. In caso affermativo fornirne una base.

1. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di R

²

. In caso affermativo fornirne una base.

a) (x, y) t.c. x

²

+ y

²

= 1 b) (x, y) t.c. x

²

+ y

²

= 0

c) (x, y) t.c. x

²

+ y

²

− x − y = 0 d) {(x, y) t.c. x + y + 1 = 0}

e) {(x, y) t.c. x + 2y = 0}

f) {(x, y) t.c. x = 0}

g) {(x, y) t.c. y = 0}

h) {(x, y) t.c. x > 0}

i) {(x, y) t.c. x ≥ 0}

j) {(x, y) t.c. x 6= 0}

k) {(x, y) t.c. x 6= y + 1}

l) {(x, y) t.c. x = 0} ∪ {(x, y) t.c. y = 0}

m) {(1, −1)}

2. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di R

³

. In caso affermativo fornirne una base.

a) {(x, y, z) t.c. x = y = 0}

b) {(x, y, z) t.c. y = z + 1}

c) V

₁

= {(x, y, z) t.c. y + z = 0}

d) V

₂

= {(x, y, z) t.c. x + 2y − 3z = 0}

e)







(x, y, z) t.c.



 x y z



 = t



 3 0 1



 + s



 2

−1 0



 , t, s ∈ R







(Intendi: tutte le terne (x, y, z) che possono essere cos`ı scritte al variare di t e s in R) f) V

1

∩ V

₂

g) V

1

∪ V

₂

h) {(x, y, z) t.c. z = 2x = −2y}

i)







(x, y, z) t.c.



 x y z



 = t





−2 1 1



 + s



 4

−2

−2



 , t, s ∈ R







j)







(x, y, z) t.c.



 x y z



 = t



 3 0 0



 + s



 2 0 1



 +



 0 1 1



 , t, s ∈ R







3. Per quali valori del parametro k ∈ R il seguente insieme `e un sottospazio di R

³

?







(x, y, z) t.c.



 x y z



 = t



 3 0 0



 + s



 2 0 1



 +



 8 0 k



 , t, s ∈ R





 4. Per quali valori del parametro k ∈ R il seguente insieme `e un sottospazio di R

³

?

(x, y, z) t.c. 2x + 3y + 7z = k

²

− 1

Indicheremo con M

_n

l’insieme della matrici reali quadrate n × n e con M

_nm

l’insieme della matrici

reali n × m.

5. M

nm

` e uno spazio vettoriale su R (essendo la somma e il prodotto per scalare quelli noti tra matrici). Fornire una base per M

3

. Che dimensione ha M

nm

?

6. Sia Hom(R

²

, R

³

) l’insieme definito da L : R

²

→ R

³

t.c. L ` e lineare . Esso ha la struttura di spazio vettoriale sui reali. Che dimensione ha? Quale base possiamo associargli?

7. L’insieme delle matrici 3 × 3 simmetriche ` e un sottospazio vettoriale di M

3

? Se si, darne una base.

8. L’insieme delle matrici di M

3

tali che la somma di tutte le entrate ` e nulla ` e un sottospazio di M

₃

?

9. Sia fissata M ∈ M

_n

. L’insieme {A ∈ M

_n

t.c. AM = M A} ` e un sottospazio di M

_n

? Discutere il caso in cui M ` e la matrice









1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 −1









(1)

10. Siano fissate M e N in M

_n

. L’insieme {A ∈ M

_n

t.c. N A = M } ` e un sottospazio di M

_n

? Fornire un esempio di M e N affinch´ e lo sia.

11. Dati due spazi vettoriali V e W su un campo K e data L : V → W lineare, dimostrare che l’insiemi dei vettori v ∈ V tali che L(v) = 0 ` e un sottospazio di V . Detto Ker(L) tale sottospazio, che ruolo svolge L all’interno di Hom(V, W ) se Ker(L) = V ?

12. L’insieme



L ∈ Hom(R

²

, R

³

) t.c. L 1 0



= 1 0



` e un sottospazio di Hom(R

²

, R

³

)?

13. L’insieme



L ∈ Hom(R

²

, R

³

) t.c. L 1 0



= L 0 1



` e un sottospazio di Hom(R

²

, R

³

)?

14. Sia F l’insieme delle funzioni R → R continue. Esso ha struttura di spazio vettoriale su R, definiti somma e prodotto per scalare dalle formule (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x) per ogni f, g ∈ F e α ∈ R. Quale `e lo zero di questo spazio vettoriale?

Il sottoinsieme di F formato dalle funzioni f che verificano f (2) = 0 ` e un sottospazio? E l’insieme delle f che verificano f (2) = 1?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

15. Siano dati i sottoinsiemi di R

³

U

₁

= span(e

₁

) e U

₂

= span(e

₂

, e

₃

) dove {e

₁

, e

₂

, e

₃

} ` e la base canonica di R

³

. Come ` e fatto U

1

+ U

2

?

16. Dare una base per span(e

₁

+ e

₂

+ e

₃

) + span(e

₃

). {e

₁

, e

₂

, e

₃

} ` e la base canonica di R

³

. 17. Fornire una base per lo spazio vettoriale V

₁

+ V

₂

dell’esercizio 2.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

18. Quante applicazioni f : R

²

→ R

²

lineari esistono tali che f (e

1

) = e

2

e f (e

2

) = e

1

? {e

1

, e

2

} ` e la base canonica di R

²

.

19. Dire se le seguenti funzioni sono lineari. In caso positivo trovare la matrice rappresentativa dopo aver scelto delle basi per gli spazi di arrivo e partenza.

a) f : R

³

→ R, f(x, y, z) = sin(xyz)

2

b) f : R

³

→ R

⁶

, f (r, s, t) = (r, r, s, s, t, t) c) f : R

³

→ R

³

, f (x, y, z) = (y, z, x)

d) f : R

³

→ R

³

, f (x, y, z) = (2x − 3y + z, 0, xy) e) f : R

³

→ R

³

, f (x, y, z) = (2x − 3y + z, 0, x + y) f) f : R

³

→ R

²

, f (x, y, z) = (2x − 3y + z, x + y + 1)

20. La funzione f : M

n

→ M

_n

che ad una matrice associa la sua trasposta, ovvero f (A) = A

^t

, ` e lineare? In caso positivo:

a) Trovarne il nucleo

b) Dire se ammette l’autovalore 1 e in tal caso trovarne l’autospazio

? ? ? rompicapo per i pi` u coraggiosi ? ? ?

21. Siano U e V due sottospazi di uno spazio vettoriale W su K tali che W = U ⊕ V . Dimostrare che per ogni w ∈ W esistono unici u ∈ U e v ∈ V tali che w = u + v.

Sia L

U

l’applicazione W → W che al generico w associa il vettore u appena detto. Allo stesso modo si costruisca L

_V

: W → W che a w associa v. Dimostrare che L

_U

e L

_V

sono lineari, che L

U

(L

U

(w)) = L

U

(w) ∀w, che L

U

(L

V

(w)) = L

V

(L

U

(w)) = 0 ∀w e che L

U

+ L

V

` e l’identit` a in W . Detta {e

1

, e

2

, e

3

} la base canonica di R

³

, si ponga ora W = R

³

, U = span(e

3

), V = span(e

1

, e

2

).

Decomporre il vettore (1, 2, 3)

^t

nella somma u + v con u ∈ U e v ∈ V . Trovare le matrici rappresentative di L

_U

e L

_V

rispetto alla base canonica e utilizzarle per verificare le relazioni di composizione e somma di L

U

e L

V

dette prima.

22. La risposta all’esercizio 18 ` e: ne esiste una e una sola. Trovare la sua matrice rappresentativa A rispetto alla base canonica di R

²

. Scegliere una base per le matrici M

2

in cui almeno un elemento ` e una matrice simmetrica ma non diagonale, quindi scrivere le coordinate di A e della sua inversa in questa base.

23. Data una matrice M quadrata, verificare che M + M

^t

` e simmetrica.

Sia S il sottoinsieme di M

_n

formato dalle matrici simmetriche e A quello formato dalle matrici antisimmetriche. Dimostrare che A e S sono due sottospazi e che M

_n

= A ⊕ S. Allora data la generica matrice M n × n esistono uniche due matrici X ∈ S e Y ∈ A tali che M = X + Y . Dare la formula per trovare X e Y .

Sia s : M

₂

→ M

₂

l’applicazione che a M ∈ M

₂

associa s(M ) = (M + M

^t

)/2. Dopo aver dimo- strato che ` e lineare, dire se ` e invertibile e trovarne il nucleo. Scriverne la matrice rappresentativa in una base di M

2

a scelta quindi trovare l’insieme delle M ∈ M

2

tali che

s(M ) = 1 0 0 1



(una volta scelta una base, questo ` e un sistema lineare nelle coordinate di M ).

3