Le distribuzioni doppie

(1)

del problema

Raccolta dei dati

Scelta del metodo di analisi Conclusioni

Interpretazione dei risultati

Le distribuzioni doppie

Genere Tipo diploma

1 Femmina ITC

Distribuzione unitaria multipla

97 42,7

130 57,3

Maschio Femmina

Frequenza % Genere

Distribuzioni di frequenza

2 Femmina ITC

3 Femmina Classic o

4 Femmina ITC

5 Masc hio ITC

6 Femmina Sc ientif.

7 Femmina ITC

227 100,0 Totale

10 4,4

Liceo classico Frequenza % Tipo diploma

8 Femmina Classic o

9 Femmina ITC

10 Femmina ITC

11 Masc hio Sc ientif.

12 Femmina ITC

10 4,4

64 28,2

141 62,1

12 5,3

227 100,0

Liceo classico Liceo Scientifico ITC Altro Totale 13 Femmina Sc ientif.

14 Femmina ITC

15 Femmina ITC

18 Femmina ITC

19 Femmina Sc ientif

gg

Liceo Liceo

Tipo dploma

Tabella di frequenze a doppia entrata

20 Masc hio ITC

21 Masc hio ITC

22 Masc hio ITC

: : :

6 30 55 6 97

4 34 86 6 130

10 64 141 12 227

Maschio Femmina Genere Totale

classico Scientifico ITC Altro Totale

L’associazione L’associazione Università di Macerata

Università di Macerata –– Facoltà di Scienze Politiche Facoltà di Scienze Politiche -- Anno accademico 2009Anno accademico 2009--20102010 Cristina Davino Cristina Davino

Definizione del problema

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Consumi p.c. Totale

Esempio Reddito / Consumi

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila Reddito

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

317 316 592 193 1418

Totale 317 316 592 193 1418

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Esempio Reddito / Consumi

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

Distribuzioni marginali

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

317 316 592 193 1418

Totale 317 316 592 193 1418

(2)

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Esempio Reddito / Consumi

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

Distribuzioni marginali Distribuzioni condizionate

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

317 316 592 193 1418

Totale 317 316 592 193 1418

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Esempio Reddito / Consumi

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

317 316 592 193 1418

Totale 317 316 592 193 1418

è

Raccolta

dei dati

Una distribuzioni doppia è caratterizzata da:

Una variabile X, sulle righe, con k modalità;



b l ll

l h

d l à

 Una variabile Y, sulle colonne, con h modalità;



Una distribuzione marginale per la X;



Una distribuzione marginale per la Y;



^g

^p ^;

k distribuzioni di Y condizionate alle modalità di X;



h distribuzioni di X condizionate alle modalità di Y;



Esempio Reddito / Consumi

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

317 316 592 193 1418

Totale 317 316 592 193 1418

Distribuzioni doppie

Distribuzioni relative condizionate Distribuzioni relative condizionate

275/440 151/440

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila

10-15mila 0.63 0.34 0.03 0.00 1.00

15-20mila 0.08 0.42 0.46 0.04 1.00

20-25mila 0.03 0.03 0.77 0.18 1.00

25 30mila 0 00 0 00 0 00 1 00 1 00

Reddito p.c.

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila

25-30mila 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00

Totale 0.22 0.22 0.42 0.14 1.00

Reddito

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila

10-15mila 0 87 0 48 0 02 0 00 0 31

Reddito

Totale 317 316 592 193 1418 275/317

28/317

10 15mila 0,87 0,48 0,02 0,00 0,31

15-20mila 0,09 0,48 0,28 0,07 0,25

20-25mila 0,04 0,04 0,70 0,50 0,38

25-30mila 0,00 0,00 0,00 0,43 0,06

Totale 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

(3)

del problema

Distribuzioni doppie

Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se, Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se,

per qualsiasi modalità di Y, la

distribuzione relativa condizionata di X non cambia

non cambia

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila

10-15mila 0,63 0,34 0,03 0,00 1,00

15-20mila 0,08 0,42 0,46 0,04 1,00

20-25mila 0,03 0,03 0,77 0,18 1,00

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila

, , , , ,

25-30mila 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00

Totale 0,22 0,22 0,42 0,14 1,00

Reddito

p.c. 10-15mila 275 151 14 440

15-20mila 28 151 165 14 358

20-25mila 14 14 413 96 537

25-30mila 83 83

5-10mila 10000-12500 12500-15000 15-20mila

10-15mila 0 87 0 48 0 02 0 00 0 31

Reddito

Totale 317 316 592 193 1418

10 15mila 0,87 0,48 0,02 0,00 0,31

15-20mila 0,09 0,48 0,28 0,07 0,25

20-25mila 0,04 0,04 0,70 0,50 0,38

25-30mila 0,00 0,00 0,00 0,43 0,06

Totale 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

del problema

Distribuzioni doppie

Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se, Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se,

per qualsiasi modalità di Y, la

distribuzione relativa condizionata di X non cambia

non cambia

Dipendenza (Approccio asimmetrico) Se non c’è

indipendenza tra due caratteri

XY oppure YX

Interdipendenza (Approccio simmetrico) X ↔ Y

Simbologia

Voto h

13 33 38 84

38 102 40 180

90 45 20 155

Tizio Caio Sempronio

Docente Basso Medio Alto Totale

. 1

h

i ij

j

n n



 

i-esimo elemento del

141 180 98 419

Totale marginale di riga.

E’ la somma delle frequenze delle modalità di tutte le colonne relativamente alla sola modalità di posto i della

k h

n _ij

Generico elemento

sola modalità di posto i della variabile in riga.

. 1

k

j ij

i

n n



 

^.. ¹ ¹

k h

i j ij

n n

 

  

Generico elemento, di riga i e colonna j.

j esimo elemento del Totale delle frequenze.

j-esimo elemento del marginale di colonna.

E’ la somma delle frequenze delle modalità di tutte le righe relativamente alla sola

à

E’ la somma delle frequenze di tutte le celle, o anche la somma degli elementi dei marginali di riga o di quelli dei marginali di colonna.

modalità di posto j della variabile in colonna.

g

Simbologia

Y

y y y totale y 1 … y j … y h totale x 1 n 11 … n 1j … n 1h n 1.

… … … X x i n i1 … n ij … n ih n i.

… … … X

n n n n

x k n k1 … n kj … n kh n k.

totale n .1 … n .j … n .h n

(4)

L’associazione tra variabili qualitative

Voto

Valori osservati

13 33 38 84

38 102 40 180

90 45 20 155

141 180 98 419

Tizio Caio Sempronio Docente

T t l

Basso Medio Alto Totale

141 180 98 419

Totale

L’associazione tra variabili qualitative

Valori osservati e % di riga (distribuzioni condizionate)

2

mutabili 2

variabili 1 variabile 1 mutabile

13 33 38 84

15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

Freq.

% Freq.

Tizio Caio Docente

Basso Medio Alto Voto

Totale

Approccio simmetrico (interdipendenza)

Approccio asimmetrico (dipendenza)

21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

% Freq.

% Sempronio

Totale

(dipendenza) , , , ,

Indipendenza ⁿ

^ij

 ⁿ

^{i j}^'

n

^{. j}



Le frequenze teoriche: ⁿ ^ ⁿ

p

. '.

i i

n n n

_..

ij j

n n

Le frequenze teoriche:

(in caso di indipendenza)

. .

ˆ

_ij

n

ⁱ

n

^j

n n

 

.



. ..

ij j

i

n n

n  n

L’associazione tra variabili qualitative

Valori osservati, % di riga e valori teorici

13 33 38 84

28,3 36,1 19,6 84,0 15 5% 39 3% 45 2% 100 0%

Freq. oss.

Freq. teoriche

% Tizio

Docente Basso Medio Alto

Voto

Totale

15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

60,6 77,3 42,1 180,0 21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

% Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Caio

Sempronio 90 45 20 155

52,2 66,6 36,3 155,0 58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

141,0 180,0 98,0 419,0 Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Freq. teoriche Sempronio

Totale

33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

%

L’indice  n

ij

 n ^ˆ

ij



²

L indice chi-quadrato

 

2

ˆ

ij ij

i j ij

n n

 ^   n

L’associazione tra variabili qualitative

Voto

13 33 38 84

28,3 36,1 19,6 84,0 15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

60 6 77 3 42 1 180 0 Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

F t i h Tizio

Caio

Docente Basso Medio Alto

Voto

Totale

60,6 77,3 42,1 180,0 21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

52,2 66,6 36,3 155,0 58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Sempronio

Totale

141,0 180,0 98,0 419,0 33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

Freq. teoriche

%

 ⁿ ⁿ ^ˆ 

²

L’indice chi-quadrato:

L’indice phi-quadrato: _

²



² max

_{ }

2 min

_

k 1 ;

_{ }

h 1

_



 

²

   

max   n mink1 ;h1

 

2

ˆ

ij ij

i j ij

n n

    n ^ L indice phi-quadrato:

n

  

^max

 

^ ^^min^_



^k^^{1 ;}

 

^h^¹



^_

L’indice V di Cramer:

   

2

i 1 1

V k h

 

 

   

2

i k 1 h 1

 

 

   

mink1 ;h1 ⁿ^^min^_



^k^^{1 ;}

 

^h^¹



^_

(5)

del problema

L’associazione tra variabili qualitative

Voto

13 33 38 84

28,3 36,1 19,6 84,0 15,5% 39,3% 45,2% 100,0%

38 102 40 180

60,6 77,3 42,1 180,0 Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Freq. teoriche Tizio

Caio

Docente Basso Medio Alto Totale

21,1% 56,7% 22,2% 100,0%

90 45 20 155

52,2 66,6 36,3 155,0 58,1% 29,0% 12,9% 100,0%

141 180 98 419

141,0 180,0 98,0 419,0 33 7% 43 0% 23 4% 100 0%

% Freq. oss.

Freq. teoriche

% Freq. oss.

Freq. teoriche

% Sempronio

Totale

33,7% 43,0% 23,4% 100,0%

%

 

²

2

ˆ

ij ij

n n

    ^  83 780

i j

n

ij

  

2



2

 

83,780

 83,78

  0 200

 n

 419  0,200

2

V

^min   ^{1 ;}   ¹  0,200 0 316

V



k h

   

 

,

 2  0,316

del problema

L’associazione tra variabili qualitative

Conteggio Conteggio

43 82 29 13 167

27 68 31 33 159

19 13 24 56

70 169 73 70 382

<30%

30-50%

>50%

Frequenza ai corsi T t l

Meno di 96 96-105 106-110 110 e lode VOTO di LAUREA

Totale

70 169 73 70 382

Totale

43 82 29 13 167

Freq.

%

<30%

Frequenza ai corsi

Totale 2

 ˆ 

²

ˆ

ij ij

i j ij

n n

    n ^

25,7% 49,1% 17,4% 7,8% 100,0%

27 68 31 33 159

17,0% 42,8% 19,5% 20,8% 100,0%

19 13 24 56

33,9% 23,2% 42,9% 100,0%

70 169 73 70 382

18 3% 44 2% 19 1% 18 3% 100 0%

% Freq.

% 30-50%

>50%

ai corsi

Totale

i j

n

ij

47,559



18,3% 44,2% 19,1% 18,3% 100,0%

%

43 82 29 13 167

30 6 73 9 31 9 30 6 167 0

Freq. osservate

F t i h

<30%

Frequenza ai corsi

Totale 2

V



30,6 73,9 31,9 30,6 167,0



25,7% 49,1% 17,4% 7,8% 100,0%

27 68 31 33 159

29,1 70,3 30,4 29,1 159,0

17,0% 42,8% 19,5% 20,8% 100,0%

0 19 13 24 56

10 3 24 8 10 7 10 3 56 0

Freq. teoriche

% Freq. osservate Freq. teoriche

% Freq. osservate

F t i h

30-50%

>50%

ai corsi

   

min 1 ; 1

V



k h

   

 

0,249



10,3 24,8 10,7 10,3 56,0

,0% 33,9% 23,2% 42,9% 100,0%

70 169 73 70 382

70,0 169,0 73,0 70,0 382,0

18,3% 44,2% 19,1% 18,3% 100,0%

Freq. teoriche

% Freq. osservate Freq. teoriche

% Totale

Esercizi

f

Discipline Materie Materie Attitudine

Le frequenze osservate

22 27 51 100

35 40 44 119

57 67 95 219

Femmina Maschio Genere

Totale

artistiche umanistiche scientifiche Totale

Le distribuzioni condizionate

f i

Discipline

artistiche Materie

umanistiche Materie scientifiche Attitudine

Totale

22 27 51 100

22,0% 27,0% 51,0% 100,0%

35 40 44 119

29,4% 33,6% 37,0% 100,0%

freq.

% freq.

% Femmina Maschio Genere

57 67 95 219

26,0% 30,6% 43,4% 100,0%

freq.

% Totale

Esercizi

Discipline Materie Materie Attitudine

Le frequenze osservate

22 27 51 100

35 40 44 119

57 67 95 219

Totale

artistiche umanistiche scientifiche Totale

Le frequenze teoriche

22 27 51 100

Osservate Femmina

Genere

Discipline

umanistiche Materie scientifiche Attitudine

Totale

22 27 51 100

26,0 30,6 43,4 100,0

35 40 44 119

31,0 36,4 51,6 119,0

57 67 95 219

Osservate Teoriche Osservate Teoriche

O t

T t l 57 67 95 219

57,0 67,0 95,0 219,0

Osservate Teoriche Totale

(6)

Esercizi

Di i li M t i M t i

Attitudine

Le frequenze osservate e teoriche

22 27 51 100

26,0 30,6 43,4 100,0

35 40 44 119

Osservate Teoriche

O t

Femmina M hi Genere

Discipline

umanistiche Materie

scientifiche Totale

35 40 44 119

31,0 36,4 51,6 119,0

57 67 95 219

57,0 67,0 95,0 219,0

Osservate Teoriche Osservate Teoriche Maschio

Totale

Il calcolo del chi-quadrato

 ^{22 26} 

²

 ^{27 30 6} 

²

 ^{51 43 4} 

²

 ^{35 31} 

²

 ^{40 36 4} 

²

 ^{44 51 6} 

²

     

2

22 26 27 30,6 51 43, 4

26 30,6 43, 4

  ^  ^  ^   ^{35 31}   ^{40 36, 4}   ^{44 51,6} 

31 36, 4 51,6

  

 

16 12,96 57,76 16 12,96 57,76 26 30 6 43 4 31 36 4 51 6

     

26 30,6 43, 4 31 36, 4 51,6 0,615 0, 424 1,331 0,516 0,356 1,119

       4,361

Esercizi

Di i li M t i M t i

Attitudine

Le frequenze osservate e teoriche

22 27 51 100

26,0 30,6 43,4 100,0

35 40 44 119

Osservate Teoriche

O t

Femmina M hi Genere

Discipline

umanistiche Materie

scientifiche Totale

35 40 44 119

31,0 36,4 51,6 119,0

57 67 95 219

57,0 67,0 95,0 219,0

Osservate Teoriche Osservate Teoriche Maschio

Totale

Il calcolo del chi-quadrato e dell’indice V di Cramer

2

4 361

2

4,361

 

2

Le distribuzioni doppie

Le distribuzioni doppie

Distribuzione unitaria multipla

Distribuzioni di frequenza

Tabella di frequenze a doppia entrata

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Esempio Reddito / Consumi

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Esempio Reddito / Consumi

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Esempio Reddito / Consumi

Le distribuzioni doppie

è Una distribuzione doppia è:



quantitativa lit ti

se entrambe le componenti sono quantitative;

b l i li i

qualitativa mista

se entrambe le componenti sono qualitative;

se una componente è quantitativa, l’altra qualitativa.

Esempio Reddito / Consumi

è

Una distribuzioni doppia è caratterizzata da:

Una variabile X, sulle righe, con k modalità;



b l ll

d l à

 Una variabile Y, sulle colonne, con h modalità;



Una distribuzione marginale per la X;



Una distribuzione marginale per la Y;



p ;





Esempio Reddito / Consumi

Distribuzioni doppie

Distribuzioni relative condizionate Distribuzioni relative condizionate

Distribuzioni doppie

Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se, Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se,

per qualsiasi modalità di Y, la

distribuzione relativa condizionata di X non cambia

non cambia

Distribuzioni doppie

Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se, Indipendenza : il carattere X è indipendente da Y se,

per qualsiasi modalità di Y, la

distribuzione relativa condizionata di X non cambia

non cambia

Dipendenza (Approccio asimmetrico) Se non c’è

indipendenza tra due caratteri

XY oppure YX

Interdipendenza (Approccio simmetrico) X ↔ Y

Simbologia

n n

 

^p ^;

n _ij

Indipendenza ⁿ

 ⁿ

Le frequenze teoriche: ⁿ ^ ⁿ

 n ^ˆ

 ^   n

 ⁿ ⁿ ^ˆ 

L’indice phi-quadrato: _

_{ }

_

_{ }

_

    n ^ L indice phi-quadrato: