Capitolo 1 Comportamento della ruota con pneumatico

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico

Capitolo 1

Comportamento della ruota con pneumatico

1.1

Introduzione

Il pneumatico è uno dei componenti fondamentali di quasi tutti i veicoli ed in effetti lo sviluppo dell’automobile e degli aeromobili è avvenuto in contemporanea all’invenzione e allo sviluppo della ruota con pneumatico.

La caratteristica fondamentale del pneumatico è la deformabilità, che unita ad una relativa leggerezza, permette il mantenimento del contatto ruota-strada anche in presenza di piccole irregolarità. Inoltre la deformabilità radiale del pneumatico contribuisce con il sistema di sospensioni a migliorare il confort di marcia e la presenza di una copertura in gomma permette di avere una buona aderenza al suolo. La deformabilità e l’aderenza, fattori essenziali per garantire una adeguata "tenuta di strada" del veicolo, sono dovute alla struttura composita del pneumatico, ottenuta attraverso una carcassa di fibre intrecciate, flessibili ma inestensibili, immerse in una matrice di gomma (mescole elastomeriche) molto deformabile e con elevate caratteristiche di aderenza al suolo.

Altro fattore fondamentale è la pressione di gonfiaggio che permette di trasmettere forze considerevoli al cerchione cui il pneumatico è fissato e dunque al veicolo garantendo stabilità e rigidezza strutturale all’insieme pur mantenendo la massa a valori molto contenuti.

Le forze che permettono di guidare un veicolo nascono nelle zone di contatto pneumatico-strada per cui le sue prestazioni sono fortemente influenzate dalle caratteristiche di aderenza e deformabilità dei pneumatici. Evidentemente l’interazione tra pneumatico e strada, dunque le prestazioni del veicolo, sono fortemente influenzate da

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico molti fattori quali:

• tipologia del manto stradale: materiale e rugosità modificano il coefficiente di attrito e dunque l’aderenza. Le figure 1.1 a, b, tratte da [12], mostrano le variazioni del coefficiente d’attrito massimo µmax in funzione della velocità di avanzamento V,

ricavate attraverso test su pneumatici aeronautici alla pressione di gonfiaggio di 13.8 bar e relativamente al carico indicato in figura 1.2 in cui Vi rappresenta la velocità al

momento dell’applicazione del momento frenante. La figura 1.1 a si riferisce a test svolti su manto stradale asfaltato molto liscio, ossia con rugosità superficiale media compresa nell’intervallo 0.10÷0.15 mm mentre la figura 1.1 b a prove su manto stradale "large aggregate asphalt", caratterizzato da rugosità superficiale media compresa tra 1.0÷2.5 mm. In entrambe le figure le curve in grassetto rappresentano le curve medie mentre quelle sottili costituiscono i limiti inferiore e superiore delle dispersioni dei dati ottenuti da prove nelle medesime condizioni.

figura 1.1a Andamento del coefficiente d’attrito massimo µmax in funzione della velocità

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figura 1.1b Andamento del coefficiente d’attrito massimo µmax in funzione della velocità

di avanzamento V per test su manto stradale asfaltato "large aggregate asphalt".

figura 1.2 Variazione del carico verticale gravante sulla ruota con la velocità di

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico • condizioni climatiche: la presenza di acqua, neve e ghiaccio abbassa fortemente i

coefficienti di attrito, statico e dinamico, rispetto alla condizione di manto stradale asciutto, figure 1.1 a, b;

• condizioni del manto stradale: residui di gomma, contaminazioni d’olio o di combustibile determinano forti variazioni nella rugosità e nelle condizioni di aderenza. La figura 1.3, tratta da [12], illustra il campo di variazione del coefficiente di attrito

µmax a causa di depositi di gomma sul manto stradale in condizioni di superficie

bagnata. Le curve rappresentate forniscono il limite inferiore del rapporto

wet , clean wet , ed min conta /µ

µ per manti stradali di diversa rugosità superficiale in cui le diverse superfici, B, C, D, E ne individuano i campi di variazione. In particolare la superficie B è caratterizzata da rugosità superficiali medie comprese tra 0.15÷0.25 mm,

la superficie C tra 0.25÷0.51 mm, la superficie D tra 0.51÷1.0 mm e la superficie E tra 1.0÷2.5 mm.

figura 1.3 Decremento del coefficiente d’attrito in presenza di depositi di gomma sul

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico • temperatura esterna: le mescole di polimeri con cui viene realizzata la matrice della

struttura composita del pneumatico sono ottimizzate per funzionare al meglio in determinati campi di temperatura al di fuori dei quali si assiste ad un repentino degrado dell’aderenza. Per questo la sigla identificativa del pneumatico indica se è adatto ad essere utilizzato nel periodo estivo o invernale;

• temperatura interna: le condizioni di esercizio possono generare variazioni nelle caratteristiche delle mescole quali modulo di Young, allungamenti percentuali a rottura, etc.;

• cicli termici: i cicli termici, caratterizzati nelle applicazioni aeronautiche da forti sbalzi di temperatura, possono portare le mescole ad un rapido invecchiamento con degrado delle proprietà;

• geometria del battistrada: il battistrada presenta scanalature, con profondità e passo variabili in funzione dell’impiego, tali da influenzare le prestazioni del pneumatico. Nelle figure 1.1 a, b è illustrato il degrado del coefficiente µmax in un pneumatico con

battistrada liscio rispetto ad un pneumatico con battistrada con scanalature circonferenziali di profondità maggiore di 5 mm per manto stradale bagnato. In condizioni di manto stradale asciutto non si rilevano invece sostanziali differenze tra pneumatico con battistrada liscio o scanalato.

• pressione di gonfiaggio: influenza la rigidezza della struttura e un valore eccessivo determina una diminuzione dell’impronta di contatto con relativa diminuzione dell’aderenza e delle forze trasmissibili;

• carico verticale: una variazione del carico verticale determina anche in questo caso una variazione dell’area di contatto pneumatico-suolo e dunque una variazione delle forze scambiate;

• velocità: ha un ruolo fondamentale sulla dinamica del pneumatico, soprattutto in campo aeronautico dove le velocità in gioco hanno valori molto elevati e fortemente variabili.

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico Infatti mentre nel campo dei veicoli terrestri le velocità non sono mai elevate (eccettuato il caso dei veicoli utilizzati in gare) e l’analisi delle prestazioni viene fatta a velocità costante, nel caso di velivoli le velocità variano durante la fase di atterraggio all’interno di un campo di circa 65÷0 m/s generando non solo variazioni nei parametri funzionali (raggio, schiacciamento,etc.) ma anche nelle forze in gioco all’interfaccia.

1.2

Sistemi di riferimento

Ogni analisi sul comportamento meccanico del pneumatico si basa su risultati ottenuti sperimentalmente su singole ruote. Le prove sono condotte premendo la ruota con un carico verticale Fz su di un tappeto mobile o su un tamburo rotante, con raggio almeno

quattro volte superiore a quello del pneumatico, e imponendo all’asse della ruota un moto traslatorio con velocità V di componenti (Vx, Vy, 0). In realtà nessun test corrisponde ad un

effettiva condizione di impiego ma le informazioni che si ottengono sono comunque utili a capire il comportamento del pneumatico in molteplici condizioni.

Le elevate dimensioni delle ruote, che possono essere dell’ordine di 1400 mm, l’entità dei carichi radiali massimi, dell’ordine di 300 kN, e le dimensioni dei tamburi rotanti evidenziano, sin da questo momento, come i test su pneumatici aeronautici siano di difficile realizzazione rendendo dunque necessario lo sviluppo di modelli in grado di valutare già in fase progettuale le proprietà statiche e dinamiche dei pneumatici e gli effetti della loro integrazione sui carrelli.

Condizioni equivalenti a quelle di prova sono schematizzate in figura 1.4 insieme ai sistemi di riferimento utilizzati:

1. sistema di riferimento inerziale _TI (O, XI, YI, ZI) , di versori iI, jI, kI, con piano XIYI

solidale al suolo e asse ZI perpendicolare ad esso e positivo se diretto verso l’alto;

2. sistema di riferimento relativo _TR (C, x, y, z), di versori i, j, k, che trasla solidalmente

alla ruota. L’ origine C è individuata dall’intersezione di tre piani: il piano stradale, il piano medio longitudinale del cerchio e il piano verticale contenente l’asse di rotazione della ruota. L’intersezione del piano longitudinale con la strada individua l’asse x, diretto nel senso di marcia, l’asse z è ortogonale alla strada e diretto verso l’alto, l’asse y è perpendicolare agli altri due e tale da rendere levogira la terna.

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico R z F V O C YI y x I X h O I Y ZI O V X_I I Z x z C F_z 0

figura 1.4 Sistemi di riferimento di una ruota con pneumatico.

La definizione del sistema di riferimento mobilenon cambia se il piano medio della ruota non è perpendicolare alla strada ma inclinato dell’angolo γ detto di campanatura o di camber. L’angolo α, chiamato angolo di deriva, rappresenta invece l’angolo tra l’asse x e la velocità di avanzamento V. Gli angoli γ e α sono definiti positivi come in figura.

Le azioni trasmesse dalla strada alla ruota hanno come risultante una forza F, che in generale non passa per l’origine C del sistema mobile per cui, per poterla rappresentare come un vettore applicato in C, è necessario aggiungere un momento di trasporto M. In questo modo le azioni trasmesse dal suolo sul pneumatico sono equivalenti ad una forza

F = (Fx, Fy, Fz) passante per C e una coppia M = (Mx, My, Mz). Dato che i due assi x, y

giacciono sul piano stradale si ha una netta separazione dei ruoli: le azioni tangenziali dovute all’aderenza determinano le componenti Fx, Fy e Mz dette rispettivamente forza

longitudinale, forza laterale e momento di autoallineamento (o di deriva), mentre le azioni normali alla strada (cioè la distribuzione di pressione) contribuiscono solo alle componenti Fz, Mx, My detti forza verticale, momento di ribaltamento e momento di resistenza al

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1.3

Cinematica della ruota con pneumatico

Come già detto, l’asse della ruota è supposto in movimento con velocità V = (Vx, Vy, 0)

assegnata, costante in modulo e direzione, parallela alla strada, supposta perfettamente piana e orizzontale, ed inclinata in generale dell’angolo di deriva α. L’asse ha quindi un moto traslatorio uniforme di componenti:

. Vsen V , cos V V y x α − = α = (1.1)

La ruota, oltre a traslare, ha anche un moto rotatorio attorno al proprio asse con velocità angolare Ω = (0, Ω, 0) (per semplicità l’analisi che segue viene svolta con l’ipotesi γ = 0) dipendente dalla velocità V, dalla coppia T applicata all’asse della ruota, dall’angolo di deriva α, dal carico verticale Fz, nonché dal tipo di pneumatico, dalla pressione di

gonfiaggio, etc. Salvo avviso contrario durante le prove vengono variati solo T, V, α, Fz.

Noti V = (Vx, Vy, 0) e Ω = (0, Ω, 0) è possibile, in ogni istante, individuare l’asse

elicoidale (o asse di Mozzi) dell’atto di moto del cerchio. I punti dell’asse elicoidale hanno velocità parallela al vettore velocità angolare pertanto, nel caso in esame, l’asse è sempre parallelo all’asse y ed i suoi punti hanno velocità V =

(

0,−Vsenα,0

)

. Se si indica con R da distanza con segno tra l’asse del cerchio e l’asse elicoidale si ottiene subito che:

Ω = Vx

R (1.2)

L’asse elicoidale si trova sempre al di sotto dell’asse del cerchio, ossia a distanza R verso il basso, come illustrato in figura 1.5 in cui si è indicato con Sα la traccia dell’asse elicoidale

nel piano xz. Nel caso particolare in cui α=0, ovveroV_y =0, l’asse elicoidale diventa asse di istantanea rotazione e tutti i suoi punti hanno velocità nulla.

Convenzionalmente, si parla di puro rotolamento quando la ruota con pneumatico è trainata a velocità costante, in direzione perfettamente longitudinale (α =0, V=V_x) e in assenza di coppie applicate al mozzo (ruota folle: T = 0), da una forza tale da compensare l’azione della resistenza al rotolamento. In queste particolari condizioni, fissato il

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico R x S C z x Z_I I X V O α

figura 1.5 Traccia Sα dell’asse elicoidale del cerchio.

carico verticale Fz agente sulla ruota e la velocità del suo asse, la ruota ruoterà con una

certa velocità Ω0, per cui il raggio di puro rotolamento (Effective Rolling Radius) risulta:

0 e V R Ω = (1.3)

grandezza compresa tra l’altezza del mozzo rispetto al suolo (h) e il raggio della ruota indeformata (R0). Si ribadisce il fatto che il raggio Re non può essere misurato

direttamente ma ottenuto solo attraverso la (1.3) misurando V ed Ω0 .

Se, a parità di carico verticale Fz e velocità di avanzamento V, la ruota viene ancora

testata con T=0 ma con angolo di deriva α≠0 si avrà una velocità di rotazione del cerchio Ω₀α <Ω₀ e l’asse di istantanea rotazione verrà rimpiazzato dall’asse elicoidale associato al moto del cerchio. In base alla (1.2), in queste nuove condizioni di prova, la distanza tra l’asse del cerchione e l’asse elicoidale vale [5]:

α α Ω = 0 x e V R (1.4)

La figura 1.6(a) illustra la posizione della traccia dell’asse elicoidale nella condizione di moto appena definita.

Si è in condizioni di frenata stazionaria se alla ruota viene invece applicata una coppia frenante T e la velocità, in direzione perfettamente longitudinale (α=0, V=V_x), viene

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico mantenuta costante mediante una forza motrice applicata al mozzo. In questo caso l’applicazione della coppia porta ad una velocità angolare Ω diversa da Ω 0 e quindi ad un

riposizionamento dell’asse di istantanea rotazione che verrà a trovarsi a distanza

b e

R dall’asse del mozzo. Andando anche in questo caso ad effettuare delle misurazioni della velocità angolare Ω, a parità di velocità V del mozzo, si ottiene un diverso rapporto delle due grandezze , chiamato raggio di rotolamento in condizione frenata (Braking Rolling Radius): Ω = V R_eb (1.5) con Ω<Ω₀e quindi _e b e R R > . b e

R è tanto più grande di R quanto più intensa è la _e frenata e tende all’infinito quando la ruota si blocca.

Anche in questo caso, se α ≠0 si avrà una velocità di rotazione del cerchio Ωα <Ω e l’asse di istantanea rotazione verrà rimpiazzato dall’asse elicoidale che verrà a trovarsi ad una distanza Rα =V_x/Ωα

b

e . In queste nuove condizioni di funzionamento il punto Sα

rappresentato in figura 1.6(a) relativo alle condizioni di moto non frenato con α ≠0 ha nella figura 1.6(b) una velocità Vs rispetto alla strada che viene detta velocità di scorrimento le cui componenti sono [5]:

    α Ω − = α − = α − = Ω − Ω = Ω − α = = _{α α} α α α α α tan R tan V Vsen V R ) ( R cos V V e 0 x sy e 0 e sx s V (1.6)

Nel caso in cuiα =0 la velocità di scorrimento Vs è diretta come l’asse x.

E’ utile definire anche un vettore ausiliario V_r =

(

ΩαR_eα,0,0

)

che può essere chiamato velocità di rotolamento in quanto rappresenta la velocità che dovrebbe avere il mozzo affinché, data la velocità angolare Ωα, la ruota sia in moto di puro rotolamento, ovvero non esista scorrimento tra ruota e strada. Si ha dunque la relazione:

r s V

V

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico sx

V

b

T

V

x z x

R

_e

S

0

T = 0

S

e

R

x z x

V

α 0

G

T < 0

α 0

G

(b)

(a)

α α α α α α

figura 1.6 Effetto dell’applicazione di una coppia frenante T sulla traccia Sα dell’asse

elicoidale della ruota.

1.4

Misura dello slittamento

A questo punto è chiaro che per caratterizzare il moto della ruota sono sufficienti i valori di V, α, Ω. E’ però più utile introdurre dei parametri adimensionali che esprimono meglio lo scostamento dalle condizioni di funzionamento con T = 0. Si definiscono quindi i vettori: • scorrimento pratico: _       α − Ω Ω − Ω = = _α α α tan , V 0 0 x s V s (1.8)

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico • scorrimento teorico: _       α Ω Ω − Ω Ω − Ω = = _α α α α α tan , V 0 0 r s V σ _(1.9)

I parametri descritti non sono comunque definiti con riferimento alla reale velocità di strisciamento dei punti del pneumatico in contatto con il suolo perché questa cambia da punto a punto all’interno dell’orma e non esiste, nella realtà fisica, alcuna velocità di strisciamento globale. Possono tuttavia essere utilizzati all’interno di un modello fisico-matematico in grado di descrivere con buona approssimazione il comportamento reale del pneumatico. L’orma, oltretutto, può essere idealmente divisa in due parti: quella anteriore, per la quale i punti a contatto con il suolo sono fermi rispetto ad esso, che si riduce sempre di più al crescere dell’intensità della frenata, e quella posteriore per la quale invece i punti slittano rispetto al suolo. Nel paragrafo successivo viene illustrato un semplice modello in grado di fornire una spiegazione ai fenomeni di aderenza e strisciamento.

A fronte di tali premesse le componenti Fx, Fy e Mz, generate dalle azioni tangenziali

dovute all’aderenza, possono essere espresse come funzioni non solo della velocità di avanzamento V e del carico verticale Fz bensì anche dell’angolo di camber, dell’angolo di

deriva e dello scorrimento pratico, ossia:

) V , F , , , s ( f F_x = ₁ α γ _z , F_y =f₂(s,α,γ,F_z,V), M_z =f₃(s,α,γ,F_z,V) (1.10)

Le figure 1.7, 1.8, 1.9 ([9]) illustrano alcune delle dipendenze appena descritte e mostrano la complessità della fisica alla base della meccanica del pneumatico, giustificando dunque il fatto che non siano ancora disponibili modelli in grado di descrivere completamente il comportamento in tutte le possibili condizioni di funzionamento.

Lo studio della dinamica del pneumatico può comunque essere svolto agevolmente utilizzando modelli longitudinali e laterali qualora gli angoli γ e α siano sufficientemente piccoli ritenendo che per piccole deviazioni dallo stato di moto rettilineo i fenomeni che avvengono nel piano longitudinale e laterale possano essere considerati disaccoppiati. Una tale distinzione può apparire grossolana e sicuramente i modelli dell’uno o dell’altro tipo non possono essere ritenuti rappresentativi del reale comportamento del pneumatico ma

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico permettono di svolgere un’analisi semplice e adeguata in tutte quelle condizioni di funzionamento poco distanti dal moto rettilineo con asse della ruota parallelo al suolo.

L’analisi svolta in questa tesi è rivolta allo studio di un modello longitudinale che sia in grado di riprodurre con sufficiente accuratezza i dati registrati durante un test di frenata realizzato su tamburo rotante. Lo scopo del test è quello di simulare le condizioni in cui si trova la ruota al momento dell’atterraggio e dunque la dinamica attuata dal pneumatico al momento dell’azionamento dei freni. Il modello descritto è un modello longitudinale in quanto il test viene condotto imponendo all’asse della ruota una velocità con sola componente longitudinale (α=0) e angolo di camber nullo. Tale modello ha la funzione di ricostruire le proprietà meccaniche del pneumatico a partire dalle misurazioni sperimentali di alcune grandezze per poter quindi riprodurre l’andamento anche per

figura 1.7 Andamenti di Fx, Fy in funzione di s e α a γ fissato o variabile, dipendenza di Fy

da Fx al variare di α fissati γ, Fz, V.

figura 1.8 Variazione del parametro adimensionale Fy/Fz in funzione dell’angolo α, della

velocità e per pista bagnata e asciutta. Dipendenza di Fy e Mz da Fx al variare di α per valori

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico

figura 1.9 Andamenti di Fx, Fy e Mz al variare di α, γ, s, Fz. a velocità costante

condizioni per cui non si hanno misurazioni disponibili. Tutto questo al fine di poter prevedere con sufficiente esattezza il comportamento del pneumatico durante l’atterraggio e quindi poter prevedere ed eventualmente evitare situazioni pericolose quali esplosione del pneumatico, fenomeni vibratori, dispendiose sostituzioni.

Sotto l’assunzione α =0 (V =V_x) le grandezze e i parametri descritti nei paragrafi 1.3 e 1.4 si possono ridefinire come segue:

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico • velocità di scorrimento: V_s =V_sx =V−ΩR_e =(Ω₀−Ω)R_e (1.11) • velocità di rotolamento: V_r =ΩR_e (1.12) • scorrimento pratico: 0 0 x s x V V s s Ω Ω − Ω = = = (1.13) • scorrimento teorico: Ω Ω − Ω = = σ = 0 r s x V V σ (1.14)

Nella tabella 1.1 si evidenziano, per il caso in questione (α =0), i valori assunti dalla velocità di scorrimento, dallo scorrimento pratico e teorico nei casi di moto in puro rotolamento, moto frenato e nel caso di ruota bloccata.

Si ribadisce il fatto che da questo momento in poi, essendo la tesi completamente incentrata sulla dinamica longitudinale del pneumatico, si farà riferimento ai parametri appena riscritti.

Vs s σ

puro rotolamento 0 0 0

ruota frenata 0 < Vs< V 0 < s < 1 0 < σ < ∞

ruota bloccata Vs= V s = 1 σ = ∞

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico

1.5

Modello a spazzola

Il modello detto a spazzola o brush model fornisce, nonostante la sua semplicità, una chiave interpretativa idonea a chiarire molti dei fenomeni che caratterizzano il comportamento dei pneumatici. Successivamente si illustrerà l’effettivo comportamento dei pneumatici cercando di evidenziare anche quegli aspetti non rappresentabili mediante il modello a spazzola.

Si consideri la figura 1.10, in cui i sistemi di riferimento sono ancora quelli di figura 1.4, nella quale la ruota è stata schematizzata come una sagoma rigida sulla quale ruota una sottile cinghia dotata nella parte più esterna di infinite setole radiali, ciascuna di lunghezza trascurabile, dotate di deformabilità elastica flessionale. Una caratteristica fondamentale del modello è quella di considerare la deformazione di ciascuna setola completamente indipendente dalle altre. La sagoma rigida, di raggio pari al raggio della ruota indeformata R0, trasla con velocità V rispetto al sistema inerziale mentre la cinghia ruota sulla sagoma

con velocità angolare Ω.

Per semplicità si suppone che l’angolo di camber γ e l’angolo di deriva α siano nulli, in modo tale da concentrare l’attenzione sul piano longitudinale. Le perdite per rotolamento sono considerate nulle, ovvero momento di resistenza My nullo ottenuto supponendo un

andamento simmetrico rispetto all’asse z della pressione normale p(x) fra ruota e strada, in

2a B A z

F

C z x Z_I I X

V

O R₀ A e P P'

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico particolare si assume un andamento parabolico.

Il punto A è il punto in cui ciascuna setola stabilisce il contatto con la strada e pertanto la setola che si trova in un certo istante in A è indeformata mentre subisce una deformazione nel passare da A a B. Infatti durante la rotazione della cinghia le punte delle setole entrano in contatto con la strada e vi possono aderire per cui, se le condizioni di aderenza lo permettono si ha V_Pa =0, al contrario, la radice della setola è dotata di velocità assoluta:

r a

P' V V

V = − (1.15)

in cui Vr rappresenta la velocità tangenziale della cinghia nella zona in cui la sagoma è

spianata. Per ogni setola è possibile calcolare al tempo t la potenziale deformazione e della setola: ξ = ξ − = ξ = = σ V ) V V ( V V t V e r r r a P' a P' (1.16)

in cui ξ rappresenta la distanza tra la radice della setola considerata e il punto A. La deformazione e(ξ) risulta una funzione lineare di ξ fino a che esiste aderenza tra l’apice

della setola e il suolo. Si vuole rimarcare il fatto che lo spostamento appena calcolato è definito potenziale perché per realizzarsi deve essere compatibile con la condizione di aderenza locale (V_Pa =0). Per capire meglio cosa si intende per aderenza e quale sia la condizione limite si faccia riferimento all’analogia, mostrata in figura 1.11, tra una setola e una massa m premuta al suolo da una forza p e collegata ad una molla di costante elastica

k. r V-V ( ) F p k m p( )

figura 1.11 Analogia tra una setola ed una massa m collegata ad una molla e premuta al

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico E’ evidente dunque che la condizione di aderenza si verifica fino a che:

( )

ξ =kσξ≤µ

( ) ( )

ξp ξ

τ ₀ (1.17)

dove µ₀, detto coefficiente di aderenza, altro non è che il valore medio di attrito statico, funzione della pressione, della temperatura e della velocità di scorrimento. Raggiunto il limite di aderenza il coefficiente di aderenza subisce una discontinuità passando da µ₀a µ₁ (coefficiente di attrito dinamico) e le setole iniziano a strisciare sul suolo. A causa della complessità del problema si possono dare per µ₀ valori puramente indicativi quali 0.8 su strada asfaltata asciutta, 0.4 su strada bagnata e 0.1 su strada ghiacciata. Inoltre si può assumere, sempre a titolo indicativo, che µ₀ =1.2µ₁.

Il valore del punto di transizione dalla zona di aderenza alla zona di slittamento, ξ_s, calcolato per distribuzione di pressione parabolica è:

( )

       σ µ − = σ ξ z 0 2 s F 3 b ka 4 1 a 2 (1.18)

in cui b rappresenta la larghezza del pneumatico. L’analisi grafica mostrata in figura 1.12 permette di visualizzare meglio il punto di transizione.

s

A

_B

p

0

p

1

k

figura 1.12 Ipotetica distribuzione delle tensioni tangenziali lungo la linea mediana

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico Riassumendo si è ottenuto:

• τ

( )

ξ =kσξ se 0<ξ<ξ_S (zona di aderenza) (1.19 I)

• τ

( )

ξ =µ₁p

( )

ξ se ξ_S <ξ<2a (zona di slittamento) (1.19 II) Tutto questo ha spiegato come, a causa della deformabilità del pneumatico, nell’impronta ci siano due zone in condizioni differenti: una iniziale in condizioni di aderenza e una finale in condizioni di slittamento. Nella zona aderente le azioni tangenziali sono lineari in ξ e dipendono essenzialmente dalla rigidezza k del battistrada, mentre nella zona di slittamento sono paraboliche (a causa dell’aver assunto una distribuzione parabolica della pressione di contatto suolo-pneumatico) e dipendono dal coefficiente di aderenza µ₁. La transizione è definita dai parametri che definiscono ξ_s e cioè larghezza dell’impronta (funzione a sua volta della pressione di gonfiaggio e del carico Fz applicato sulla ruota),

larghezza e rigidezza del pneumatico, coefficiente di aderenza µ₀, carico applicato.

1.6

Resistenza al rotolamento

Nel modello a spazzola si era supposto che in assenza di coppia T e con angolo di deriva nullo la ruota non dissipasse energia, ovvero F_x =0. Nella realtà si hanno sempre delle perdite di energia che vanno sotto il nome di perdite per rotolamento. A causa dei fenomeni di isteresi interni alla gomma il diagramma delle pressioni normali p(x) non ha un andamento simmetrico rispetto all’asse y, come invece era stato supposto nel paragrafo 1.5, per cui la risultante Fz si trova in una posizione avanzata rispetto all’asse z. Ne consegue

che oltre alla componente Fz le pressioni danno luogo ad un momento My =−Fzx che si

oppone al moto, figura 1.13. Evidentemente per l’equilibrio al momento in direzione y è quindi necessario che esista una forza Fx fra ruota e battistrada. Per mantenere dunque la

Capitolo 1- Comportamento della ruota con pneumatico forza F_roll0, uguale e contraria ad Fx, applicata al mozzo della ruota stessa. E’ proprio

questa forza

0 roll

F , chiamata resistenza al rotolamento, che compie lavoro e solitamente viene espressa nel seguente modo:

z 0 roll 0 roll F F =µ (1.20)

Nel capitolo successivo si analizzeranno nel dettaglio le dipendenze di µ_roll0, detto coefficiente di resistenza in condizioni di puro rotolamento.

Nel momento in cui si applica alla ruota un momento frenante T si genera all’interfaccia suolo-pneumatico un’ ulteriore forza Fx che va ad aggiungersi alla forza di rotolamento

0 roll

F e che se non equilibrata da un’opportuna forza di trascinamento porta ad una progressivo rallentamento della ruota stessa.

z

x

F

_z

F

_roll

0

F

_x

p( )

0

x

figura 1.13 Andamento asimmetrico delle pressioni di contatto causato dall’isteresi del