Alvise Sommariva
Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica
La ricorsione a tre termini dei polinomi di Chebyshev `e la seguente 1 T0(x ) = 1;
2 T1(x ) = x ;
3 Tn+1(x ) = 2x Tn(x ) − Tn−1(x ). per x ∈ [−1, 1].
Usando la formula ricorsiva, valutare per xk = −1 + 2k/1000 for
k = 0, . . . , 1000 il polinomio T10 e plottarne i risultati. Calcolare
numericamente che kT10(x ) − cos (10 arccos (x ))k∞≈ 0 usando il
comando norm (aiutarsi con l’help di Matlab). Si pu`o dire che numericamente
Strategie possibili (l’una alternativa all’altra!!)
1 Immagazzinare tutti i polinomi ortogonali in una matrice la cui j -sima riga `e la valutazione del polinomio Tj +1 nel vettore
x . Pu`o essere utile sapere che se A `e una matrice qualsiasi la selezione della sua penultima colonna `e A(:,end-1), mentre quella dell’ultima `e A(:,end).
2 Immagazzinare in 2 vettori y0, y1 gli ultimi 2 polinomi ortogonali Tm−1e Tm valutati in x , calcolare y2 valutazione
di Tm+1 e quindi aggiornare y0, y1; dopo diverse iterazioni
del processo si ottiene la valutazione di T10.
f u n c t i o n I=c h e b _ i n t e g r a l ( f , N )
k = ( 0 : N −1) ’ ;
x=c o s( (p i/ 2 )∗(2∗ k+1)/N ) ; fx=f e v a l( f , x ) ;
I=(p i/ N )∗sum( fx ) ;
calcola esattamente l’integrale I =
Z 1 −1
f (x )√ 1 1 − x2dx
per f che sono polinomi di grado al pi`u 2N − 1. Scegliendo appropriatamente N mostrare che (T10, Tk)w = 0 per k = 0, . . . , 9
e w (x ) = √1
Suggerimenti:
1 Calcolare i prodotti scalari uno alla volta e non fare un codice che li faccia tutti in un colpo solo (cosa non di semplice gestione), ma che comunque si pu`o fare con cicli for sapendo che si pu`o definire f come
m =10; n =9; a=n u m 2 s t r( m ) ; b=n u m 2 s t r( n ) ;
s=s t r c a t (’ c o s ( ’, a ,’∗ acos ( x ) ) . ∗ cos ( ’, b ,’∗ acos ( x ) ) ’) ; f=i n l i n e ( s ) ;
2 Utilizzare il comando inline come ad esempio per
f=i n l i n e (’ c o s ( 1 0∗ acos ( x ) ) . ∗ cos (9∗ acos ( x ) ) ’) ;
3 Utilizzare
I=c h e b _ i n t e g r a l ( f , N ) ;
4 Scegliere N pensando al grado del polinomio. Se devo
