∑ vkv == 0 ∑ vkv == 0 ∑ vkvkvkvkv =+++= .....

(1)

CAMBIAMENTO DI BASE IN UNO SPAZIO VETTORIALE

Sia

V

uno

spazio vettoriale

sul

campo K

. Siano

v

1

, v

2

, ..., v

n

n vettori

dati appartenenti a

V

e siano, inoltre, assegnati

n scalari k

1

, k

2

, ..., k

n appartenenti a

K

. Si definisce combinazione lineare dei vettori v1, v₂, ..., v_n, mediante i coefficienti k1, k₂, ..., k_n, il vettore v ottenuto tramite la relazione:

v k v k v k v

_{n n}

k v

_{i i}

i n

= + + + =

= 1 1 2 2

∑

1

...

In tale contesto, atteso quanto premesso, si esplicitano le seguenti definizioni:

• se

v k v

_{i i}

i n

= =

=

∑

1

0

è verificata con gli n scalari k1, k₂, ..., k_n NON TUTTI NULLI contemporaneamente, allora gli n vettori v1, v2, ..., vn si dicono linearmente dipendenti.

• se

v k v

_{i i}

i n

= =

=

∑

1

0

è verificata con gli n scalari k1, k₂, ..., k_n contemporaneamente TUTTI NULLI, allora gli n vettori v1, v₂, ..., v_n sono linearmente indipendenti.

Consideriamo il seguente esempio: In ℜℜℜℜ³ siano assegnati i tre vettori v1 = (2, 1, 0), v2 = (1, 0, 3) e v₃ = (1, 2, 1). Considerati i tre scalari k1, k₂, k₃ appartenenti al campo K, si consideri la seguente combinazione lineare:

v = k

1

·v

1

+ k

2

·v

2

+ k

3

·v

3

= k

1

·(2, 1, 0) + k

2

·(1, 0, 3)+ k

3

·(1, 2, 1) =

= ((2·k

1

+ k

2

+ k

3

), (k

1

+ 2·k

3

), (3·k

2

+ k

3

))

Tale combinazione lineare È NULLA, ovvero fornisce il vettore nullo v = O = (0, 0, 0):

v = ((2·k

1

+ k

2

+ k

3

), (k

1

+ 2·k

3

), (3·k

2

+ k

3

))

= (0, 0, 0) allorché si verificano contemporaneamente le condizioni seguenti:

2 0

3 0

4 3 0

2 3

0 0 0

1 2 3

1 3

2 3

3 3 3

1 3

2 3

3 1 2

k k k

k k

k k k

k k

k k k

+ + =

+ =



 



⇒

− − + =

= −



 



⇒

=



 



Poiché la combinazione lineare è nulla allora e solo allora che i tre coefficienti della combinazione stessa sono contemporaneamente nulli, k1 = k₂ = k₃ = 0, i tre vettori v1, v₂. v₃ sono linearmente indipendenti.

Sia

V

uno

spazio

vettoriale,

n

un numero intero ed

E = {e

1

, e

2

, ..., e

n

}

un insieme di

n vettori linearmente indipendenti

. Se lo spazio vettoriale generato da {e1, e₂, ..., e_n} coincide con V, ovvero se ogni vettore v∈∈∈∈V è ottenuto come combinazione lineare degli n vettori e1, e₂, ..., e_n, allora si è soliti affermare che l’insieme

E = {e

1

, e

2

, ..., e

n

}

costituisce una

base

per lo spazio vettorialeV.

Consideriamo alcuni esempi a chiarimento di quanto asserito.

a) Nello spazio vettoriale ℜℜℜℜ² i vettori e1 = (1, 0) ed e2 = (0, 1) costituiscono una base, la cosiddetta base canonica, in quanto sono linearmente indipendenti e ogni altro vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ² è esprimibile come combinazione lineare dei vettori della base stessa mediante la relazione seguente:

v = (ξξξξ

1

, ξξξξ

2

) = (ξξξξ

1

, 0) + (0, ξξξξ

2

) = ξξξξ

1

(1, 0) + ξξξξ

2

(0, 1) = ξξξξ

1

e

1

+ ξξξξ

2

e

2

b) Nello spazio vettoriale ℜℜℜℜⁿ i vettori e1 = (1, 0, ..., 0); e2 = (0, 1, ..., 0); ... ; e_n = (0, 0, ..., 1);

costituiscono una base, la base canonica, in quanto sono linearmente indipendenti ed ogni altro vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜⁿ è esprimibile come combinazione lineare dei vettori della base mediante la relazione:

v = (ξξξξ

1

, ξξξξ

2

, ..., ξξξξ

n

) = (ξξξξ

1

, 0, , 0) + (0, ξξξξ

2

,..., 0) + (0, 0, ξξξξ

3

,..., 0) + ... +(0, 0,..., ξξξξ

n

) =

=

ξ ξξ ξ

1·

(1, 0, 0, , 0) + ξξξξ

2

·(0, 1, 0,..., 0) + ξξξξ

3

·(0, 0, 1,..., 0) + ... + ξξξξ

n

·(0, 0, 0,..., 1) =

(2)

=

ξ ξξ ξ

1

e

1

+ ξξξξ

2

e

2

+ ξξξξ

3

e

3

+ ... + ξξξξ

n

e

n

c) Nello spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤≤≤≤ 2 nell’indeterminata x, sul campo reale, lo spazio R2[x], i polinomi P2(x) definiti da e1 = 1; e2 = x; e3 = x² costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti, talché ogni altro polinomio p(x) di grado ≤≤≤ 2 è esprimibile ≤ mediante la seguente combinazione lineare:

p(x) = a

0

+ a

1

·x + a

2

·x

²

= a

0

·e

1

+ a

1

·e

2

+ a

2

·e

3

d) Nello spazio vettoriale delle matrici quadrate M2(ℜℜℜℜ)di ordine n=2, sul campo R, le matrici:

m

₁

1 0 m

₂

m

₃

m

₄

0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0

=  0 1

  

  = 

  

  = 

  

  = 

  

 

, , ,

costituiscono una base, la cosiddetta base canonica, in quanto sono linearmente indipendenti, talché ogni altra matrice quadrata di ordine due è esprimibile come combinazione lineare delle matrici della base tramite la scrittura di seguito riportata:

M a b

c d

a b

c d

a b c d am bm cm dm

= 

  

  = 

  

  + 

  

  + 

  

  + 

  

  =

= 

  

  + 

  

  + 

  

  + 

  

  = + + +

0 0 0

0 0 0 1 0

0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0

0 1

¹ ² ³ ⁴

Uno spazio vettoriale può avere basi diverse; infatti, la base canonica e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) e la base f₁ = (2, 3), f2 = (1, 5) sono due basi diverse per lo spazio vettoriale ℜℜℜℜ². Verifichiamo che i due vettori f1 e f2 sono linearmente indipendenti; la lineare indipendenza implica che la combinazione lineare dei due vettori f1 e f2 fornisce il vettore nullo se e soltanto se tutti i coefficienti della combinazione lineare stessa sono contemporaneamente nulli. Si ottiene, pertanto:

λ µ λ µ λ µ

λ µ

f

₁

f

₂

0 2

3 1 5

0 0

2 3 5

0 + = ⇒  0

  

  + 

  

  = 

  

  ⇒ +

+



  

  = 

  

 

il che implica:

2 0

3 5 0

2 3 10 0

7 0

2 0 0 λ µ

λ µ

µ λ

λ λ

λ

µ λ

λ µ + =

+ =

 

 ⇒ = −

− =

 

 ⇒ =

= −

 

 ⇒ =

=

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e B_G = {g₁, g₂, ..., g_n} una sua base. Lo spazio generato dalla base coincide con lo spazio vettoriale V per cui ogni vettore v di V è, per definizione di base, esprimibile come combinazione lineare degli n vettori della base, secondo la relazione:

v = ξ

_{1 1}

g + ξ

_{2 2}

g + ... + ξ

_{n n}

g

in cui i coefficienti ξξξξ₁, ξξξξ2, ..., ξξξξn della combinazione lineare stessa appartengono al campo K. Dato che a ciascun vettore v di V corrisponde una ed una sola n-pla di coefficienti (ξξξξ1 ξξξξ2, ..., ξξξξn) di K, i valori ξξξξ1 ξξξξ2, ..., ξξξξn si chiamano le coordinate del vettore v rispetto alla base G = {g1, g₂, ..., g_n}.

Pertanto, le componenti di un vettore v rispetto ad una base B sono le sue coordinate rispetto alla base B stessa.

Consideriamo, quale opportuno chiarimento, l’esercizio seguente: Si determinino le coordinate del vettore v = (3, 2) rispetto alla base BG = {g₁ = (1, 2) , g₂ = (3, 1)}.

Poiché non altrimenti esplicitamente riferito per il vettore v, è da intendersi che le sue componenti (3, 2) rappresentino le sue coordinate riferite alla base canonica BE = {e1 = (1, 0) , e2 = (0, 1)};

infatti, può sempre scriversi che:

v =  e e

  

  = + = 

  

  + 

  

  = 

  

  ⇒ =

= 3

2 1 0

0 1

3

1 1 2 2 1 2 1

2

1

α α α α α

2

α

α α

Relativamente alla base BG, sempre in ossequio alla definizione di base, le coordinate del vettore v

(3)

si possono determinare attivando la seguente combinazione lineare:

β β β β β β

β β

β

1 1 2 2 1 2 1 2

β

1 2

3 1

3 2

3 5 g + g =  4 5

  

  + 

  

  = + +



  

  = 

  

  ⇒ =

=

Ne consegue la seguente conclusione: Il vettore v = (3, 2) ha coordinate (3, 2) riferite alla base canonica B_E e coordinate (3/5, 4/5) rispetto alla base BG. Così come evidenziato in figura 1, in cui si è fatto riferimento ai vettori del piano euclideo.

Nello spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤≤≤≤ 2 nell’indeterminata reale x (o sul campo R) sia assegnata la base E={e1=1, e2=x, e3 = x²}; allora le coordinate del polinomio p(x) = 5x² + 2x −−−− 3 sono rappresentate dalla terna (−−−−3, 2, 5). Che un polinomio p(x) possa essere determinato in modo univoco da una terna di numeri, riferiti ad una base, costituisce la valenza del concetto di vettore e di spazio vettoriale.

Sia V uno spazio vettoriale sul quale è definita una base B_V = {v₁, v₂, ..., v_n} costituita da n vettori.

Atteso che, proprio in ossequio alla definizione di base di uno spazio vettoriale, ogni altra base di V sarà composta anch’essa da n vettori, allora si afferma che lo spazio vettoriale V ha dimensione n, il che si esplicita tramite la posizione seguente: dimV = n.

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia n la sua dimensione. Si considerino assegnate le due basi BG = {g₁, g₂, ..., g_n} e BF = {f1, f₂, ..., f_n} e siano (ξξξξ1, ξξξξ2, ..., ξξξξn) e (ηηηη1, ηηηη2, ..., ηηηηn) le coordinate di un vettore v di V riferite, rispettivamente, alla base BG ed alla base BF. Poiché BG e B_F sono due diverse basi dello spazio vettoriale V, proprio per definizione di base di uno spazio e di unicità del vettore v, risultano motivate le relazioni espresse dalla scrittura di seguito riportata:

v g g g a

v f f f b

n n n n

= + + +

ξ ξ ξ

η

^{1 1}_{1 1}

η

^{2 2}_{2 2}

η

... ( ) ... ( )

ovvero, con ovvietà:

v = ξ

_{1 1}

g + ξ

_{2 2}

g + ... + ξ

_{n n}

g = η

_{1 1}

f + η

_{2 2}

f + ... + η

_{n n}

f ( ) 1

È, inoltre, altrettanto vero che ciascun vettore costituente la base {g1, g₂, ..., g_n} può essere espresso in dipendenza dei vettori della base {f₁, f₂, ..., f_n} ottenendo le seguenti scritture:

g a f a f a f

n n n n

n n n nn n

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

= + + +

...

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

...

alle quali corrisponde la formulazione sintetica espressa dalla forma e simbologia seguenti:

g

_i

= a f

_{1 1}_i

+ a f

_{2 2}_i

+ ... + a f

_{ni n}

( ) 2

essendo (i = 1, 2, .... , n) ed in cui i coefficienti

a

jk (j = 1, 2, ... , n; k = 1, 2, ... , n) sono tutti elementi del campo K e di valore opportuno.

Tenendo conto delle relazioni (2) adeguatamente sostituite nelle (a), si perviene alla relazione:

( )

v = ξ

_{1 11 1}

a f + a f

_{21 2}

+ + ... a f

_n₁ _n

+ ξ

_{2 12 1}

( a f + a f

_{22 2}

+ + ... a f

_n₂ _n

) ... + + ξ

_n

( a f

_{1 1}_n

+ a f

_{2 2}_n

+ + ... a f

_{nn n}

)

e₁(1, 0) e₂(0, 1)

3·e1

2·e₂ v = 3·e₁ + 2·e₂ g₁(1, 2)

g₂(3, 1)

v = (3/5)·g₁ + (4/5)·g₂ β

β β β1g₁

β β β β2g₂ (figura - 1)

(4)

ovvero eseguendo i dovuti e necessari passaggi algebrici, si ottiene:

( )

v = ξ

_{1 11}

a + ξ

_{2 12}

a + + ... ξ

_{n n}

a

₁

f

₁

+ ( ξ

_{1 21}

a + ξ

_{2 22}

a + + ... ξ

_n

a

₂_n

) f

₂

+ + ... ( ξ

_{1 1}

a

_n

+ ξ

_{2 2}

a

_n

+ + ... ξ

_{n nn n}

a f f )

_n

Ricordiamo ora che nello spazio vettoriale V, riferita alla base BF, sussiste la validità della relazione (b) nonché della relazione (1), per cui dovrà essere:

( )

v a a a f a a a f a a a f

f f f

n n n n n n n nn n

n n

= + + + + + + + + + + + +

= + + +

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

η

_{1 1}^{1 11}

η

_{2 2}^{2 12}

η

¹ ¹ ^{1 21} ^{2 22} ² ² ^{1 1} ^{2 2}

... ( ... ) ... ( ... )

...

Dal confronto delle due conformazioni del vettore v∈∈∈∈V si perviene alla definizione delle relazioni di seguito mostrate:

η ξ ξ ξ

1 1 11 2 12 1

2 1 21 2 22 2

3 1 31 2 32 3

1 1 2 2

= + + +

a a a

n n n n n n

n n n n nn

...

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

...

a cui corrisponde la forma compatta:

η

_i _{ij j}

ξ

j n

= a

=

∑

1

3 ( )

La relazione (3) consente di determinare le coordinate (ηηηη1, ηηηη2, ..., ηηηηn) del vettore v rispetto alla base B_F = {f₁, f₂,...,f_n} note le coordinate (ξξξξ1, ξξξξ2, ..., ξξξξn) rispetto alla base BG = {g₁, g₂,..., g_n}.

La matrice AE,G di dimensione (nxn) di seguito riportata:

( )

A a

a a a

E G n n ij i n

j n

n n

n n nn

( , )( ) ( , ,..., ) ( , ,..., )

...

::::: ::::: ::::: :::::

...

× =

=

= =





 







 

1 2



1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

definisce la matrice del cambiamento di base dalla base BG alla base BF. Infatti se si considera il vettore v∈∈∈V le cui coordinate rispetto alla base B∈ G sono espresse dalla matrice “vettore colonna”

(ξξξξ1, ξξξξ2, ..., ξξξξn)T, la matrice “vettore colonna” (ηηηη1, ηηηη2, ..., ηηηηn)T esprimente le coordinate dello stesso vettore v∈∈∈V rispetto alla base B∈ F sono determinate, in modo unico, dalla relazione fra matrici che di seguito si riporta:

η η η

ξ ξ ξ

η ξ

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

1

:::

2

...

::::: ::::: ::::: :::::

...

:::

^{( , )}

n

n n

n n nn n

E G

a a a

A





 







 

 =





 







 

 ∗





 







 

 ⇒ = ⋅

È, poi, importante considerare che le colonne della matrice del cambiamento di base A_E,G sono le componenti dei vettori della base di partenza BE calcolate rispetto alla base BG di arrivo.

ESERCIZIO 1.: Sia v un vettore di ℜℜℜℜ² le cui coordinate rispetto alla base canonica {e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1)} sono v = (2, 3). Calcolare le sue coordinate rispetto alla base {f₁ = (1, 2), f₂ = (3, 1)}.

1° Modo: Il vettore assegnato v∈∈∈∈ℜℜℜℜ² presenta, rispetto alla base canonica di ℜℜℜℜ² le coordinate (2, 3) Poiché il vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ² è unico, benché rappresentato con coordinate diverse rispetto alle due basi assegnate, proprio in ossequio al concetto di base di uno spazio, dovrà sussistere la relazione che di seguito si riporta:

α β α β

α β

α β α β

β α

1 2

3 1 2 1

0 3 0 1

3 2

2 3

2 6 2 1

3 2



  

  + 

  

  = 

  

  + 

  

  ⇒ + =

+ =

 

 ⇒ + − − =

= −

 



il che comporta

5 1

3 2

β

α β

=

= −

 

 ( )

, ovvero, in conclusione:

α = 7 β = 5

1 5

con

i = (1, 2, ... , n)

(5)

Ne consegue che il vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ² è individuato da due coppie di coordinate, ciascuna coppia riferita alla specifica base che la definisce; in altri termini, definite con (v)BE e con (v)BF, rispettivamente, le coordinate del vettore v rispetto alla base B_E ed alla base B_F, può scriversi:

( ) ^v

_BE

⁼ ^ _ ^ ² ₃ _ ^ ^ ^⇔ ( ) ^v

_BF

⁼ ^ _ ^ ^{7 5} _{1 5} ^ _ ^

2° Modo: Si procede al calcolo delle coordinate del vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ² nella base BF determinando la matrice AE,F del cambiamento di base, dalla base canonica BE alla nuova base BF. La matrice da determinare è caratterizzata dall’avere come sue colonne i coefficienti delle combinazioni lineari che esprimono i vettori della base B_E rispetto ai vettori della base B_F. Per tale motivo, esprimiamo i vettori e1 ed e2 della base canonica BE come combinazione lineare dei vettori f1 ed f2 della base B_F; si ottengono le scritture di seguito esplicitate:

e a f a f e a f a f

a a

1 11 1 21 2

2 12 1 22 2

11 21

12 22

1 0

1 2

3 1 0

1 1 2

3 1

= +

 

 ⇒



  

  = 

  

  + 

  

 



  

  = 

  

  + 

  

 



 

 



Dovranno,quindi,esseresoddisfatteleseguentirelazionifraicoefficientidellecombinazionilineari:

a a

a a a a

11 21

12 22

11 21 11 21

12 22 12 22

11 21 12 22

3 1

2 0

3 0

2 1

2 6 2 2

6 3 3 1

3 6 3 3

2 2 6 1

5 1

5 2

5 3

5 1

+ =



 

 

⇒

+ − − =

+ − − = −

+ − − =



 

 

⇒

= −

= +

= −



 

 

In conclusione, i valori dei coefficienti delle combinazioni lineari che esprimono i vettori della base BE in funzione dei vettori della base BF sono:

a

₁₁

= − 1 5 , a

₁₂

= 3 5 , a

₂₁

= 2 5 , a

₂₂

= − 1 5

Pertanto, la matrice del cambiamento di base è:

A

_{E F}_,

=

−





 







 

 1

5 3 2 5

5 1 5

Ne consegue, che per il vettore v di coordinate (2, 3) rispetto alla base canonica BE, le coordinate rispetto alla base BF sono calcolate mediante:

( ) ^v

_BF

⁼ ^A

_{E F}_,

^∗ ( ) ^v

_BE

−





 







 

 ∗ 

  

  =





 







 

 1

5 3 2 5

5 1 5

2 3

7 5 1 5

Resta, ora, da osservare che la matrice del cambiamento di base AF,E dalla base BF alla base BE è legata alla matrice AE,F dalla relazione che caratterizza la matrice inversa; infatti risulta:

( ) ( ) ( )

A

_{F E}

A

_{E F}

v A v A v

BE F E BF E F BF

,

=

⁻¹,

⇒ =

,

∗ =

⁻¹,

∗

Pertanto, basta verificare che risulta proprio quanto segue:

−





 







 

 ∗





 







 

 = 

  

 ∗





 







 

 =

+ +





 







 

 =





 







 

 = 

  

  1

−

5 3 2 5

5 1 5

7 5 1 5

1 3 2 1

7 5 1 5

7 5

3 14 5

5 1 5

10 15 5 5

2 3

1

Si verifica, inoltre, che le colonne della matrice AF,E sono costituite, proprio, dai coefficienti delle combinazioni lineari che esprimono i vettori della base BF in funzione dei vettori della base BE.

f

1

= β β β β

11

·e

1

+ β β β β

21

·e

2

→ → → → (1, 2) =1·(1, 0) + 2·(0, 1)

f

2

= β β β β

12

·e

1

+ β β β β

22

·e

2

→ → → → (3, 1) =3·(1, 0) + 1·(0, 1)

(6)

ESERCIZIO 2.: Nello spazio euclideo ℜℜℜℜ³ siano assegnate due basi B1 e B2, rispettivamente, definite dai vettori B₁:{v₁= (1, 0, 2), v₂= (3, 1, 0,), v₃= (2, 1, 1)}, B₂:{w₁= (1, 0, 1), w₂= (0, 1, 1,), w₃=(1, 1, 0)}. Si desidera determinare la matrice del cambiamento delle basi da B₁ a B₂ nonché le coordinate riferite alla base B₂ del vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ³ definito dalla scrittura v = (5, 2, 7).

È stabilito che la matrice del cambiamento di base è la matrice le cui colonne sono determinate dai coefficienti delle combinazioni lineari relative ai vettori della base di partenza espressi in funzione dei vettori della base di arrivo. Pertanto, il cambiamento della base da B1 a B2 si caratterizza nelle relazioni di seguito riportate:

v w w w

v

1 1 1 1 2 1 3 1 1 1

2 2 1 2 2 2 3 2 2 2

3 3

1 0 2

1 0 1

0 1 1

1 1 0

1 3

1 0

1 0 1

0 1 1

1 1 0

2 = + + ⇒





 





  =





 





  +





 





  +





 





 

= + + ⇒





 





  =





 





  +





 





  +





 





 

=

α β γ α β γ

α

( )

w

₁ _{3 2}

w

_{3 3}

w

₃ ₃ ₃

2 1 1

1 0 1

0 1 1

1 1 0

3 + + ⇒





 





  =





 





  +





 





  +





 





 

β γ α β γ ( )

La relazione (1) genera un sistema di tre equazioni in tre incognite; infatti, deve essere:

α γ

β γ

α β

γ β

α β

γ β

α β γ

1 1

1 1 1

1 0 2

1 2

2 3

2 1

3 2 1 2

1 2

+ =



 



⇒

= −

− =

+ =



 



⇒

=

= −



 



⇒

=

= −



 



La relazione (2) implica che valgano contemporaneamente le scritture di seguito riportate:

α γ

β γ

α β

β γ

γ β

α β

γ β

α β γ

2 2

2 2 2

3 1

0 1 3

2 4

2 2

1 1 2

+ =



 



⇒

= −

+ =

− =



 



⇒

= −

=

= −



 



⇒

=

= −

=



 



La relazione (3) si esplicita nella validità contemporanea delle tre scritture di seguito mostrate:

α γ

β γ

α β

γ α

β α

α β

β α

γ α

α β γ

3 3

3 3 2

2 1

1

2 1 1

2 0

2 2

2 1 0 1

+ =



 



⇒

= −

− = −

+ =



 



⇒

=

= −



 



⇒

=



 



Pertanto, la matrice del cambiamento di base, dalla base B1 alla base B2 assume la forma:

A

_B_{1 2}_B

1 2 3

3 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 1

,

=





 





  = −

−





 





 

α α α

β β β

γ γ γ

Ciò premesso calcoliamo le coordinate del vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ³ assegnato come v = (5, 2, 7). Poiché nulla sidicedelvettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ³significachela terna delle coordinate assegnate è da intendersi riferita alla base canonica BE:{e₁ = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1,)} di ℜℜℜℜ³. Poiché è a noi nota la matrice A_B1,B2 del cambiamento di base dalla base B1 alla base B2 è necessario calcolare le coordinate del vettore v riferite alla base B1; a tale scopo basta ricorrere alla combinazione lineare seguente:

5 2 7

1 0 2

3 1 0

2 1 1

3 2 5

2 2 7

2 7 2

3 9













 =













 +













 +













 ⇒ + + =

+ =



 



⇒ = −

= −

=



 



λ µ η

µ η λ η

µ η

λ η

η

( )

(7)

da cui, operando i necessari calcoli, si perviene così alla determinazione dei valori dei coefficienti della combinazione lineare ovvero delle coordinate del vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ³ riferite alla base B1; si ha:

λ = 2 , µ = − 1 , η = 3 ⇒ ( ) v

_B₁

= ( , 2 1 3 − , )

Atteso quanto premesso, le tre coordinate del vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ³ riferite alla base B2 si determinano facendo ricorso alla matrice AB1,B2 del cambiamento di base dalla base B1 alla base B2 secondo la relazione seguente:

( ) v

_B₂

A

_{B B}_{1 2}_,

( ) v

_B₁

3 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 1

2 1 3

5 2 0

= ∗ = −

−





 





  ∗ −





 





  =





 





 

Verifica 1: il vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ³ descritto rispetto alla base canonica BE dalle coordinate (5, 2, 7), verrà individuato nella base B₂ dalle coordinate determinate dai coefficienti della combinazione lineare seguente:

5 2 7

1 0 1

0 1 1

1 1 0

5 2 7

5 7

5 7 2





 





  =





 





  +





 





  +





 





  ⇒

+ = + = + =



 



⇒

= −

+ − + =



 



a b c

a c b c a b

c a

a b

b b

ovvero, si ritrovano i valori delle coordinate del vettore v∈∈∈ℜ∈ℜℜℜ³ rispetto alla base B2 date da:

a = 5 , b = 2 , c = 0 ⇒ ( ) v

_B₂

= ( , , ) 5 2 0

COMPLEMENTI. Prefiggiamoci di ricavare la matrice del cambiamento di base dalla base canonica B_E:{e₁ = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1,)} di ℜℜℜℜ³ alla base B₂ facendo ricorso alla matrice del cambiamento di base dalla base canonica BE alla base B1; quale legame dovrà sussistere fra le matrici

A

_{E B}_, ₁

, A

_{E B}_, ₂

, A

_{B B}_{1 2}_,

A tale riguardo determiniamo la matrice del passaggio di base dalla base canonica B_E alla base B₁. Si dovranno, cioè, impostare le combinazioni lineari che esprimono i vettori della base canonica B_E in dipendenza dei vettori della base B1; si ottiene, pertanto, il complesso delle relazioni seguenti:

1 0 0

1 0 2

3 1 0

2 1 1

3 2 1

0 2 0

1 3 2 3

1 1 1

2 3

1 1 1

1 1

1 1 1





 





  =





 





  +





 





  +





 





  ⇒

+ + =

+ =



 



⇒

=

= −



 



λ µ η

µ η λ η

λ µ η

0 1 0

1 0 2

3 1 0

2 1 1

3 2 0

1 2 0

1 1

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2





 





  =





 





  +





 





  +





 





  ⇒

+ + =

+ =



 



⇒

= −

= +



 



λ µ η

µ η λ η

λ µ η 0

0 1

1 0 2

3 1 0

2 1 1

3 2 0

0 2 1

1 3 1 3

3 3 3

1 3

3 3 3

3 3

3 3 3





 





  =





 





  +





 





  +





 





  ⇒

+ + =

+ =



 



⇒

= +

= −

= +



 



λ µ η

µ η λ η

λ µ η

Pertanto, la matrice del cambiamento di base cercato è così strutturata:

A

_{E B}_{, 1}

1 2 3

1 3 1 1 3 2 3 1 1 3 2 3 2 1 3

=





 





  =

−

− −

−





 





 

λ λ λ

µ µ µ

η η η

La conoscenza sia della matrice AE,B1 del cambiamento di base dalla base canonica BE alla base B₁ sia della matrice A_B1,B2 del cambiamento di base dalla base B₁ alla base B₂ consente allora di

(8)

determinare la matrice diretta del cambiamento di base dalla base canonica B_E alla base B₂. A tale scopo si può osservare lo schema di seguito riportato:

base B

_E

base B

₁

base B

₂

AE B, 1 AB B1 2,

   →   →

( ) ( )

base B

_E

base B

₂

AB B1 2, ∗ AE B, 1

   →

La matrice diretta, che caratterizza il cambiamento di base in ℜℜℜℜ³ dalla base canonica B_E alla base B₂ è la matrice AE,B2 così costruita:

A

_EB₂

A

_{B B}_{1 2}

A

_EB₁

3 2 1 1

1 2 1 0

1 2 2 1

1 3 1 1

2 3

3 1 1

2 3

3 2 1

3 1 2

1 2

1 1 2

2 1 2

1 1 2

2 1 2

1 2

= ∗ = −

−





 







 



∗

−

− −

−





 







 



=

−





 







 



Per completezza determiniamo di nuovo le coordinate, rispetto alla base B2, del vettore v∈∈∈∈ℜℜℜℜ³ che presenta le coordinate (5, 2, 7) riferite alla base canonica BE; si ottiene:

( ^v )

_B2

^A

EB2

( ^v )

BE

1 2 1 2 1 2

5 2 7

5 2 0

= ∗ =

−





 





  ∗





 





  =





 





 

Verifica 2: Calcoliamo direttamente la matrice del cambiamento di base dalla base canonica B_E alla base B2. Si impostano le combinazioni lineari come di seguito evidenziato:

1 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 0

1 0 0

1 2 1 2

1 1 1

1 2

1 1

1 1 1





 





  =





 





  +





 





  +





 





  ⇒

+ =



 



⇒

= +

= −

= +



 



δ σ ρ

δ ρ σ ρ δ σ

δ σ ρ 0

1 0

1 0 1

0 1 1

1 1 0

0 1 0

1 2 1 2

2 2 2

1 2

2 2

2 2 2





 





  =





 





  +





 





  +





 





  ⇒

+ =



 



⇒

= −

= +



 



δ σ ρ

δ ρ σ ρ δ σ

δ σ ρ 0

0 1

1 0 1

0 1 1

1 1 0

0 0 1

1 2 1 2

3 3 3

1 2

3 3

3 3 3





 





  =





 





  +





 





  +





 





  ⇒

+ =



 



⇒

= +

= −



 



δ σ ρ

δ ρ σ ρ δ σ

δ σ ρ

Ne consegue che la matrice AE,B2 del cambiamento di base dalla base canonica BE alla base B2 è:

A

_{E B}_{, 2}

1 2 1 2 1 2

=

−





 





 

RICHIAMI TEORICI: Si riportano alcuni teoremi che sono di fondamento per la determinazione della matrice M che realizza il cambiamento di base, cioè della matrice di passaggio dalla base C alla base B. La costituzione della matrice M è determinata dal seguente teorema:

TEOREMA 1.: Siano B = {b₁, b₂, ... , b_n} e C = {c1, c₂, ... , c_n} due basi di uno spazio vettoriale V di dimensione n su un campo K. Allora, per ogni vettore v∈∈∈∈V si ha che:

v

_B

= M

_C,B

*v

_C