax dell’oscillatore. Ripetendo il procedimento facendo ora variare il

periodo T0 e riportando in un diagramma i valori xmax al variare di T0, si ottiene il cosiddetto spettro di

risposta in termini di spostamento corrispondente alla storia di carico ÿ(t). L’importanza di questo diagramma consiste nel fatto che se il sistema fosse composto da un portale semplice (un solo grado di libertà) si potrebbe ottenere il valore massimo dello spostamento, cioè lo spostamento di progetto, senza necessità di integrare l’equazione del moto. Questo perché una volta noto lo spettro di risposta, le massime sollecitazioni nel portale durante l’azione sismica ÿ(t) potranno essere calcolate a partire da uno spostamento del traverso pari a xmax, ovvero per una forza nei supporti della struttura pari a

K·xmax (forza statica equivalente).

9.4.2 Spettro di risposta in termini di accelerazione

Come detto, la forza statica equivalente, cioè la forza che agendo staticamente è in grado di produrre lo stesso stato di sforzo provocato dal sisma nei supporti della struttura, è K·xmax. Si

definisce spettro di risposta in termini di accelerazione Sa il rapporto tra K·xmax e la massa M:

(8)

e quindi lo si ottiene come rapporto tra la massima forza di inerzia orizzontale che agisce sulla massa e la massa stessa. In termini dimensionali esso equivale ad una accelerazione. Dalle relazioni (5) e (7) si può esprimere la (8) in funzione del periodo proprio T0:

(9).

Allo scopo di illustrare l’andamento qualitativo di uno spettro di risposta in termini di accelerazioni si riporta nella

Figura 9.2 l’accelerogramma relativo alla registrazione di El Centro (1940) caratterizzata da un’accelerazione di picco al suolo ag pari a 0,348g.

(10)

Figura 9.11: accelerogramma del sisma di El Centro (1940).

Pertanto, una volta fissato l’accelerogramma ÿ(t) e lo smorzamento ξ, tramite lo spettro di risposta in spostamento si ottiene xmax per un determinato valore di T0, e con la (9) si ottiene il valore di Sa per

tale T0. Ripetendo il procedimento per diversi valori di T0 e riportando in un diagramma i valori di Sa

in funzione di T0 si ottiene la curva che rappresenta lo spettro di risposta in termini di accelerazione

dell’oscillatore semplice (Figura 9.3). Il valore di Sa per T0 = 0, per ragioni fisiche, è pari proprio al

valore dell’accelerazione di picco al suolo 0,348g (valore di ancoraggio dello spettro). Per questo particolare accelerogramma lo spettro presenta, nel campo dei periodi medio-bassi, amplificazioni dell’accelerazione di picco con valori massimi di Sa pari a circa 2,6ag.

Figura 9.12: spettro di risposta in termini di accelerazione del sisma di El Centro (1940) per uno smorzamento ξ=5%.

(11)

La relazione (9) vale per un particolare valore del rapporto di smorzamento ξ, infatti al variare del parametro ξ si ottengono curve diverse, ovvero aumentando lo smorzamento diminuiscono le accelerazioni, quindi le sollecitazioni. Ad esempio nella Figura 9.4 si riporta lo spettro di risposta del sisma di El Centro per valori di ξ pari a 1%, 10% e 20%.

Figura 9.13: spettri di risposta in accelerazione del sisma di El Centro (1940) per diversi valori del rapporto di smorzamento.

9.4.3 Significato dello spettro di risposta

Si può facilmente vedere che lo spettro di risposta in termini di accelerazioni riporta, per un certo valore di ξ ed al variare del periodo T0 dell’oscillatore semplice, i valori massimi Sa

dell’accelerazione della massa M durante l’eccitazione sismica. Infatti, nell'istante nel quale si verifica lo spostamento massimo, la velocità è nulla, per cui dalla (1):

(10)

ovvero:

(11).

Il segno

≅

sta ad indicare che nell'istante nel quale la velocità è nulla, è massimo x(t), ma non necessariamente raggiunge il suo massimo il termine a primo membro. Tenendo presente la relazione (8) che definisce Sa, l’espressione (11) può essere riscritta nella forma:

(12).

Quest'ultima è una relazione approssimata, ben verificata nella maggior parte dei casi. La (12) è comunque confortata dai risultati di indagini numeriche eseguite nel campo delle applicazioni che interessano l'Ingegneria Civile. Essa indica che lo spettro rappresenta, con buona approssimazione, la massima accelerazione assoluta che la massa del sistema subisce per effetto del moto sismico del suolo.

Moltiplicando Sa per la massa M si ottiene quindi il valore massimo della forza d’inerzia indotta dall’eccitazione sismica. Pertanto, lo spettro di risposta in termini di accelerazioni fornisce un’informazione fondamentale per il progetto in zona sismica, e cioè il livello delle forze indotte dall’azione sismica.

Dall'esame degli spettri di risposta ottenuti da quasi tutti i sismi reali, di cui si possiedono gli accelerogrammi, si traggono le seguenti considerazioni:

(12)

- se la struttura è molto rigida (T0≅0), il suo moto coincide con il moto del terreno, e la massima

accelerazione subita dalla massa M coincide con la massima accelerazione del terreno, per cui Sa=ÿmax

(ovvero coincide con ag);

- se la struttura è molto deformabile, la massima accelerazione subita dalla massa M è inferiore al valore della massima accelerazione del terreno, per cui Sa<ÿmax;

- se la struttura ha valori del periodo proprio T0 intermedi, la massima accelerazione subita dalla

massa M, supera notevolmente la massima accelerazione del terreno, per cui Sa>ÿmax.

Si conclude allora che i valori dello spettro sono più elevati quanto minore è lo smorzamento. L'influenza dello smorzamento è sensibile per strutture poco smorzate. Per strutture con smorzamento attorno al 20% dello smorzamento critico, od oltre, una variazione di ξ non produce sensibili variazioni di Sa.

9.4.4 Importanza dello spettro di risposta

Come si è visto l’utilizzo dello spettro di risposta dovrebbe a rigore essere applicato soltanto a sistemi ad un grado di libertà. Come anticipato, infatti, la (4) corrisponde ad uno schema strutturale assai semplice, per cui si presta direttamente alle applicazioni pratiche solo nel caso di costruzioni molto semplici. E’ ben noto invece che le strutture reali sono schematizzabili come sistemi complessi a molti gradi di libertà. L’impiego dello spettro di risposta nell’analisi dinamica riveste tuttavia notevole importanza nell'Ingegneria Sismica perché, tramite l'Analisi Modale, la risoluzione di strutture più complesse, a N gradi di libertà, può in generale essere ricondotta alla risoluzione di N sistemi, ciascuno a un grado di libertà. Per ognuno di questi sistemi è possibile poi valutare la risposta massima applicando la procedura appena descritta.

Nella realtà una storia di accelerazioni ÿ(t) è poco significativa per un utilizzo pratico in sede progettuale. La forma di uno spettro non può essere, ovviamente, quella relativa ad un singolo evento sismico; essa viene definita, mediante studi di tipo probabilistico, facendo riferimento all’insieme degli eventi che possono verificarsi in una certa zona. E questo è ciò che è stato fatto in passato da molti studiosi di Ingegneria Sismica, ossia quello di calcolare gli spettri di risposta per moltissime registrazioni di accelerazioni sismiche ÿ(t) (opportunamente normalizzate). I risultati di tali studi, ottenuti eseguendo opportune procedure statistiche, sono stati utilizzati per creare gli spettri di risposta elastici, ovvero spettri di risposta ricavati mediando i valori dei corrispondenti spettri di risposta ottenuti da diversi accelerogrammi.

Da quanto detto in precedenza la caratterizzazione dell’azione sismica mediante uno spettro di risposta elastico in termini di accelerazione Se (Figura 9.5) richiede:

- la definizione di una forma spettrale normalizzata coerente con il meccanismo generatore e con le condizioni morfologiche e geotecniche del sito;

- il valore dell’accelerazione di picco al suolo ag, al quale “ancorare” lo spettro, rappresentativo della pericolosità sismica del sito, operante come fattore di scala della forma normalizzata.

(13)

Figura 9.14: spettro di risposta elastico in accelerazione.

Gli spettri di risposta forniti dalle Normative Sismiche di varie nazioni forniscono quindi al progettista in modo diretto e con uno sforzo relativamente modesto, connesso alla valutazione del periodo proprio e dello smorzamento, una variabile, come lo spostamento o l’accelerazione, che risulta utile per ricavare le sollecitazioni di progetto.

9.4.5 Duttilità e spettro di risposta di progetto

Il terremoto da considerare in fase di progetto viene normalmente definito tramite uno spettro di risposta e non attraverso registrazioni dell'accelerazione del terreno. Lo spettro di risposta, in tal caso, rappresenta gli effetti della famiglia dei terremoti possibili per il sito e può essere ottenuto come inviluppo degli spettri di risposta dei terremoti considerati rappresentativi, oppure come spettro di risposta medio, a seconda degli scopi che si perseguono: un tale spettro viene definito spettro di

risposta di progetto.

Per definire tale spettro si consideri una forza F esterna applicata alla massa M del solito telaio. Si supponga, inoltre, che il diagramma F-x sia di tipo elasto-perfettamente plastico, con un valore ultimo F0 (Figura 9.6).

Figura 9.15: diagramma F-x elasto-perfettamente plastico.

Sia xmax lo spostamento al raggiungimento del quale si ha un degrado riconoscibile della

struttura. Il rapporto:

(14)

è definito duttilità della struttura, con x0 spostamento che definisce il limite elastico,

corrispondente a F0. La duttilità rappresenta quindi la capacità di resistenza della struttura oltre il

limite elastico. Se la struttura non ha un comportamento riconducibile allo schema elasto-perfettamente plastico, e se la forza F è una forza di natura alternata, variabile nel tempo, il comportamento può essere più complesso. Tuttavia è ancora possibile individuare un valore dello spostamento xmax oltre il quale si ha un degrado limite, e ancora si definisce duttilità il rapporto tra

xmax e lo spostamento al limite elastico.

Se F è una forza esterna, applicata staticamente, al raggiungimento del valore F0 la struttura

diventa un meccanismo, e gli spostamenti diventano indefiniti: è questa la condizione di collasso. Sia ora F=F(t) una forza applicata dal movimento sismico ai piedritti, caratterizzato da un accelerogramma ÿ(t) scelto in modo tale che F raggiunga per un breve istante il valore F0. Questa

condizione di carico non necessariamente coincide con il collasso della struttura. E' una condizione raggiunta per un breve tempo, durante il quale la struttura ha uno spostamento attorno al valore limite x0 e può avere uno spostamento residuo non nullo.

Applicando alla struttura un accelerogramma c·ÿ(t), con c > 1, gli spostamenti massimi saranno maggiori di x0, ma ancora la struttura potrà essere dichiarata agibile, ancorché danneggiata, purché lo

spostamento massimo sia inferiore al valore xmax entro il quale la struttura è duttile.

Si può dimostrare che esiste una semplice relazione tra la duttilità μ, lo spostamento massimo xmax e il coefficiente moltiplicativo c. Ciò consente di evitare di dover compiere analisi non-lineari in

fase di progetto, e stabilisce una procedura di verifica anche per il sisma più severo atteso sul sito, sisma che può indurre un comportamento oltre il limite elastico.

Si effettuano al proposito due analisi: una volta a verificare che la struttura nel suo complesso e gli elementi che la compongono abbiano una certa duttilità. La seconda è un'analisi lineare basata su uno spettro di risposta ridotto, detto spettro di progetto. Questa riduzione è ottenuta introducendo un coefficiente q detto coefficiente di struttura, legato alla duttilità della struttura e dei singoli elementi componenti. Queste considerazioni stanno a fondamento del D.M. 14 gennaio 2008 per la progettazione delle costruzioni in zona sismica.

9.5 Casi di Carico

Le azioni definite nel capitolo dell’analisi dei carichi sono state raggruppate nei seguenti casi di carico:

 peso proprio 

: comprende tutti i carichi permanenti strutturali G1 definiti in precedenza;

peso permanente portato



: comprende tutti i carichi permanenti non strutturali G2 definiti in

precedenza;

accidentale



: comprende i carichi d’esercizio qk dell’ospedale e delle scale; accidentale copertura



: comprende i carichi d’esercizio qk delle coperture;

(15)

 vento direzione y 

: comprende i carichi dovuti all’azione del vento in direzione y;

vento direzione –x



: comprende i carichi dovuti all’azione del vento in direzione -x;

vento direzione –y



: comprende i carichi dovuti all’azione del vento in direzione -y;

vento copertura



: comprende i carichi dovuti all’azione del vento ortogonale alle falde di

copertura;

neve simmetrica



: comprende i carichi dovuti all’azione della neve senza vento;

neve asimmetrica 1



: comprende i carichi dovuti all’azione della neve in presenza di vento

con accumulo su una delle due falde;

neve asimmetrica 2

Con l’analisi dinamica lineare, come spiegato precedentemente, si calcolano gli effetti dell’azione sismica (modellata con lo spettro di progetto) per ciascuno dei modi di vibrare della costruzione (determinati con l’analisi modale), e si vanno a combinare tali effetti con la combinazione quadratica completa. Pertanto si definiscono altri due casi di carico:

: comprende i carichi dovuti all’azione della neve in presenza di vento

con accumulo sull’altra falda di copertura.

 sismaX 

: comprende gli effetti dovuti al sisma agente in direzione x;

sismaY

Gli effetti torcenti dell’eccentricità accidentale del centro di massa di ogni orizzontamento (paragrafo 7.2.6 delle NTC 2008), vengono calcolati dal programma Midas Gen, che quindi definisce automaticamente altri due casi di carico, da combinare opportunamente con quelli del sisma:

: comprende gli effetti dovuti al sisma agente in direzione y.

 eX



: comprende gli effetti dovuti all’eccentricità accidentale del centro di massa per il sisma

agente in direzione x;

eY

9.6 Combinazioni Statiche

: comprende gli effetti dovuti all’eccentricità accidentale del centro di massa per il sisma

agente in direzione y.

I casi di carico sopra definiti vengono combinati secondo l’espressione riportata al paragrafo 2.5.3 delle NTC 2008 per gli SLU:

k i i 0 i Qi 1 k 1 Q P 2 2 G 1 1 G ⋅

G

+γ ⋅

G

+γ ⋅

P

+γ ⋅

Q

+

∑

γ ⋅ψ ⋅

Q

γ in cui:

 G1 peso proprio di tutti gli elementi strutturali;

(16)

 P pretensione e precompressione;

 Qk1 valore caratteristico dell’azione variabile dominante;

 Qki valore caratteristico dell’i-esima azione variabile;

 γ coefficiente parziale di sicurezza (il cui valore è riportato in Tabella 2.6.I delle NTC);

 Ψ coefficiente di combinazione, che tiene conto dell’impossibilità che più azioni variabili agiscano contemporaneamente con il loro valore massimo (il cui valore è

riportato in Tabella 2.5.I delle NTC).

Di seguito sono elencate le combinazioni introdotte nel programma Midas Gen:

1 SLU NEVE 1-1 Active Add

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Neve 1( 1.500) + Sovraccarico( 1.050) + Terreno( 1.300) --- 2 SLU NEVE 1-2 Active Add

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Neve 1( 1.500) + Sovraccarico( 1.050) + Vento 1( 0.900) + Terreno( 1.300)

--- 3 SLU NEVE 1-3 Active Add

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Neve 2( 1.500) + Sovraccarico( 1.050) + Terreno( 1.300) ---

(17)

7 SLU NEVE 2-2 Active Add

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Neve 3( 1.500) + Sovraccarico( 1.050) + Terreno( 1.300) --- 12 SLU NEVE 3-2 Active Add

(18)

+ Neve 3( 1.500) + Sovraccarico( 1.050) + Vento 4( 0.900) + Terreno( 1.300)

--- 16 SLU VENTO 1-1 Active Add

Peso Proprio( 1.000) + Vento 1( 1.500)

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Vento 4( 1.500) + Sovraccarico( 1.050) + Neve 1( 0.750) + Terreno( 1.300)

--- 23 SLU SOVRACCARICO 1 Active Add

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Sovraccarico( 1.500) + Neve 1( 0.750) + Terreno( 1.300) --- 24 SLU SOVRACCARICO 2 Active Add

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Sovraccarico( 1.500) + Neve 2( 0.750) + Vento 4( 0.900) + Terreno( 1.300)

(19)

+ Sovraccarico( 1.500) + Neve 2( 0.750) + Terreno( 1.300) --- 26 SLU SOVRACCARICO 4 Active Add

Peso Proprio( 1.300) + Pesi Copertura( 1.500) + Pesi Solaio( 1.500) + Sovraccarico( 1.500) + Neve 3( 0.750) + Terreno( 1.300) --- 28 SLU SOVRACCATICO 6 Active Add

9.7 Combinazioni Sismiche

Prima di combinare il sisma con le azioni statiche, si devono fare delle precisazioni.

L’eccentricità accidentale viene applicata lungo la direzione ortogonale a quella del sisma, sia a destra che a sinistra del centro di massa, pertanto provoca effetti torcenti uguali e opposti, che vanno combinati con gli effetti del sisma nel seguente modo:

SismaX + EX

SismaX - EX

SismaY + EY

SismaY - EY

Secondo la Normativa (paragrafo 7.3.5), con l’analisi dinamica lineare si possono calcolare separatamente gli effetti del sisma in direzione x (Ex) e in direzione y (Ey), combinandoli

successivamente nel seguente modo:

29 Ex1 Active Add

X( 1.000) + Mtx( 1.000)

---

30 Ex2 Active Add

X( 1.000) + Mtx(-1.000)

---

31 Ex3 Active Add

(20)

---

32 Ex4 Active Add

X(-1.000) + Mtx(-1.000)

---

33 Ey1 Active Add

Y( 1.000) + Mty( 1.000)

---

34 Ey2 Active Add

Y( 1.000) + Mty(-1.000)

---

35 Ey3 Active Add

Y(-1.000) + Mty( 1.000)

---

36 Ey4 Active Add

Y(-1.000) + Mty(-1.000)

Le combinazioni sismiche (paragrafo 2.5.3 NTC) si definiscono associando al sisma E i carichi permanenti e un’aliquota di quelli variabili, secondo la seguente espressione:

∑

⋅ + + + + i k i i 2 2 1

G

P

Q

G

E

ψ

in cui i parametri sono gli stessi delle combinazioni statiche.

Di seguito si riportano le combinazioni introdotte nel programma Midas Gen:

37 SISMICA 1 Active Add

Peso Proprio( 1.000) + Pesi Copertura( 1.000) + Pesi Solaio( 1.000) + Sovraccarico( 0.600) + Ex1( 1.000) + Ey1( 0.300) + Terreno( 1.000)

--- 38 SISMICA 2 Active Add

Peso Proprio( 1.000) + Pesi Copertura( 1.000) + Pesi Solaio( 1.000) + Sovraccarico( 0.600) + Ex1( 1.000) + Ey1(-0.300) + Terreno( 1.000)

(21)

(22)

(23)

(24)

+ Sovraccarico( 0.600) + Ex4( 1.000) + Ey2(-0.300) + Terreno( 1.000)

Peso Proprio( 1.000) + Pesi Copertura( 1.000) + Pesi Solaio( 1.000) + Sovraccarico( 0.600) + Ey1( 1.000) + Ex1( 0.300) + Terreno( 1.000)

Peso Proprio( 1.000) + Pesi Copertura( 1.000) + Pesi Solaio( 1.000) + Sovraccarico( 0.600) + Ey1( 1.000) + Ex1(-0.300) + Terreno( 1.000)

(25)

+ Terreno( 1.000)

(26)

(27)

(28)

9.8 Risultati dell’Analisi Lineare Statica

Una volta impostati i parametri per l’analisi lineare statica e definite le combinazioni di carichi si ottengono i risultati che ci permettono di valutare la verifica degli elementi.

Di seguito vengono riportati degli schemi esemplificati per far comprendere i possibili risultati che si ottengono dal programma di calcolo Midas Gen:

• Schema della deformata di neve o vento; • Schema degli spostamenti di neve o vento; • Schema delle sollecitazioni di neve o vento.

(29)

Figura 9.16: Deformata della struttura in Muratura sotto l’azione della Neve;

Figura 9.17: Deformata della struttura in Muratura sotto l’azione della Vento

(30)

Figura 9.19: Spostamenti della struttura in Muratura sotto l’azione della Vento

Figura 9.20: Caratteristiche delle sollecitazioni per la struttura in muratura: sforzo assiale (Neve)

(31)

Come mostrato nella Figura 9.16 l’edificio sotto la combinazione,in cui si ipotizza dominante la neve, subisce degli spostamenti massimi in direzione X e Y sono inferiori al millimetro, mentre in direzione Z la spostamento massimo è pari ad un centimetro. Nel caso di combinazione in cui si considera il vento dominante (Figura 9.17) tutti gli spostamenti sono inferiori al millimetro il che è causato da un ridotto carico del vento. Si può riscontrare meglio ciò nella Figura 9.21in cui le sollecitazioni dei singoli elementi sono simili a quelle dovute alla neve, Figura 9.20, il che comporta che le azioni orizzontali non influiscono in maniera indicativa sulla struttura.

9.9 Risultati dell’Analisi Lineare Dinamica

Una volta impostati tutti i parametri per l’analisi lineare modale e definite le combinazioni si sono potuti ottenere i risultati per procedere alla valutazione di sicurezza.

Di seguito vengono riportati degli schemi esemplificati per far comprendere i possibili risultati che si ottengono dal programma di calcolo Midas Gen:

- schemi della struttura deformata sotto l’azione sismica; - schemi dei valori degli spostamenti sotto l’azione sismica; - schemi dei valori delle caratteristiche di sollecitazioni.

(32)

Figura 9.22: Spostamenti della struttura in Muratura sotto l’azione del Sisma

(33)

Figura 9.25: Caratteristiche delle sollecitazioni per la struttura in muratura: taglio Tz

Figura 9.26: Caratteristiche delle sollecitazioni per la struttura in muratura: Torsione

(34)

Figura 9.28: Caratteristiche delle sollecitazioni per la struttura in muratura: Mz

Nella Dinamica modale la struttura subisce spostamenti molto più elevati che nei casi precedenti come ben visibile nella figura 9.21 e 9.22. Nel seguente caso è stata riportata solo la combinazione sismica in cui si è presa come direzione principale la X, si registra uno spostamento massimo di 17,55 cm. Dopo di che sono riportate le sollecitazioni a partire dallo sforzo normale, Figura 9.23.

Da tenere in considerazione è la Figura 9.27 che mostra le sollecitazioni dovute a My sui maschi interni della struttura. Da queste immagini si può capire che la struttura sarà maggiormente sollecitata nell’analisi dinamica lineare, il che potrebbe comportare la non verifica di elementi e quindi la non conformità con la norma.