3. ANALISI AD ELEMENTI FINITI CON MATERIALE OMOGENEO ISOTROPO.

Fig. 3-1 Cilindro intagliato usato nell'analisi ad elementi finiti.

3. ANALISI AD ELEMENTI FINITI CON MATERIALE OMOGENEO

ISOTROPO.

3.1

Geometria del modello, vincoli e carichi.

Per confrontare piccoli intagli, l’idea iniziale è stata quella di utilizzare un cilindro intagliato, di diametro sufficientemente grande, soggetto a trazione (Fig. 3-1). Un’analisi ad elementi finiti per vari intagli in un cilindro soggetto a carichi multi-assiali, avrebbe comportato la necessità di tecniche di “Sub-modelling” tridimensionali, rendendo più complessa l’analisi, ed, almeno in una prima fase, questo non è sembrato conveniente. Tenendo conto quindi dell’assial-simmetria geometrica e del tipo di carico, è stato realizzato un modello bidimensionale e sono stati utilizzati elementi di tipo assial-simmetrico. Il programma di calcolo adottato per l’analisi in oggetto è stato ANSYS (Release 7) e le istruzioni sono state fornite al programma stesso tramite la stesura di un file “batch” di tipo parametrico, in modo da poter condurre l’analisi su modelli di dimensioni diverse con un unico listato di comandi. Lo schema del modello adottato risulta quello di Fig. 3-1.

Con riferimento alle dimensioni tipiche dei giunti delle saldature laser, sono stati scelti i seguenti intervalli di valori per raggio ( R ) e profondità d’intaglio ( P ):

• 0.005 mm R 0.5 mm≤ ≤

• 0.005 mm P 1.5 mm≤ ≤

y x

Ovviamente le varie prove sono state eseguite combinando i parametri R e P in modo tale da mantenere la configurazione geometrica d’intaglio raccordato fino ad arrivare alla condizione limite d’intaglio circolare come in Fig. 3-3.

E’ stato considerato un cilindro di raggio abbastanza grande ( diametro≅ ∞ ), in modo tale da poter trascurare l’influenza della geometria del cilindro sulla distribuzione di tensione ( “effetti di bordo” ). Per valutare il diametro sono state fatte alcune prove in campo elastico al variare del diametro (D), mettendosi nelle condizioni di profondità intaglio tale da avere la

Fig. 3-2 Schema del modello FEM con indicazione dei parametri principali.

Fig. 3-3 Variazione della geometria al variare dei parametri R, P ed indicazione del carico.

y x

p

σ

p

maggior influenza (P = 1.5 mm) e scegliendo i valori estremi dell’intervallo di raggi di fondo intaglio scelti:

• R=0.005 mm ; P= 1.5 mm

• R=0.5 mm ; P = 1.5 mm

In tali condizioni sono state eseguite due tipologie di prova, a tensione nominale costante ed a carico applicato costante e sono stati confrontati i valori di tensione massima elastica, normalizzata rispetto alla tensione nominale, al variare del diametro. Dalla Fig. 3-4, Fig. 3-5 si può osservare come per D>2000mm il cilindro può ritenersi “infinito”. E’ stato infine scelto il valore D=2500mm.

Anche l’altezza del modello (L) è stata scelta sufficientemente grande per non generare perturbazione sullo stato di tensione.

Per quanto riguarda i vincoli, sono stati applicati dei vincoli di simmetria come indicato in Fig. 3-3.

Fig. 3-4 Calcolo diametro "infinito" R=0.005mm ; P=1.5. mm. 0 10 20 30 40 50 60 0 1000 2000 3000 4000 D

Carico applicato costante Tensione nominale costante y nom σ σ x y 0 1 2 3 4 5 6 0 1000 2000 3000 4000 D

Carico applicato costante Tensione nominale costante y nom σ σ x y

Fig. 3-5 Calcolo diametro "infinito" R=0.5mm; P=1.5mm.

nom 2 2 D D p -P 2 2 π ⎛ ⎞ σ π ⎛ ⎞ ⋅ ⋅_{⎜ ⎟} = ⋅ ⋅_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cil nom nom

p A⋅ =σ ⋅A nom 2 D -P 2 p 2 D 2 σ _⋅⎜⎛ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Fig. 3-6 Elemento PLANE 82 libreria Ansys.

Per quanto riguarda il carico, è stata applicata una pressione uniforme p tale da fornire una determinata tensione nominale, scelta come parametro nelle prove effettuate. Il valore di tensione p da applicare come carico per avere una determinata tensione nominale è stata ricavata dal semplice bilancio di forze:

(3-1) dove:

cil

A , area della sezione non intagliata nom

A , area della sezione con intaglio Quindi si ottiene:

(3-2)

(3-3)

3.1.1 Meshatura del modello. 3.1.1.1 Tipo di elemento.

Tenendo conto dell’simmetria del modello è stato scelto un elemento assial-simmetrico, in particolare il PLANE82 della libreria di Ansys, riportato nella seguente Fig. 3-6:

Questo elemento è isoparametrico e, come si può osservare dalla figura, è dotato di 8 nodi, ed è suscettibile di “collassare” in un elemento triangolare a 6 nodi. Ogni nodo è possiede due gradi di libertà, ovverosia spostamenti lungo gli assi x(UX) ed y(UY).

È un elemento utilizzato per problemi in stato piano di deformazione, in stato piano di tensione e assialsimmetrici, ed è particolarmente adatto per la modellazione di contorni curvi, come nel nostro caso. Ovviamente questo elemento è stato utilizzato attivando, tramite opportuna istruzione, la KEYOPTION relativa all’opzione “axisymmetric”.

La modalità di collassare in elemento triangolare a sei nodi è gestita dal programma in automatico, ma l’utente, attraverso il comando MSHAPE, può “forzare” l’utilizzo d’elementi quadrilateri o triangolari. Questa possibilità si è dimostrata molto utile, in quanto, per grandi infittimenti nell’intorno dell’intaglio ( specialmente nel caso di raccordi molto piccoli di 0.005 mm), si verificavano delle mesh non molto uniformi. E’ stata quindi presa una regione attorno all’intaglio ed è stata meshiata “forzando” il programma ad utilizzare elementi triangolari. 3.1.1.2 Configurazione della mesh

E’ stata utilizzata una mesh di tipo “free”, ma il programma è stato giudato attraverso una divisione opportuna delle linee di contorno del modello. La divisione delle linee è stata fatta in modo tale da avere elementi sempre più piccoli avvicinandosi alla zona dell’intaglio ( divisione

decrescente ), questo anche per ridurre il numero di elementi e quindi i tempi di calcolo, specialmente per analisi non-lineare. Sono state utilizzate delle linee aggiuntive per poter definire una regione attorno all’intaglio da far suddividere in elementi triangolari. Tale regione ha permesso di lasciare inalterata la mesh della parte di modello esterna ad essa, ed ottimizzare solamente la mesh interna in base alla coppia (R; P) presa in esame, operando con i parametri di suddivisione delle linee.

E’ stato realizzato un file “batch” con i parametri di meshiatura generali della regione contenente l’intaglio, ed è stata introdotta la possibilità di controllare ed eventualmente infittire la mesh in modo interattivo per la coppia (R; P) in esame.

Per l’analisi in campo elastico è possibile sostituire all’elemento PLANE 82, l’elemento PLANE 145, che permette di eseguire un controllo di convergenza della soluzione di tipo “p-

convergence”, cioè il programma esegue varie analisi sequenziali ed invece di modificare la mesh (come nel criterio h-convergence), varia il grado della funzione di forma dell’elemento finchè un determinato parametro (per esempio, in questo caso, la tensione massima in direzione y in prossimità dell’intaglio), non differisce dal valore dell’analisi precedente di una certa percentuale specificata. Tale metodologia è stata usata come ulteriore verifica sia della validità delle mesh realizzate in ciascun file batch associato ad una determinata profondità dell’intaglio, sia dei relativi risultati.

Il programma in file “batch” è stato realizzato in modo tale da fornire la possibilità di eseguire un’analisi elasto-plastica, oppure un’analisi con materiale elastico con criterio della

h-convergence o p-convergence, tutto in modo interattivo.

3.2

Materiale.

Con riferimento ad un precedente lavoro[2], è stato scelto come materiale l’Acciaio dell’anellino, con queste proprietà:

Acciaio inossidabile a struttura austenitica X6CrNiMoTi 1812 UNI 6902 Carico unitario di rottura a trazione (MPa) Carico unitario di scostamento dalla proporzionalità

s

(MPa) Allungamento % Durezza Brinell

490 - 735 225 210000 35 580

Tabella 1 Caratteristiche del materiale.

rott sn pl rott sn

E

σ

_ε

_ε

σ

−

Per l’analisi elasto-plastica, è stato deciso, come primo approccio, di utilizzare un materiale bilineare. Il modulo plastico del materiale è stato ricavato ipotizzando un andamento lineare a rottura secondo il seguente diagramma:

Il modulo plastico ( Epl ) risulta di 764 MPa, valutato come:

(3-4)

Dove ;

Come criterio di snervamento è stato scelto il criterio di Von Mises e come legge d’incrudimento quella di tipo “cinematico”, cioè durante lo snervamento in trazione il materiale si comporta come se ci fosse un apparente spostamento del diagramma σ_id −ε_id( si veda [25]) verso la zona delle σ_idpositive. Si considera praticamente l’effetto Bauschinger, presente in molti materiali.

3.3

IL file batch

Di seguito è riportato l’elenco delle istruzioni fornite al programma ANSYS per la costruzione dei modelli e successivo calcolo della soluzione.

Le grandezze elencate nel listato sono riportate nella Fig. 3-9:

Fig. 3-8 curva "linearizzata" del materiale.

sn sn

_E

σ

ε

A

ε

σ

ε

I valori dei parametri utilizzati nel modello per regolare l’infittimento nella regione contenente l’intaglio, con cui è garantita una buona mesh iniziale, con riferimento all’istruzione di comando per suddividere le linee LESIZE, NL1, SIZE, ANGSIZ, NDIV, SPACE, sono i seguenti:

Range profondtà

intaglio size2 size6 size9 space2 space6 space9

0.005 0.28 0.2 0.0005 0.0001 0.0004 0.9 0.0075 0.26 0.2 0.0008 0.00035 0.0004 0.95 0.01-0.075 0.3 0.2 0.0008 0.0005 0.0004 1 0.1-0.15 0.22 0.4 0.002 0.0003 0.0003 0.9 0.3-0.5 0.3 0.4 0.005 0.0005 0.006 0.08 0.75-1 0.4 0.4 0.008 0.0005 0.01 0.05 1.3-1.5 0.3 0.4 0.01 0.0008 0.01 0.04

Tabella 2 indicazione dei parametri di meshiatura della regione contenente l'intaglio.

Dove SIZE”X” corrisponde al parametro associato alla linea “X”. Analogamente per il parametro SPACE.

Di seguito è riportato il listato del file batch:

IN C L_I L R_cil Pint RR y x HREFIN DREFIN L2 L6 L7 L8 L9

Fig. 3-9 Indicazione dei parametri relativi al file batch.

FINISH /CLEAR

*ASK,nome,Come vuoi chiamare questa analisi?,'file' /FILNAME,nome /REPLOT C*** C*** FASE DI PRE-PROCESSING C*** /PREP7 *MSG,UI, Richiesta parametri /WAIT,2

*AFUN,DEG ! unità di angolo in gradi

*ASK,studio,(1)Analisi elastica ; (2)elasto-plastica?,2 *ASK,rr,Immettere il valore del raggio intaglio _mm,0.006 *ASK,pint,Immettere profondità intaglio_mm,0.03

*ASK,dcil,Immettere diametro cilindro_mm,2500

*ASK,sigmanet,Immettere il valore della TENSIONE NOMINALE da applicare (MPa),24.2 *ASK,incli,Immettere angolo intaglio_gradi,15

*ASK,sigms,Tensione snervamento locale_MPa,80 !Parametri regione da infittire con triangoli

*ASK,drefin,DREFIN (mm),40 *ASK,hrefin,HREFIN (mm),40

R_cil=dcil/2 ! Raggio del cilindro

L=R_cil*1.5 ! Altezza del modello che per ipotesi è 1.5 volte il raggio del cilindro rapparee=((R_cil-pint)**2)/((R_cil)**2)

pa=(sigmanet)*rapparee ! pressione da applicare come carico per avere la tensione nominale C***

C***PROPRIETA' DEL MATERIALE C***

*MSG,UI,

Definizione materiale /WAIT,2

modpl=754.4228 ! modulo plastico MP,EX,1,young

MP,PRXY,1,.3

*IF,studio,EQ,2,THEN

TB,BKIN,1 ! incrudimento di tipo cinematico TBDATA,1,sigms,modpl

*ELSE *ENDIF C***

C***COSTUZIONE DEL MODELLO C***

*MSG,UI,

Costruzione del modello /WAIT,2

K,1,0,0 K,4,0,L K,5,R_cil,L K,6,R_cil,0

!! costruzione zona intaglio K,10,R_cil-pint,0 K,40,R_cil-pint+rr,0 LOCAL,11,1,KX(40),KY(40) K,20,rr,90+incli CSYS,0 K,50,R_cil,KY(20)+(R_cil-KX(20))*TAN(incli) K,3,0,hrefin K,70,R_cil-drefin-pint,0 K,60,R_cil-drefin-pint,hrefin K,80,R_cil,hrefin L,1,70 L,70,10 L,1,4 L,4,5 L,5,80

L,80,50 L,80,50 L,60,80 L,70,60 L,20,50 LARC,10,20,40,rr LCOMB,9,10 ! costruzione aree AL,1,3,4,5,7,8 AL,2,8,7,6,9 LSEL,ALL C***

C***TIPO DI ELEMENTO E MESHIATURA C***

*MSG,UI,

Definizione elemento e meshiatura /WAIT,2

!scelta dell'elemento in base all'analisi e alla convergenza *IF,studio,EQ,1,THEN

*ASK,conv,che tipo di studio di convergenza?(1) tipo H ; (2) tipo P ,1 *IF,conv,EQ,1,THEN ET,1,PLANE82 KEYOPT,1,3,1 ET,2,PLANE82 KEYOPT,2,3,1 *ELSE ET,1,PLANE145 KEYOPT,1,3,1 KEYOPT,1,1,3 KEYOPT,1,2,8 ET,2,PLANE145 KEYOPT,2,1,3 KEYOPT,2,3,1 KEYOPT,2,2,8

*GO,:LAB *ENDIF *ELSE *ENDIF ET,1,PLANE82 KEYOPT,1,3,1 ET,2,PLANE82 KEYOPT,2,3,1 :LAB

! divisione progressiva delle linee attraverso il comando ! LESIZE, NL1, SIZE, ANGSIZ, NDIV, SPACE

*MSG,UI,

Richiesta dei paremetri di infittimento per le linee della regione dell'intaglio comando /WAIT,2

:remesh

*ASK,size2,Parametro "size" linea 2 ,0.25 *ASK,size6,Parametro "size" linea 6 ,0.2 *ASK,size9,Parametro "size" linea 9 ,0.0008 *ASK,space2,Parametro "space" linea 2 ,0.0005 *ASK,space6,Parametro "space" linea 6 ,0.0004 *ASK,space9,Parametro "space" linea 9 ,0.95 LESIZE,2,size2,,,space2 LESIZE,8,2 LESIZE,7,2 LESIZE,6,size6,,,space6 LESIZE,9,size9,,,space9,,,,on LESIZE,1,10,,,0.1 LESIZE,5,10,,,0.1 LESIZE,4,30,,,,,,,on LESIZE,3,30,,,,,,,on lccat,3,4 lccat,7,8

! meshiatura regione contenente intaglio

AMESH,2 *MSG,UI,

Controllo della mesh attorno all'intaglio /WAIT,2 EPLOT /WAIT,1 :inizio /WAIT,1 /REPLOT EPLOT /WAIT,1 EREFINE,P

*ASK,Rispmesh,Vuoi cancellare completamente la mesh?(1)Si;(2)No,2 *IF,Rispmesh,EQ,0,THEN

ACLEAR,2 *GO,:remesh *ELSE *ENDIF

*ASK,RISPOSTA,Vuoi raffinare ulteriormente il modello? (1) Si ; (2) No,2 *IF,RISPOSTA,EQ,1,THEN /WAIT,1 EPLOT /WAIT,1 EREFINE,P *GO,:INIZIO *ELSE *ENDIF

! meshiatura esterna alla regione TYPE,2

MSHAPE,,2d ! forzatura ad usare elementi quadrangolari AMESH,1

C***

C***VINCOLI e CARICHI C***

*MSG,UI, Vincoli e carichi /WAIT,2 LSEL,S,LINE,,1,2 LSEL,A,LINE,,3 DL,ALL,,SYMM LSEL,ALL ! carichi LSEL,ALL NSEL,ALL KSEL,ALL LSEL,S,LINE,,4 SFL,ALL,PRESS,-pa KBC,0 TIME,10 LSEL,ALL NSEL,ALL KSEL,ALL C*** C***SOLUZIONE C*** EPLOT FINISH /SOLU NSEL,ALL ESEL,all *MSG,UI, Calcolo soluzione /WAIT,1 *IF,studio,EQ,1,THEN !--- studio h-convergenza *IF,conv,EQ,1,THEN *MSG,UI,

/WAIT,2 SOLVE

ADAPT,,1 ! errore percentuale 1% SAVE FINISH /POST1 ALLSEL SET,LAST FINISH /EOF !--- studio p-convergenza *ELSE *MSG,UI,

Studio elastico con p-convergenza errore 0.1% /WAIT,2

NSEL,ALL ESEL,ALL

! controllo dell convergenza prendo la tensione in y del nodo da selezionare CSYS,0 FINISH /PREP7 /AUTO,1 /REP,FAST *MSG,UI,

Seleziona il nodo di cui valutare le tensioni per p convergenza /WAIT,2 NSEL,s,P *GET,NN,NODE,,NUM,MAX FINISH /SOLU ALLSEL

*ASK,monitor,cosa vuoi monitorare sx(X) ; sy(Y) ; sz(Z) ; sxy(xy) ,'y' PCONV,0.1,S,monitor,nn

SOLVE SAVE FINISH /POST1 ALLSEL SET,LAST FINISH *ENDIF /EOF ! Studio plastico *ELSE *ENDIF *MSG,UI, Studio elasto-plastico /WAIT,2

*ASK,steps,Numero dei substep?,200 NSUBST,steps AUTOTS,on OUTRES,all,all SOLVE FINISH SAVE,,,,all /EOF

3.4

Tipo di analisi

Nel capitolo successivo verranno analizzate nel dettaglio le prove effettuate ed i risultati ottenuti. Si riportano di seguito l’elenco delle analisi effettuate:

• Analisi in campo elastico d’intagli aventi lo stesso Kt (fattore teorico di concentrazione delle tensioni), con tensione nominale calcolata in modo da avere

nominale costante t

k ⋅σ = .

• Analisi in campo elasto-plastico:

o Analisi d’intagli aventi lo stesso valore di Kf (fattore di concentrazione delle tensioni per fatica), con tensione nominale calcolata in modo da avere

nominale costante f

k ⋅σ = .

o Analisi di intagli aventi lo stesso valore di Kf, con tensione nominale calcolata in modo da avere k_t⋅σ_nominale =costante.

o Analisi di intagli aventi lo stesso valore di Kt, con tensione nominale calcolata in modo da avere k_t⋅σ_nominale =costante.

3.5

Metodi analitici di verifica

Per avere conferma dei risultati ottenuti in termini di tensioni, è stata fatta una accurata ricerca in letteratura su metodi numerici od almeno formule empiriche per ricavare lo stato di tensione all’apice di intagli raccordati.

3.5.1 Campo elastico

Nel caso di materiale elastico in [21], si possono ritrovare delle formule analitiche per valutare lo stato di tensione principale all’apice di intagli raccordati in piastre ed in cilindri intagliati. Tali formule sono delle rielaborazioni di formule analitiche per conoscere lo stato di tensioni in piastre “infinite” intagliate. Si riportano di seguito le formule, per maggior dettagli si veda [21].

Con riferimento alla seguente figura ed alla tabella di dati si ottiene, per corpi infiniti:

Fig. 3-10 formule analitiche.

Per estendere a corpi cilindrici di dimensione finita, al posto di r, nelle espressioni sopra, è utilizzata una funzione di questo tipo :

dove m è un parametro da valutare numericamente attraverso l’equazione di equilibrio globale:

dove

σ

Dove:

Implementando il modello precedente nel programma MATHCAD, sono stati ottenuti valori in ottimo accordo con i risultati numerici dell’analisi FEM.

In Fig. 3-11 è riportato, a titolo d’esempio, un confronto di risultati.

3.5.2 Campo plastico

In prossimità degli intagli, anche un carico moderato può portare a degli stati di tensione che teoricamente superano il campo elastico. Lo snervamento locale, produce una ridistibuzione dello stato di tensione che è difficilmente prevedibile se non con tecniche numeriche. In

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x (mm) Modello analitico Modello FEM y max,FEM y σ σ y x

Fig. 3-11 Confronto modello analitico e FEM per il caso R=0.495; P=0.5 ; tensione massima FEM 245 MPa.

t

K = K K_σ⋅ _ε

letteratura si trovano approcci, basati sulla legge di Neuber, per valutare, in modo approssimato e senza tenere conto della ridistribuzione di tensione, lo stato di tensione al vertice degli intagli. Tale legge, sostanzialmente, risulta un bilancio energetico fra la densità di energia di deformazione totale in campo elasto-plastico e quella in campo plastico, e risulta:

(3-5) Dove: (3-6) Quindi: (3-7) In prima approssimazione, utilizzando tale legge, combinata con la curva σ ε− del materiale, è possibile valutare la tensione equivalente massima raggiunta per effetto della plasticizzazione. Ovviamente, utilizzando tale formula, non si tiene conto della ridistribuzione di tensione ma nel caso di zone plastiche limitate, come nello studio di vita a fatica ad alto numero di cicli, e per carichi non eccessivi, si può comunque avere un’idea della tensione equivalente massima.

L’applicazione della legge di Neuber al caso di materiale bilineare risulta piuttosto semplice. Nel caso di tensioni nominale inferiori allo snervamento si ottiene:

(3-8) Dove E è il modulo di Young,

σ

Per cui l’equazione diventa la seguente:

(3-9) Dove

σ

Nel caso di materiale elasto-plastico con incrudimento lineare si ottiene: 2 nom nom t K σ ε σ ε = ⋅ nom K_ε ε ε = nom ; K_σ σ σ = nom nom _E σ ε = 2 2 sn nom 1 ( ) ' t K C E E σ σ σ σ⋅ − = ⋅ =

Combinando le espressioni si ottiene un’equazione di secodo grado, risolvendo la quale si ottiene la risposta del materiale nell’intaglio in termini di sforzo equivalente:

(3-10) Una estensione del precedente metodo, che tiene conto almeno in parte della ridistribuzione dello sforzo, si può trovare in [24], dove ci si basa sull’applicazione incrementale della legge di Neuber combinata con le formule analitiche per valutare lo stato di sforzo in campo elastico per materiale omogeneo ed isotropo.

In altri casi sono necessarie modifiche o modelli di plasticità per esempio basati sul

J-integral [22], [23]. 2 2 1 t nom E

K

C

σ

σ ε

⋅

⋅

=E'

σ

⋅

ε σ

σ σ

>

σ

=E

σ

⋅

ε

σ σ

<

σ

ε

Fig. 3-12 curve ottenute con legge del materiale bilineare e con la legge di Neuber.

1 2 1 0 ' ' sn _C E E σ σ ⋅ −σ⋅ − =