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1. Sia T : V 2 → V 2 definita da T ((1, 2)) = (3, 6) e T ((2, 1)) = (3, 6).

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Esercizi 13

1. Sia T : V 2 → V 2 definita da T ((1, 2)) = (3, 6) e T ((2, 1)) = (3, 6).

(a) Calcolare N (T ). (b) Calcolare m E E (T ). (c) Trovare una base B di V 2 tale che m B B (T )

`

e diagonale.

2. Siano u = (1, 1, −1), v = (2, 1, −1), w = (3, 2, −1). Sia T : V 3 → V 3 definita da:

T (u = 2u, T (v) = −3v, T (w) = 2u − 3v.

(a) Calcolare dimensione e una base di N (T ).

(b) Calcolare autovalori e autospazi di T . ´ E diagonalizzabile? In caso affermativo trovare una base B di V 3 tale che m B B (T ) ` e diagonale.

3. Sia U in sottospazio lineare di V 4 e sia T U : V 4 → V 4 la trasformazione lineare definita nel modo seguente: T U (v) = P U (v) + v, dove P U (|bf v) denota la proiezione di v su U . (a) Trovare autovalori e autospazi di T U . ´ E diagonalizzabile?

(b) Calcolare nullit` a e rango di T U .

(c) Sia U = L((1, 0, 1, 1), (1, 1, −1, −1)). Trovare, se possibile, una base B di V 4 tale che m B B (T ) ` e diagonale.

4. Sia P 2 lo spazio lineare dei polinomi reali di grado ≤ 2. Sia T : P 2 → P 2 cos´i definita:

T (a + bx + cx 2 ) = a + b + b(x + 1) + c(x + 1) 2 . (a) Scrivere una formula per T −1 (d + ex + f x 2 ).

(b) La trasformazione lineare T ` e diagonalizzabile?

5. Sia P 2 lo spazio lineare dei polinomi reali di grado ≤ 2. Per ognuna delle seguenti funzioni T, S : P 2 → P 2 stabilire se ` e lineare. Se la risposta ` e affermativa trovare una formula per l’inversa applicata al polinomio d + ex + f x 2 .

(a) T (p(x)) = p 0 (x)(x + 1)p(1). (b) S(p(x)) = p 0 (x)(x + 1) + p(1)x 2 .

6. Si consideri la seguente base di V 4 : B = {u, v, w, r} = {(1, 0, 1, 1), (1, 1, 3, −1), (1, −1, 1, 1), (−1, 1, 1, 1)}.

Sia inoltre T : V 4 → V 4 la trasformazione lineare definita da T (u) = 3u, T (v) = 6u, T (w) = −5w, T (r) = 3u − 5w.

(a) Calcolare il nucleo, gli autovalori e gli autovettori di T . ` E diagonalizzabile?

(b) Stesse domande per la trasformazione lineare L : V 4 → V 4 definita da L(X) = 3T (X) − 5X.

(c) Calcolare traccia e determinante di L.

7. Sia W = L((1, 0, −1, 1), (1, 1, 0, −2)) Sia R W : V 4 → V 4 la riflessione rispetto a W e sia P W

: V 4 → V 4 la proiezione su W . Sia T = P W

◦ R W .

(a) Calcolare N (T ) e T (V 4 ).

(b) Trovare una base di V 4 i cui elementi sono autovettori di T . (c) Calcolare m E E (T ).

8. Siano v = (1, 2, 1) e w = (1, −1, −1), Esistono matrici A ∈ M 3,3 tali che Av = −2v,

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(2)

Aw = −w, det A = 6 e u = (−2, 1, 1) ` e un autovettore di A? In caso affermativo scriverle esplicitamente.

(b) Stessa domanda con u = (2, 1, 0).

9. Trovare un esempio di una matrice non triangolare A il cui polinomio caratteristico sia uguale a P (λ) = (λ − 1)(λ + 2)(λ − 3)

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