ZERI DI POLINOMI

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ZERI DI POLINOMI

Corso di laurea in Matematica - Universit `a di Ferrara 31 Marzo 2010 1

Polinomi

Un polinomio a coefficienti complessi `e una successione finita f= (a0, . . . , an)di numeri complessi tale che:

(1)n`e un numero naturale.

(2) Sen≥1, alloraan6= 0.

Con un’indeterminataxsi scrive allora anche f= a0+ a1x+ . . . + anxⁿ

Il grado dif`e definito cos`ı:

(a) Sen≥1, allora il grado difèn. (b) Sen= 0edan6= 0, il grado difè0. (c) Sen= 0edan= 0, il grado difè−∞. I polinomi di grado≤0si dicono costanti.

L’addizione e la moltiplicazione di polinomi sono definiti come se xfosse un numero. Ad esempio

(3 + 5x + 6x²)(2 + 3x + x⁴)

= 6 + 9x + 3x⁴+ 10x + 15x²+ 5x⁵+ 12x²+ 18x³+ 6x⁶

= 6 + 19x + 27x²+ 18x³+ 3x⁴+ 5x⁵+ 6x⁶ Si pu`o anche usare questo schema:

2 3 0 0 1

3 6 9 0 0 3

5 10 15 0 0 5

6 12 18 0 0 6

I coefficienti del prodotto sono le somme delle diagonali del rettangolo interno.

Il grado `e definito in modo tale che il grado dif gsia uguale alla somma dei gradi difeg.

In particolare sono definiti prodotti della forma (x − α1) · · · (x − αn)

perα1, . . . , αn∈ C. Ad esempio

f:= (x − 2)(x − 3)(x + 1) = (x − 2)(x²+ x − 3x − 3)

= (x − 2)(x²−2x − 3) = x³−2x²−3x − 2x²+ 4x + 6

= x³−4x²+ x + 6

E chiaro che qui` f(2) = f (3) = f (−1) = 0. Si usano le seguenti notazioni:

R:= insieme dei numeri reali.

C:= insieme dei numeri complessi.

R[x]:= insieme dei polinomi a coefficienti reali.

C[x]:= insieme dei polinomi a coefficienti complessi.

Zeri di un polinomio

Perf= a0+ a1x+ . . . + anxⁿ∈ C[x]edα∈ Cpossiamo calcolare il numerof(α)che si ottiene sostituendoxconα:

f(α) := a0+ a1α+ . . . + anαⁿ

Uno zero (o una radice) dif `e un numero complessoαper il quale f(α) = 0.

Vedremo adesso che ogni polinomio non costante possiede uno zero.

Attenzione: Sef∈ R[x], non `e invece detto chefabbia radici reali!

Ad esempiof= x²+ 1non possiede radici reali.

Questa `e stata proprio la ragione per l’introduzione dei numeri complessi: Infatti(x − i)(x + i) = x²+ 1, quindix²+ 1possiede gli zeriie−i. In algebra si dimostra (non `e difficile) che questo polinomio non possiede altri zeri (prop. 1.1).

Proposizione 1.1. Siaf∈ C[x]di gradonedf6= 0(quindin≥0).

Allorafnon possiede pi `u dinradici distinte.

Dimostrazione. Corso di Algebra.

Nota 1.2 (schema di Ruffini).Sia dato un polinomio f= a0xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an

Perα∈ Cvogliamo calcolaref(α).

Sia ad esempiof= 3x⁴+ 5x³+ 6x²+ 8x + 17. Poniamo b0= 3

b1= b0α+ 5 = 3α + 5 b2= b1α+ 6 = 3α²+ 5α + 6 b3= b2α+ 8 = 3α³+ 5α²+ 6α + 8 b4= b3α+ 17 = 3α⁴+ 5α³+ 6α²+ 8α + 17

e vediamo cheb4= f (α). Lo stesso si pu`o fare nel caso generale:

b0= a0

b1= b0α+ a1

. . .

bk= bk−1α+ ak

. . .

bn= bn−1α+ an

conbn= f (α), come dimostriamo adesso. Consideriamo il polinomio g:= b0xⁿ⁻¹+ b1xⁿ⁻²+ · · · + bn−1.

Allora, usando cheαbk= bk+1−ak+1perk= 0, . . . , n−1, abbiamo αg= αb0xⁿ⁻¹+ αb1xⁿ⁻²+ · · · + αbn−1

= (b1− a1)xⁿ⁻¹+ (b2− a2)xⁿ⁻²+ . . . + (bn−1− an−1)x + bn− an

= (b1xⁿ⁻¹+ b2xⁿ⁻²+ · · · + bn−1x+ bn)

−(a1xⁿ⁻¹+ a2xⁿ⁻²+ . . . an

−1x+ an)

= x(g − b0xⁿ⁻¹) + bn−(f − a0xⁿ)

= xg − b0xⁿ+ bn− f+ a0xⁿ

= xg + bn− f

quindi

f= (x − α)g + bn

e ci`o implicaf(α) = bn.

b0, . . . , bn−1sono perci`o i coefficienti del quoziente nella divisione con resto difperx− α, mentrebn`e il resto, uguale af(α).

Questo algoritmo `e detto schema di Ruffini ed `e molto pi `u veloce del calcolo separato delle potenze diα(tranne nel caso che il polinomio consista di una sola o di pochissime potenze).

Proposizione 1.3. Sianof ∈ C[x]edα∈ C. Alloraf(α) = 0se e solo se esiste un polinomiog∈ C[x]tale chef= (x − α)g.

Se alloraf 6= 0edfè di gradon, allorafnon è costante egè univocamente determinato e di gradon−1.

Dimostrazione. Ci`o segue direttamente dallo schema di Ruffini.

Sianof∈ C[x]edf6= 0edα∈ C,mun numero naturale.

Diciamo cheαè uno zero di molteplicit àmdif, sef= (x − α)^mg per qualche polinomiog, mafnon è della formaf= (x − α)^m+1h per un polinomioh.

Quindif(α) = 0 ⇐⇒ m ≥ 1. La molteplicit `am`e univocamente determinata.

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Il teorema fondamentale dell’algebra

Teorema 2.1 (teorema di Rouch ´e).Fedhsiano due polinomi a coefficienti complessi eCuna circonferenza (cio`e il bordo di un cerchio) nel piano tale che

|F (z)| > |h(z)|

per ogni_{z ∈ C}.

La disuguaglianza `e quindi richiesta solo sul bordo del cerchio, non al suo interno. Allora i polinomif := F + hedF possiedono all’interno del cerchio lo stesso numero di radici, se queste vengono contate con le loro molteplicit `a.

In particolare: SeFpossiede una radice all’interno del cerchio, al- lora anchefne possiede una.

f`e considerata una perturbazione diFtramiteh. Dimostrazione. Corso di Analisi complessa.

Teorema 2.2 (teorema fondamentale dell’algebra). Sia f = a0+ a1x + . . . + anxⁿ∈ C[x]

di grado_{n ≥ 1}(cio`e non costante).

Allora esiste_{α ∈ C}tale chef (α) = 0. Dimostrazione. Usiamo il teorema di Rouch´e.

Consideriamofcome perturbazione diF := anxⁿ(ricordiamo che an6= 0) medianteh := a0+ a1x + . . . + an−1xⁿ⁻¹.

Per ogni_{z ∈ C}si ha|F (z)| = |aⁿzⁿ| = |aⁿ||z|ⁿed `e chiaro che per

|z|sufficientemente grandeF (z)domina tutte le potenze inferiori e ancheh(z); perci`o esiste certamente un raggioR > 0tale che per ognizche appartiene alla circonferenza di raggioR(cio`e tale che

|z| = R) si abbia|F (z)| > |h(z)|.

Per il teorema di Rouch´e il nostro polinomio f all’interno del cerchio_{|z| < R}possiede lo stesso numero di radici come F. Ma F = anzⁿin questo cerchio possiede la radice0di molteplicit `an.

Perci`o anche f possiede all’interno dello stesso cerchionradici (non necessariamente distinte, cos`ı come non sono distinte le radici diF) e quindi almeno una radice perch´e per ipotesi_{n ≥ 1}. Corollario 2.3. Sia_{f ∈ C[x]}di grado_{n ≥ 1}. Allora esistono numeri complessiα1, . . . , αnunivocamente determinati (a parte l’ordine in cui sono elencati), tali che

f = an(x − α¹) · · · (x − αⁿ)

dovean`e il coefficiente dixⁿinf. Inoltre:

(1)fnon possiede altre radici.

(2) La molteplicit `a diαi`e uguale al numero di volte cheαiappare in questo prodotto.

Dimostrazione. Facile dal teorema 2.2 e dalla prop. 1.3.

Il linguaggio di programmazione R

Il linguaggio di programmazione R possiede la funzionepolyrootper il calcolo delle radici di un polinomio. I coefficienti devono essere elencati iniziando con il coefficiente pi `u basso e vengono compresi medi- ante l’operatore di concatenazionec. Per

f = 3x⁴+ 5x³− 2x²+ 7x + 10 usiamo ad esempio

f=c(10,7,-2,5,3) radici=polyroot(f)

for (alfa in radici) print(alfa)

ottenendo l’output [1] 0.704353+1.084357i [1] -0.9287587+0i [1] 0.704353-1.084357i [1] -2.146614+0i

Per l’installazione di R collegarsi a cran.stat.unipd.ite seguire Windows_−→base.

Per appunti su R collegarsi afelix.unife.ite seguire Studenti_−→Corsi_−→2009/10 Programmazione.

Localizzazione degli zeri

Un polinomio si dice normato, se `e di grado_{n ≥ 1}e se il coefficiente dixⁿ`e uguale ad1.

Attenzione: Formuliamo tutte le seguenti proposizioni per polinomi normati. Se il polinomio dato non lo `e, bisogna dividere tutti i coefficienti per il coefficiente della potenza pi `u alta.

Nel seguito siano quindi sempre

f = a0+ a1x + . . . + an−1xⁿ⁻¹+ xⁿ ed _{α ∈ C}. Proposizione 2.4. SiaA := max(a0, . . . , an−1). Siaf (α) = 0. Allora|α| < 1 + A.

Dimostrazione. Possiamo assumere che_{A 6= 0}e che_{|α| > 1}, perch´e altrimenti l’enunciato `e banale.

Daαⁿ= −(a⁰+a1α+. . .+an−1αⁿ⁻¹)usando la disuguaglianza triangolare si ottiene_|αⁿ| ≤ A(1 + |α| + . . . + |αⁿ⁻¹), cosicch´e per ρ := |α|si haρⁿ≤ Aρⁿ− 1

ρ − 1 < A ρⁿ

ρ − 1, usando che_{A 6= 0}eρ > 1, per cui otteniamo1 < A

ρ − 1eρ − 1 < Ae quindiρ < 1 + A. Proposizione 2.5. SiaEil massimo dei valori assoluti dei seguenti numeri:

an−1an−1− aⁿ−2

an−1an−2− aⁿ−3

. . .

an−1a1− a⁰ an−1a0

Siaf (α) = 0. Allora_{|α| ≤}^{1 +}

√1 + 4E

2 .

Esercizio 2.6. Applicare la prop. 2.5 al polinomio f = 3x⁴+ 5x³− 2x²+ 7x + 10

e controllare il risultato con R; cfr. esempio 2.10.

Se i coefficienti difsono reali, il numero dei cambi di segno nella successione(a0, . . . , an−1, 1)si determina cos`ı: Si tolgono tutti gli zeri, poi si conta quante volte passando da un coefficiente a quello successivo cambia il segno. Denotiamo nel seguito questo numero conS.

Proposizione 2.7 (regola di Descartes). Sia_{f ∈ R[x]}. Allora il numero (tenendo conto delle molteplicit à) delle radici positive difè uguale adSoppure pi ù piccolo di un multiplo di2.

Corollario 2.8. I coefficientia0, . . . , an−1siano tutti_{≤ 0}, ma non tutti uguali a0.

Allorafpossiede esattamente una radice positiva; questa radice `e semplice.

Dimostrazione. Infatti in questo casoS = 1. Per la regola di Descartes il numero delle radici positive deve essere uguale a uno dei numeri1, −1, −3, −5, . . .e quindi necessariamente uguale a1. Proposizione 2.9 (Enestr ¨om/Kakeya). I coefficienti dif siano tutti positivi. Siaf (α) = 0. Poniamo

U := min(a0/a1, a1/a2, . . . , an−2/an−1, an−1) V := max(a0/a1, a1/a2, . . . , an−2/an−1, an−1) AlloraU ≤ |α| ≤ V.

Esempio 2.10. Siaf := 3 + 2x + 5x²+ 4x³+ 3x⁴+ x⁵. Allora U = min(3/2, 2/5, 5/4, 4/3, 3) = 0.4

V = max(3/2, 2/5, 5/4, 4/3, 3) = 3

Per il teorema di Enestr¨om/Kakeya ogni radiceαdif soddisfa la disuguaglianza0.4 ≤ |α| ≤ 3. Infatti con

f=c(3,2,5,4,3,1)

for (x in polyroot(f)) print(abs(x)) in R otteniamo i valori assoluti

0.873403 1.349562 0.873403 1.349562 2.159266

felix.unife.it/Didattica/Conferenze/Zeri.pdf Docente: Josef Eschgf ¨aller