La matrice del cambiamento delle coordinate.
1) Sia B = {b
1, . . . , b
n} una base di uno spazio vettoriale V , ed u un vettore di V . Poiche’ B e’ una base allora esiste un unico vettore numerico (colonna) x = (x
1, . . . , x
n)
T∈ R
ntale che
u = x
1b
1+ x
2b
2+ · · · + x
nb
n. Denoteremo tale vettore anche con il simbolo
[u]
B:= x,
e lo chiameremo il vettore delle coordinate di u rispetto all base B.
2) Siano B = {b
1, . . . , b
n} e B
0= {b
01, . . . , b
0n} basi per un dato spazio vettoriale V . Si definisce matrice del cambiamento delle coordinate di V dalla base B
0alla base B quella matrice quadrata P n × n la cui j−esima colonna e’ data dal vettore numerico [b
0j]
Bdelle coordinate di b
0jrispetto alla base B. Denoteremo tale matrice anche con il simbolo
M
BB0(id
V) := P.
Proposizione Siano B = {b
1, . . . , b
n} e B
0= {b
01, . . . , b
0n} basi per un dato spazio vettoriale V . Denotiamo con P la matrice del cambiamento delle coordinate di V dalla base B
0alla base B. Per ogni vettore u di V denotiamo con x = (x
1, . . . , x
n)
Tle coordinate di u rispetto alla base B, e con x
0= (x
01, . . . , x
0n)
Tle coordinate di u rispetto alla base B
0. Allora si ha:
x = P x
0cioe’
[u]
B= M
BB0(id
V) · [u]
B0.
Dimostrazione. Denotiamo con (a
ij) la matrice P . Quindi per definizione abbiamo per ogni j = 1, . . . , n
b
0j= X
ni=1
a
ijb
i. Sempre per definizione di coordinate abbiamo
u = X
n j=1x
0jb
0j.
Sostituendo l’espressione precedente abbiamo
u = X
n j=1x
0jÃ
nX
i=1
a
ijb
i!
.
2
Ora, per ogni i = 1, . . . , n, utilizzando le proprieta’ associativa, commutativa e distribu- tiva, possiamo raccogliere nell’espressione a destra i vari coefficienti con cui appare il vettore b
i, ed otteniamo
u = X
n j=1x
0jÃ
nX
i=1
a
ijb
i!
= X
ni=1
X
n j=1a
ijx
0j
b
i.
Il che implica che la coordinata i−esima di u rispetto alla base B e’ proprio P
nj=1
