Compito di Fisica Matematica, 9/7/2007
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Ottenere le singolarit`a ed i residui della funzione f (z) = z sinh(z)ez−1 . Si calcoli poi la somma dei residui cos`ı ottenuti. Cosa si pu`o dire del residuo del punto all’infinito?
(2) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
π, t ∈ [0, 1[;
−π, t ∈ [3, 4[;
0, altrove.
(3) Studiare la regione di convergenza della serieP∞ n=−∞
(z−2iπ)n
e2|n| . Calcolarne poi la somma.
(4) Calcolare il limite debole della successione qn(x) = nq(nx), in cui q(x) = q3
2x2χ[−1,1](x).
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione f (x) = e−|x|4 .
(6) Verificare se l’integraleR∞
−∞(1 + f00(x))(1 + g00(x)) dx definisce un prodotto scalare sul sot- toinsieme delle funzioni di L2(R) che ammettono derivata seconda (almeno).
(7) Supponiamo di lanciare un dado equo a sei facce tre volte. Qual’`e la probabilit`a che la somma dei tre risultati sia 13? Quale che sia 7?
(8) Utilizzando l’alfabeto binario (0,1) stabilire quante cifre sono necessarie per descrivere i numeri arabi da 0 a 124, e quante per descrivere i numeri da 0 a 215.
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