4 Prestazioni
4.1 Schema del simulatore
Continuando nella nostra analisi dei PLL digitali, passeremo ora valutarne le prestazione che è possibile ottenere esaminando il caso di un sistema di comunicazione semplificato. Lo schema di principio cui facciamo riferimento è riportato in figura 4.1. L’intero simulatore è stato sviluppato in laboratorio in linguaggio C/C++.
Figura 4.1 Diagramma a blocchi di un PLL in presenza di rumore AWGN
Per le nostre simulazioni abbiamo trasmesso un segnale di prova del tipo:
( ) j 2 ft
s t e
realizzato campionando a intervalli di T n / s , dove n s è il rapporto di sovracampionamento della simulazione, rispetto al tempo di campionamento dei PLL,
2
s
j f i T n s
s i T e n
Alla seri
s
s i T n
è stato poi aggiunto un processo gaussiano w t ( ) campionato a frequenza n T s / ,
che in pratica è stato realizzato tramite le sue componenti i fase e in quadratura c ( )
s
w n T
n , s ( )
s
w n T n , anch’esse gaussiane, con
2
, 2
s S
s c
n E T SNR
in accordo con il teorema del campionamento. Dopo di che il segnale ottenuto è stato filtrato da un filtro a radice di coseno rialzato con roll-off . Il filtro è stato implementato prendendo in considerazione 2DT campioni della sua risposta impulsiva, presi a intervalli T n / s . Il risultato della convoluzione tra il filtro e il segnale in ingresso, considerato in parte reale e parte immaginaria, è decimato alla frequenza 1/T.
La sequenza di campioni così ottenuta viene, quindi, elaborata dai PLL digitali esaminati in precedenza.
4.2 Acquisizione
Come abbiamo visto i PLL sono stati progettati a partire da un PLL analogico del secondo ordine, quindi è lecito aspettarsi che siano in grado di acquisire un gradino di frequenza, cioè un segnale con fase n 2 f nT (ovvero una rampa in termini di fase del segnale).
Ammettiamo per ora che il PLL abbia raggiunto una situazione d’equilibrio, in questo caso possiamo usare la forma linearizzata. Prendiamo, quindi, in considerazioni l’equazioni del PLL realizzato con il metodo di Eulero
1
2 1
2
n n n n n n
n n n n n
T Ty
y y T
.
Se il PLL è a regime vale y n 1 y n , quindi
2 S 0 S
n n n
T .
Quindi il PLL non è polarizzato, inoltre, sostituendo nella prima equazione risulta: n S ,
S S 2 T n n S Ty S y S 2 f
Se consideriamo, invece, l’equazioni del PLL ottenuto con il metodo di Runge-Kutta
1 1,
1, 1 1,
n n n n n
n n n n
p qy
y y r
quando n 2 f nT , si vede che anche questo PLL è uno stimatore non polarizzato, ed inoltre otteniamo
1,
2
S
y f
q
.
Quando, invece, vogliamo interessarci al processo che conduce all’acquisizione, non sussiste più la condizione di linearità. Quindi per comprendere meglio questo fenomeno è conveniente introdurre il concetto di piano delle fasi.
Nel piano delle fasi, figura 4.2, costruito tramite la simulazione del PLL, ogni punto è associato ad una coppia di variabili di stato, n , y 1, n . Il grafico di una sola soluzione al variare di n è chiamato traiettoria.
La traiettoria mostra la dinamica del PLL e come avviene l’aggancio, o il mancato aggancio, ad un
punto di equilibrio.
Figura 4.2 Piano delle fasi per un PLL realizzato con il metodo di Runge-Kutta con T=0.01 s e B L =1 Hz
La zona interna alla linea continua nera è la zona d’aggancio del PLL. Il punto di partenza di ogni traiettoria è rappresentato dalla coppia , 2 f , parametri del segnale in ingresso. Dato che la caratteristica del rivelatore di fase moltiplicativo è periodica di periodo 2 , lo sarà anche il piano delle fasi che, infatti è stato rappresentato tra e . Ogni traiettoria che parte da un punto interno alla zona d’aggancio (curve blu), finisce nel punto di equilibrio rappresentato dall’origine degli assi.
Se, al contrario, una traiettoria parte al di fuori della zona d’aggancio (questo è il caso della curva rossa che nasce fuori dalla regione delimitata dalla linea nera continua), terminerà in un punto d’equilibrio del tipo 2 k ,0 , con k 0 ; in questo caso si dice che si è verificato un cycle slip.
Sempre a causa della periodicità del rivelatore di fase, è possibile rappresentare queste traiettorie nel singolo intervallo tra e , infatti la curva rossa, invece, di continuare nel settore a destra di
, è riportata e fatta ripartire da tra .
I punti che stanno sulla linea nera continua, invece, danno origine a traiettorie che terminano in
punti di equilibrio instabile, per questo questa curva è chiamata separatrice.
Una caratteristica importante che si può leggere direttamente dal piano delle fasi è la frequenza di pull-out normalizzata, cioè il massimo gradino di frequenza, po T , che può essere acquisito senza che si verifichi un cycle slip. Il valore di po si trova all’intersezione tra l’asse verticale e la separatrice.
In figura 4.3, infine è riportata la zona d’aggancio per tutti e due i tipi di PLL. Per piccoli valori di B T L , si nota un comportamento praticamente identico tra i due PLL. Inoltre la frequenza di pull-out è assolutamente compatibile con quella del sistema analogico data da [1]:
1.8 1
po n
.
Con l’aumentare di B T L , la zona d’aggancio si riduce notevolmente in entrambi i PLL, anche se il PLL realizzato con il metodo di Eulero è decisamente più sensibile alle variazioni di B T L .
Figura 4.3 Zona d’aggancio per PLL realizzato con il metodo di Eulero e Runge-Kutta, con B T L 0.01 (curve nere),
L 0.5
B T (curve rosse).
3.4 Tempo d’acquisizione
Un problema interessante è se può esistere una relazione tra la banda equivalente di rumore e il tempo d’acquisizione di un PLL. La risposta non è semplice in quanto il tempo di acquisizione non è una quantità fissa che possa essere calcolata come funzione dei parametri di sistemi (diversamente da B L ). In realtà, il tempo d’acquisizione dipende fortemente dal livello di rumore e dall’errore di fase iniziale. Nonostante questo, nel caso ideale in cui non sia presente rumore, e sotto l’ipotesi che l’errore iniziale sia tale che si possa applicare il modello di PLL lineare, possiamo definire il tempo d’acquisizione, T S , come il tempo che impiega l’errore di fase per arrivare al 5% del suo valore iniziale, come si può vedere da figura 4.4.
Figura 4.4 Tempo d’acquisizione 0.2 rad e B T L 0.01
Ovviamente questa definizione è del tutto empirica, ma è utile per definire una regola pratica, [1], per la quale vale :
2 2
0.4
4 1
S L
T
B
In figura 4.5 sono presentati i risultati della simulazione effettuata sui PLL digitali ottenuti con il metodo di Runge-Kutta e con il metodo di Eulero. Si può notare come, anche in questo caso, il PLL di Runge-Kutta abbia un comportamento simile al PLL analogico per un range di valori di B L
superiore a quello del PLL ottenuto tramite Eulero.
Figura 4.5 Tempo d’acquisizione in funzione di B L , T=0.01 s.
4.4 Jitter di fase
Nel capitolo precedente abbiamo descritto due diversi modi per stimare la fase di un segnale. A
questo punto si presenta la necessità di stabilire l’accuratezza di tali metodi di stima. In altre parole
quantificare la bontà della stima è un obbiettivo molto importante in quanto permette di confrontare
le prestazioni ottenibili con PLL esaminati. Gli strumenti per realizzare tali tipi di misure possono
essere ricercati nella teoria della decisione e della stima, e tra questi il più importante è sicuramente
il limite di Cramer-Rao modificato, MCRB .
Il MCRB stabilisce un limite inferiore (un lower bound) alla varianza dell’errore di stima di ogni stimatore non polarizzato (ovvero definisce una soglia al di sotto della quale nessun stimatore) può andare, cioè vale la relazione
Var MCRB
Il MCRB , nel caso in cui il segnale sia in banda base, è dato da [4]
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