Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari
Matrici associate a cambi di base e a omomorfismi
Anna M. Bigatti 26 febbraio 2013
1 Matrici associate a cambi di base
Definizione 1. Sia data una base F = (f1, . . . , fs) di uno spazio vettoriale V . Ogni vettore v ∈ V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori in F , v = a1f1+ . . . + asfs. Definiamo la matrice delle coordinate di v rispetto a F
MvF =
a1
... as
Esempio 2. Sia dato in R2 il vettore v = (1, 3) = 1 · e1+ 3 · e2. Allora MvE= 1 3
. Esempio 3. Sia dato V ⊆ R3 generato da F = ((0, 1, 0), (1, 1, 1)) : f1, f2 sono linermente indipendenti e quindi sono base di V .
Consideriamo il vettore v = (1, 3, 1) = 2 · f1+ 1 · f2. Allora MvF = 2 1
.
Osservazione: v = (1, 3) `e un vettore; 1 e 3 sono scalari; MvE= 1 3
`
e una matrice.
Spesso i concetti v e MvE vengono confusi perch´e sono scritti usando gli stessi numeri, ma notate la profonda differenza di significato:
• v `e un vettore, un oggetto geometrico, una “freccia” nel piano;
• MvE `e la matrice delle coordinate di v rispetto alla base E , un oggetto algebrico, una tabella di numeri. Notate che MvE= ( 1 3 )tr: le matrici riga si scrivono senza virgole.
Definizione 4. Imitando il linguaggio delle matrici definiamo il prodotto di una lista di vettori e di una matrice colonna, e scriviamo l’uguaglianza:
v = E · MvE= (e1, e2) · α β
= α · e1+ β · e2 (1)
Come spesso accade ci troviamo ad usare lo stesso simbolo per indicare concetti diversi: le parentesi tonde per vettori, liste di vettori, matrici, e il segno di moltiplicazione per prodotti di matrici, liste di vettori e matrici, numeri e vettori. . .
1
Definizione 5. Ora prendiamo un’altra base G = (g1, . . . , gs) di V e definiamo la matrice di cambio di base MGF, la matrice delle coordinate della base G rispetto alla base G , come combinazione delle matrici colonna MgF1, . . . , MgFs (in CoCoA la indichiamo MGF).
Esempio 6. Dati g1= (1, 3) e g2= (1, −1) , quindi MgE
1 = 1 3
e MgE
2=
1
−1
. Sia G = (g1, g2) , allora MGE= 1 1
3 −1
NB Notate la differenza di significato tra F , una lista di vettori, e MFE, una matrice.
Proposizione 7. Siano v ∈ V e F, G, H basi di V allora MvG= MFG· MvF MHG= MFG· MHF
2 Matrici associate a funzioni lineari
Definizione 8. (matrice associata a un omomorfismo)
Sia ϕ : V −→W . Analogamente ai cambi di base definiamo la matrice Mϕ(F )G delle immagini dei vettori della base F = {f1, . . . , fc} di V rispetto alla base G = {g1, . . . , gr} di W
Mϕ(F )G = Mϕ(fG
1)
Mϕ(fG
2)
...
Mϕ(fG
c)
Esercizio 9. Esiste ϕ : R3−→R3 una funzione lineare che soddisfi ϕ(1, 2, 3) = −(1, 2, 3) , ϕ(1, 0, 0) = (2, 0, 0) ? E’ iniettiva? E’ surgettiva? Se s`ı, scriverne le matrici associate (rispetto alle basi considerate).
Esercizio 10. Esiste ϕ : R3−→R3 una funzione lineare iniettiva e surgettiva che soddisfi ϕ(1, 2, 3) = −(1, 2, 3) , ϕ(1, 0, 0) = (2, 4, 6) ? Se s`ı, scriverne le matrici associate (rispetto alle basi considerate).
NB: La matrice Mϕ(F )G in generale non `e n´e quadrata n´e di rango massimo.
Esercizio 11. Siano date F = ((3, 0), (2, 1)) e G = ((1, 0, 3), (0, 1, 1), (1, 0, 2)) , basi rispetti- vamente di R2 e R3 (verificare), e la funzione lineare ϕ : R2−→R3 definita da ϕ(f1) = g1+ g2
e ϕ(f2) = 2g2− g3.
(a) Calcolare ϕ(f1) e ϕ(f2) rispetto alla base canonica.
(b) Calcolare ϕ(e1) e ϕ(e2) rispetto alla base G .
Esercizio 12. Esiste f : R3−→R2 tale che Ker(f ) =< (1, 2, 0) > ? e che abbia anche Im(f ) =< (2, 3, 1) > ?
Esercizio 13. Esiste f : R2−→R2 tale che Ker(f ) = Im(f ) ? Esercizio 14. Esiste f : R3−→R3 tale che Ker(f ) = Im(f ) ?
2
