Compito di Fisica Matematica, 25/2/2011
Prof. F. Bagarello
Lo studente d risolva almeno 6 dei seguenti quesiti:
(1) Ottenere le singolarit`a ed i residui della funzione f (z) = z sinh(z)ez2−1 . Si calcoli poi la somma dei residui cos`ı ottenuti. Cosa si pu`o dire del residuo del punto all’infinito?
(2) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = sin(2x) cos(2x) e si deduca l’uguaglianza di Parceval.
(3) Date f1(x), f2(x)∈ L2(R) ed f3(x) ∈ L1(R), quest’ultima positiva quasi ovunque in R, verificare se F (x) := 2f1(x) + 3f2(x) +√
f3(x) appartiene adL2(R).
(4) Risolvere l’equazione differenziale y′′(t)+3y′(t)+2y(t) = 1, con le condizioni iniziali y(0) = 2 e y′(0) = 0 con la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Calcolare la trasformata di Fourier ˆf (p) della funzione
f (x) = {
cosh(x− π), 1≤ x ≤ 5;
0, altrove
Calcolare inoltre∥f∥.
(6) Calcolare, se possibile, l’autoconvoluzione di f (x) = sin(x). Calcolare poi l’autoconvoluzione di g(x) = sin(x)rect(x).
(7) Ottenere, se possibile, il valore della costante N perch`e f (x) =
{ N (1 + x2) (1 + cos(x)),−π4 ≤ x ≤π4,
0, altrove,
sia una densit`a di probabilit`a. Determinarne i momenti di ordine 0,1,2.
(8) Attorno ad un tavolo prendono posto 6 persone, 3 uomini e 3 donne: qual’`e la probabilit`a che ogni uomo sia seduto tra due donne?
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