Prova in itinere di Analisi Matematica II
(Ingegneria Informatica)
Prof. Daniele Cassani 15 Novembre 2010
NOME E COGNOME:
MATRICOLA:
N.B. Sono concesse due ore e mezza per la risoluzione dei tre esercizi. Non `e concesso l’uso di libri di testo, appunti ed eserciziari. Non `e permesso l’uso di calcolatori di alcun genere.
Esercizio 1
(a) Dare la definizione di convergenza uniforme per una successione di funzioni e fornire un esempio di successione che non converge uniformemente.
(b) Determinare l’insieme di convergenza puntuale e totale della serie
+∞
X
n=0
xn
√n + 1
(c) Stabilire, giustificando la risposta, se vale l’identit`a Z 1/2
−1 +∞
X
n=0
xn
√n + 1dx =
+∞
X
n=0
Z 1/2
−1
xn
√n + 1dx
Soluzioni: La serie data ha come raggio di convergenza R = 1 e pertanto converge puntualmente per |x| < 1 e totalmente per |x| < δ, δ ∈ (0, 1). Inoltre al bordo del raggio di convergenza si ha che: in x = 1 la serie non converge mentre in x = −1 converge per il criterio di Liebnitz e dunque per il criterio di Abel la convergenza `e uniforme per x ∈ [−1, δ], δ ∈ (0, 1). Pertanto la serie per tali valori di x `e integrabile termine a termine e vale l’identit`a di cui al punto (c).
Esercizio 2
(a) Sia f : A ⊂ R2 −→ R, dove A `e aperto. Dare la definizione di funzione differenziabile in (x0, y0) ∈ A e fornire una condizione sufficiente per la differenziabilit`a.
(b) Data f (x, y) = xy3
x2+ y6 determinarne il dominio e stabilire se `e prolungabile per continuit`a in (0, 0).
(c) Scrivere l’equazione del piano tangente a z = f (x, y) nel punto (1, 1, 1/2).
(d) Calcolare la derivata direzionale Dvf (3/2, 1) nella direzione v =
√1 2,√1
2
.
(e) Determinare il massimo e minimo assoluti di f sul quadrato [1, 2] × [1, 2].
Soluzioni: La funzione non `e prolungabile per continuit`a in (0, 0) in quanto ad esempio per x, y 6= 0 sia ha che f (x, 0) = f (0, y) = 0; tuttavia per x = y3si ha che f (y3, y) = 1/2.
Osserviamo che f ∈ C1(R2\ {(0, 0)}) e sia ha
∇f = y3(y6− x2)
(x2+ y6)2 ,3xy2(x2− y6) (x2+ y6)2
da cui l’equazione del piano tangente nel punto (1, 1): z = 1/2.
Utilizzando la formula del gradiente abbiamo: Dvf (3/2, 1) = ∇f (3/2, 1)·
√1 2,√1
2
= 70/169√ 2.
Infine osservando che i punti stazionari di f sono costituiti dall’asse delle ascisse privato dell’ori- gine e dai punti della curva y6− x2= 0, in particolare gli unici punti punti critici all’interno del quadrato Q := [1, 2] × [1, 2] sono sul ramo di curva x = y3 e uno studio dell’incremento mostra che sono punti di massimo dove la funzione vale 1/2. Sul bordo ∂Q, restringendosi ai lati del qua- drato si ha che: f (x, 0) = 0; f (x, 2) = 8x/(x2+ 64) crescente per x ∈ (1, 2); f (1, y) = y3/(1 + y6) decrescente per y ∈ (1, 2); f (2, y) = 2y3/(4 + y6) ha un massimo in y = √3
2. Confrontando i valori ottenuti si ha: minQf = 0 e maxQf = 1/2 assunto nel punto (2,√3
2) e sul ramo di curva x = y3 interno a Q.
2
Esercizio 3
Calcolare
Z
D
(x − 3y) dx dy dove
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , x2+ y2≥ 1}
Soluzioni: Si pu`o calcolare l’integrale proposto come differenza tra l’integrale esteso al quadrato [0, 1] × [0, 1] e l’integrale sul quarto di disco unitario nel primo quadrante, ovvero
Z
D
(x − 3y) dx dy = Z 1
0
Z 1 0
(x − 3y) dx dy − Z π/2
0
Z 1 0
(ρ cos θ − 3ρ sin θ) ρdρ dθ = −1/3
3
