Numeri Complessi

Numeri Complessi

Perchè?

Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40

Girolamo Cardano

Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40

x(10 − x) = 40

le soluzioni sono:

x ₁ = 5 + √

−15 x ₂ = 5 − √

−15

Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40

x(10 − x) = 40

le soluzioni sono:

x ₁ = 5 + √

−15 x ₂ = 5 − √

−15

� 5+ √

−15 ��

5 − √

−15 �

=25 + 5 √

−15 − 5 √

−15 − ( √

−15) ²

=25 + 15 = 40

Girolamo Cardano

Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è tanto raffinato

quanto inutile.”

connesse:

(5 + √

−15) · (5 − √

−15) = 25 − (−15) = 40

spesso impossibili [complesse], per esibire casi di problemi impossibili.”

Newton (1728)

Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana (Brescia, 1499 – Venezia 1557)

Gerolamo Cardano (Pavia 1501 – Roma, 1576?) Scipione del Ferro (Bologna,1465 – Bologna, 1526)

Lodovico Ferrari (1522 –1565)

?

La formula risolutiva si semplifica !!

La formula risolutiva si semplifica !!

x 1 = 4, x 2 = −2 − √

3, x 3 = √ 3 − 2 x ³ − 15x − 4 = 0

le soluzioni sono:

x 1 = 4, x 2 = −2 − √

3, x 3 = √ 3 − 2 x ³ − 15x − 4 = 0

le soluzioni sono:

�4 �2 2 4

�40

�20 20 40

4

Usando la formula risolutiva x 1 = 4, x 2 = −2 − √

3, x 3 = √ 3 − 2 x ³ − 15x − 4 = 0

le soluzioni sono:

x ₁ =

� 2 + √

−121 +

� 2 − √

−121 = 4 x 2 = . . .

x 3 = . . .

?

Viene introdotto il simbolo i = √

−1

sono sempre reali;

talvolta esse sono immaginarie.”

Descartes, Géométrie (1637)

Haye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650) René Descartes

in quel mostro dell’analisi, quel portento del mondo ideale, quell’anfibio fra essere e non essere,

che chiamiamo

radice immaginaria dell’unità negativa.”

Leibniz (1702)

Rappresentazione grafica

1 2 3 4 -1

-2 0

1/2

√ 3

Retta reale

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

4+2i

Piano complesso

o piano di Argand-Gauss

Karl Friederich Gauss,

(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855) Jean-Robert Argand

(Ginevra 1768 – Parigi, 1822)

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i Numeri immaginari

Numeri reali

i 2i 3i

−i

−2i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i Numeri immaginari

Numeri reali

Numeri complessi

i 2i 3i

−i

−2i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

i 2i 3i

−i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

|z|

modulo di z = distanza di z dall’origine

i 2i 3i

−i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

|z|

modulo di z

|z| = �

4 ² + 2 ² = 2 √ 5

= distanza di z dall’origine

i 2i 3i

−i

−2 −1 0 1 2 3 4

z = 4 + 2i

|z|

modulo, parte reale, parte immaginaria

Re(z) Im(z)

Im(z) = 2 Re(z) = 4

|z| = �

4

+ 2

= 2 √

5

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

w = 2 − i

Opposto di w

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

−w = −2 + i

w = 2 − i

-w = opposto di w

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

Asse immaginario

Asse reale

−w = −2 + i

w = 2 − i

coniugato di z

z = 4 + 2i

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

Asse immaginario

Asse reale

−w = −2 + i

w = 2 − i

Opposto e coniugato

z = 4 + 2i

¯

z = 4 − 2i

z = a + ib

z = a + ib

¯

z = a − ib coniugato di z

−z = −a − ib opposto di z

z = a + ib

Re(z) = a parte reale di z

Im(z) = b parte immaginaria di z

¯

z = a − ib coniugato di z

−z = −a − ib opposto di z

z = a + ib

Re(z) = a parte reale di z

Im(z) = b parte immaginaria di z modulo di z : |z| = �

a ² + b ²

¯

z = a − ib coniugato di z

−z = −a − ib opposto di z

4 2i

-i -1

z=4+2i

|z|

Modulo di z

θ

Argomento

di z

4 2i

-i -1

z=4+2i

4 2i

-i -1

z=4+2i

|z|

Modulo di z

4 2i

-i -1

z=4+2i

|z|

Modulo di z

θ

Argomento

di z

4 2i

-i -1

z=4+2i

|z|

Modulo di z

θ

Argomento di z 2 = |z| sin(θ)

4 = |z| cos(θ)

z = a + bi

|z| = �

a ² + b ² arg(z) = θ = arctan

� b a

�

se a > 0 altrimenti · · ·

z = a + bi

|z| = �

a ² + b ² arg(z) = θ = arctan

� b a

�

a = |z| cos(θ) b = |z| sin(θ)

se a > 0 altrimenti · · ·

z = a + bi

|z| = �

a ² + b ² arg(z) = θ = arctan

� b a

�

a = |z| cos(θ) b = |z| sin(θ) z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

= |z| (cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ))

se a > 0 altrimenti · · ·

Somma: z + w, 2z, . . .

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

z + w, 2z, . . . zw, 1

z , z

, z

. . .

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

Radici: quadrate, cubiche,...

z + w, 2z, . . . zw, 1

z , z

, z

. . .

√ z, √

z, . . .

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

Radici: quadrate, cubiche,...

Esponenziali:

z + w, 2z, . . . zw, 1

z , z

, z

. . .

√ z, √

z, . . .

2

, i

, i

, . . .

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

Radici: quadrate, cubiche,...

Esponenziali:

z + w, 2z, . . . zw, 1

z , z

, z

. . .

√ z, √

z, . . .

2

, i

, i

, . . .

(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i

(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i

(3 + 2i) − (4 + 5i) = (3 − 4) + (2 − 5)i = −1 − 3i

(3 + 2i) + (4 + 5i) = (3 + 4) + (2 + 5)i = 7 + 7i

a + bi + c + di = a + c + (b + d)i

(3 + 2i) − (4 + 5i) = (3 − 4) + (2 − 5)i = −1 − 3i

z = a + ib, −z = −a − ib, z = a ¯ − ib.

z + ( −z) = 0 z + ¯ z = 2a = 2 Re(z)

¯¯z = z

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

z=4+2i Asse immaginario

Asse reale w=2-i

6 5

Regola del Parallelogramma

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

z=4+2i Asse immaginario

Asse reale w=2-i

6 5

z+w=6+i

Regola del Parallelogramma

1 2 3 4 i

2i 3i

-i

-2i -1 -2

z=4+2i Asse immaginario

Asse reale w=2-i

6 5

z+w=6+i

Regola del Parallelogramma

|z − w| = distanza fra z e w

1 2 3 4

i

-i

-2i -1

-2 5 6

z

w

|z − w| = distanza fra z e w

1 2 3 4

i

-i

-2i -1

-2 5 6

z

w

−w

|z − w| = distanza fra z e w

1 2 3 4

i

-i

-2i -1

-2 5 6

z

w

z − w

|z − w| = distanza fra z e w

1 2 3 4

i

-i

-2i -1

-2 5 6

z

w z − w

−w

|z − w| = distanza fra z e w

1 2 3 4

i

-i

-2i -1

-2 5 6

z

w z − w

−w

i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i ² = ( −i) ² = −1

i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i ² = ( −i) ² = −1

(a + ib) ∗ (c + id) =

i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i ² = ( −i) ² = −1

(a + ib) ∗ (c + id) = ac + (bc + ad)i + (i) ² bd

i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i ² = ( −i) ² = −1

(a + ib) ∗ (c + id) = ac + (bc + ad)i + (i) ² bd

= ac + (bc + ad)i + ( −1)bd

i ∗ i = −i ∗ −i = −1

i ² = ( −i) ² = −1

(a + ib) ∗ (c + id) = (ac − bd) + (ad + bc)i (a + ib) ∗ (c + id) = ac + (bc + ad)i + (i) ² bd

= ac + (bc + ad)i + ( −1)bd

z = r (cos(θ) + i sin(θ)) w = s (cos(φ) + i sin(φ))

z ∗ w = (r (cos(θ) + i sin(θ))) ∗ (s (cos(φ) + i sin(φ)))

= rs (cos(θ) + i sin(θ)) (cos(φ) + i sin(φ))

= rs (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ)) + i (sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ))

z = r (cos(θ) + i sin(θ)) w = s (cos(φ) + i sin(φ))

z ∗ w = (r (cos(θ) + i sin(θ))) ∗ (s (cos(φ) + i sin(φ)))

= rs (cos(θ) + i sin(θ)) (cos(φ) + i sin(φ))

= rs (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ)) + i (sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ))

z ∗ w = rs (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))

i

θ

z = a + ib = r (cos(θ) + i sin(θ))

z

r

w s φ

w = s (cos(φ) + i sin(φ))

i

θ

z = a + ib = r (cos(θ) + i sin(θ))

z

r

w s φ

w = s (cos(φ) + i sin(φ))

θ + φ

i

θ

z

r

w s φ

rs

z ∗ w = rs (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))

θ + φ

z = r (cos(θ) + i sin(θ)) ; w = s (cos(φ) + i sin(φ))

z ∗ w = rs (cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))

i

θ

z

r

z ⁻¹ =

i

θ

z

r

1 z = 1

r

� cos( −θ) + sin(−θ) �

z ⁻¹ =

i

θ

z

r

1 z = 1

r

� cos( −θ) + sin(−θ) � z ⁻¹

z ⁻¹ =

1

−θ

r

z ⁻¹ = 1 r

� cos( −θ) + i sin(−θ) �

z ⁻¹ = a

a ² + b ² − i b a ² + b ² in forma trigonometrica:

in forma algebrica:

Scrivi in forma algebrica: ^{3 − 2i} 4 + 3i

(2 + i) ²

(2 + i) ³

Scrivi in forma trigonometrica: 1 + i

(1 + i) ²

z = r (cos(θ) + i sin(θ))

z ² = r ² �

cos(2θ) + i sin(2θ) � z ³ = r ³ �

cos(3θ) + i sin(3θ) � .. .

z ⁿ = r ⁿ �

cos(nθ) + i sin(nθ) �

i

θ

z ² = r ² (cos(2θ) + i sin(2θ))

z

2θ _r r ²

z = r �

cos(θ) + i sin(θ) �

a i

1

r θ

i b

z = a + ib = r (cos(θ) + i sin(θ))

z ⁴ = r ⁴ (cos(4θ) + i sin(4θ))

z

z ²

2θ

r ⁴ 4θ

θ

2θ

5 10 15

�5 5 10

z = 1 + i

z

5 10 15

�5 5 10

z = 1 + i

z

z

5 10 15

�5 5 10

z = 1 + i

z z

z

z

= −4

5 10 15

�5 5 10

z = 1 + i

z z

z

z

= −4

z

z

= −8i z

z

= 16

5 10 15

�5 5 10

z = 1 + i

z z

z

z

= −4

z

z

= −8i z

z

= 16 z

= 1

z

Disegnate sul piano di Gauss:

z = �

1 + i � 20

z = i ¹⁰⁰²

z = 1

¯

w se w = 1 + i √

3

Le radici quadrate di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al quadrato danno z.

s ² = r

2φ = θ + 2kπ z = r �

cos(θ) + i sin(θ) �

e w = s �

cos(φ) + i sin(φ) � w = √

z se e solo se w ² = z.

Supponiamo che:

allora ^w

^{= s}

^� cos(2φ) + i sin(2φ) � se e solo se

= z

k = . . . , −1, 0, 1, 2, . . .

w ² = s ² �

cos(2φ) + i sin(2φ) �

= i se e solo se

s ² = 1 2φ = π

2 + 2kπ, k = · · · − 1, 0, 1, . . . cioè se

s = 1 e φ = π

4 oppure φ = π

4 + π

i

1

w 1 = cos(π/4) + i sin(π/4)

i

1

w 1 = cos(π/4) + i sin(π/4)

w 2 = cos(5π/4) + i sin(5π/4)

s = r

φ = θ

3 + k 2 3 π

Le radici terze di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al cubo danno z.

z = r �

cos(θ) + i sin(θ) �

e w = s �

cos(φ) + i sin(φ) � Supponiamo che:

allora se e solo se

w = √

z se e solo se w ³ = z

w ³ = s ³ �

cos(3φ) + i sin(3φ) �

= z

s ³ = r

3φ = θ + 2kπ ^{= ⇒}

k = . . . , −1, 0, 1, 2, . . .

i

1

w

= cos(π/6) + i sin(π/6)

w 1

i

1

w

= cos(π/6) + i sin(π/6)

w

= cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)

w 1

w 2

i

1

w

= cos(π/6) + i sin(π/6)

w

= cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)

w

= cos(π/6 + 4π/3) + i sin(π/6 + 4π/3)

w 1

w 2

w 3

i

1

w

= cos(π/6) + i sin(π/6)

w

= cos(π/6 + 2π/3) + i sin(π/6 + 2π/3)

w

= cos(π/6 + 4π/3) + i sin(π/6 + 4π/3)

w 1

w 2

w 3

i

1 w 1

w 2

w 3

√

1

w 2 i

w 3

i

1 w 1

w 3

w ₂ = −1

√

1 √

−1

w 1 = 1

w 1 = 1

√ 4

1

w 3 = −1

w 2 = i

w 3 = −i

= �

1, i, −1, −i �

i

1

√ 4

−1

w

=

√ 2 2 + i

√ 2 w

= − 2

√ 2 2 + i

√ 2 2

w

= −

√ 2 2 − i

√ 2 2

w

=

√ 2 2 − i

√ 2 2

=�√ 2 2 + i

√2 2 ,−

√2 2 + i

√2 2 ,−

√2 2 − i

√2 2 ,

√2 2 − i

√2 2

�

w 1 = r ^1/n

� cos

� θ n

� + i sin

� θ n

��

,

w 1 = r ^1/n

� cos

� θ n

� + i sin

� θ n

��

,

w 2 = r ^1/n

� cos

� θ n + 2π

n

� + i sin

� θ n + 2π

n

��

,

w 1 = r ^1/n

� cos

� θ n

� + i sin

� θ n

��

,

w 2 = r ^1/n

� cos

� θ n + 2π

n

� + i sin

� θ n + 2π

n

��

,

w 3 = r ^1/n

� cos

� θ

n + 2 2π n

� + i sin

� θ

n + 2 2π n

��

,

w 1 = r ^1/n

� cos

� θ n

� + i sin

� θ n

��

,

w 2 = r ^1/n

� cos

� θ n + 2π

n

� + i sin

� θ n + 2π

n

��

,

w 3 = r ^1/n

� cos

� θ

n + 2 2π n

� + i sin

� θ

n + 2 2π n

��

,

w n = r ^1/n

� cos

� θ

n + (n − 1) 2π n

� + i sin

� θ

n + (n − 1) 2π n

��

.

.. . .. .

w 1 = r ^1/n

� cos

� θ n

� + i sin

� θ n

��

,

w 2 = r ^1/n

� cos

� θ n + 2π

n

� + i sin

� θ n + 2π

n

��

,

w 3 = r ^1/n

� cos

� θ

n + 2 2π n

� + i sin

� θ

n + 2 2π n

��

,

w n = r ^1/n

� cos

� θ

n + (n − 1) 2π n

� + i sin

� θ

n + (n − 1) 2π n

��

.

.. . .. .

w n+1 = r ^1/n

� cos

� θ n + 2π

� + i sin

� θ n + 2π

��

w 1 = r ^1/n

� cos

� θ n

� + i sin

� θ n

��

,

w 2 = r ^1/n

� cos

� θ n + 2π

n

� + i sin

� θ n + 2π

n

��

,

w 3 = r ^1/n

� cos

� θ

n + 2 2π n

� + i sin

� θ

n + 2 2π n

��

,

w n = r ^1/n

� cos

� θ

n + (n − 1) 2π n

� + i sin

� θ

n + (n − 1) 2π n

��

.

.. . .. .

w n+1 = r ^1/n

� cos

� θ n + 2π

� + i sin

� θ n + 2π

��

=

�0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5 0.5

1

�0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5 0.5

1

2π

7

�1.0 �0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5 0.5

�1.0 �0.5 0.5 1.0

�1.0

�0.5 0.5

2π

15

x ³ = a

x ⁿ = a

ha 3 soluzioni

ha n soluzioni

x = √

a

x = √

a

ha sempre L’equazione

x ⁿ + a 1 x ^{n −1} + a 2 x ^{n −2} + · · · + a n −1 x + a n = 0 n soluzioni nel campo complesso.

Karl Friederich Gauss,

(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)

ha sempre L’equazione

x ⁿ + a 1 x ^{n −1} + a 2 x ^{n −2} + · · · + a n −1 x + a n = 0 n

(Contandole con la loro molteplicità)

soluzioni nel campo complesso.

√ 4

z ² �= √

z

√ 4

z ² �= √ z

Sono 4 numeri complessi Sono 2 numeri complessi

√ 4

z ² �= √ z

Sono 4 numeri complessi Sono 2 numeri complessi

n

m = _p ^q �⇒ ^m √

z ⁿ = √ ^p

z ^q