Equazioni differenziali ordinarie 1
A. Sommariva
2Keywords: Problema di Cauchy. Teoremi di Cauchy in piccolo e grande. Metodi di Eulero esplicito (con stima errore). Metodo di Eulero implicito. Linear Multistep methods (LMM). Metodi LMM per quadratura. Metodi di Adams-Bashforth, Adams-Moulton, Nystrom. Consistenza. Consistenza e LMM. stabilit`a . Root condition. Convergenza. Convergenza e suo legame con consistenza e stabilit`a . Convergenza Eulero esplicito (con dimostrazione). A-stabilit`a : problema test.
Problema test. Problemi stiff. Regioni di stabilit`a di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson. Barriere di Dahlquist. Metodi di Runge-Kutta (di ordine 2 e 4).
Revisione: 11 maggio 2021
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1. Problema di Cauchy
Si determini la funzione y tale che
y
0(x) = f (x, y(x)), x ≥ x
0y(x
0) = y
0(1) dove f `e a valori in R
ne definita in un sottoinsieme Ω di R×R
n, con (x
0, y
0) ∈ Ω.
Nota. Di seguito supporremo che tale problema abbia una sola soluzione.
Esempio. [Equazione differenziale ordinaria]
y
0(x) = y(x), x ≥ 0
y(0) = 1 (2)
la cui soluzione `e exp (x), `e un problema di Cauchy con f (x, y(x)) = y(x).
Esempio. [Sistema di equazioni differenziali ordinarie]
y
10(x) = −y
2(x), x ≥ 0 y
20(x) = y
1(x), x ≥ 0 y
1(0) = 1, y
2(0) = 0
(3)
la cui soluzione `e y(x) = (y
1(x), y
2(x)) = (cos (x), sin (x)), `e un problema di Cauchy con y = (y
1, y
2), x
0= 0, y(x
0) = (1, 0) e
f (x, y(x)) = f (x, y
1(x), y
2(x)) = (−y
2(x), y
1(x)).
Teorema 1.1 (Teorema di Picard-Lindel¨of). Sia D = [t
0− ε, t
0+ ε] × R
n. Dato il problema ai valori iniziali
y
0(t) = f (t, y(t)), t ∈ [t
0− ε, t
0+ ε]
y(t
0) = y
0se
• f : D → R `e una funzione lipschitziana in y cio`e
|f (t, y
1) − f (t, y
2)| ≤ Kky
1− y
2k, (t, y
1), (t, y
2) ∈ D
• f `e continua in t allora per qualche ε > 0,
allora esiste un’unica soluzione y al problema ai valori iniziali sull’intervallo [t
0− ε, t
0+ ε].
Teorema 1.2 (Cauchy in piccolo, [2, p.7]). Si supponga che
• D sia un aperto connesso di R × R
n;
• f : D → R sia una funzione continua in D;
• (t
0, y
0) un punto interno a D;
• la funzione f verifichi la condizione di Lipschitz
kf (t, y
1) − f (t, y
2)k ≤ Kky
1− y
2k, (t, y
1), (t, y
2) ∈ D.
per qualche K ≥ 0.
Allora esiste una unica funzione y definita su un intervallo [t
0− α, t
0+ α], per qualche α > 0 tale che
y
0(t) = f (t, y(t)), t ∈ [t
0− α, t
0+ α]
y(t
0) = y
0(4) Teorema 1.3 (Cauchy in grande, [5 , p.331]). Sia f : [a, b] × R
n→ R tale che
• f (t, y), t ∈ [a, b], y ∈ R
ncontinua nella prima variabile,
• soddisfi rispetto alla seconda variabile la condizione di Lipschitz kf (t, y
1) − f (t, y
2)k ≤ Kky
1− y
2k, t ∈ [a, b], y
1, y
2∈ R
n. per qualche norma vettoriale k · k e K ≥ 0.
Allora il problema di Cauchy
y
0(t) = f (t, y(t)), t ∈ [a, b]
y(a) = y
0(5)
ha una e una sola soluzione y in [a, b], per un arbitrario y
0∈ R
n.
Nota.
• Nel teorema di Cauchy in piccolo si fornisce un teorema di esistenza e unicit`a locale.
• Nel teorema di Cauchy in grande si fornisce un teorema di esistenza e unicit`a globale.
Nota. [Soluzioni multiple] Esistono casi in cui il problema di Cauchy ha soluzioni multiple. Ad esempio, il problema
y
0(x) = 2py(x), x > 0
y(x
0) = 0 (6)
ha per soluzioni, per α ∈ R
+y(x) =
y(x) = (x − α)
2, x ≥ α
y(x) = 0, altrimenti. (7)
1.1. Metodo di Eulero esplicito
Indichiamo con I(x, x) il pi`u piccolo intervallo aperto contenente x e x (cio`e (x, x) oppure (x, x)). Assumendo che la soluzione sia sufficientemente regolare, abbiamo dalla formula di Taylor per x ≈ x, ξ ∈ I(x, x) e (1)
y(x) = y(x) + y
0(x)(x − x) + y
00(ξ)(x − x)
22
≈ y(x) + y
0(x)(x − x) = y(x) + f (x, y(x))(x − x) (8) cio`e
y(x) ≈ y(x) + f (x, y(x))(x − x)
Metodo. [Eulero esplicito, 1768-1770] Tale metodo consiste nell’approssimare y(x
k+1) con u
k+1dove
u
k+1= u
k+ h · f (x
k, u
k), u
0= y(x
0), (9) ove h = x
k+1− x
k.
Supponiamo di voler determinare una approssimazione della soluzione nei punti equispaziati x
k+1= x
0+ kh = x
k+ h con k > 0.
Da
y(x) ≈ y(x) + f (x, y(x))(x − x) ponendo x = x
k+1, x = x
ky(x
k+1) ≈ y(x
k) + h · f (x
k, y(x
k)). (10)
1.2. Metodo di Eulero implicito
Similmente, supposto x
k+1= x
0+ kh = x
k+ h con k > 0, da y(x) ≈ y(x) + f (x, y(x))(x − x) scelti x = x
k, x = x
k+1abbiamo
y(x
k) ≈ y(x
k+1) + f (x
k+1, y(x
k+1))(x
k− x
k+1), (11) e quindi portato il termine f (x
k+1, y(x
k+1))(x
k− x
k+1) nel membro di sinistra
y(x
k+1) ≈ y(x
k) + h · f (x
k+1, y(x
k+1)). (12) Metodo. [Metodo di Eulero implicito] Tale metodo consiste nell’approssimare y(x
k+1) con u
k+1definito da
u
k+1= u
k+ h · f (x
k+1, u
k+1), u
0= y(x
0) (13)
Nota. [Risoluzione equazioni nonlineari] Evidentemente ad ogni iterazione del metodo di Eulero implicito
u
k+1= u
k+ h · f (x
k+1, u
k+1), u
0= y(x
0) si richiede di risolvere un’equazione nonlineare nella variabile z del tipo
z = u
k+ h · f (x
k+1, z) la cui soluzione pu`o essere calcolata utilizzando ad esempio
• col metodo di Newton o
• del punto fisso o
• delle secanti.
Nota. [Metodi di Eulero e sistemi di equazioni differenziali] Il problema di Cauchy `e definito da
y
0(x) = f (x, y(x)), x ≥ x
0y(x
0) = y
0(14) dove f `e a valori in R
ne definita in un sottoinsieme Ω di R×R
n, con (x
0, y
0) ∈ Ω.
Nei casi multivariati con n > 1, indipendentemente dalla derivazione dovuta alla espansione di Taylor, i metodi
• Eulero esplicito: u
k+1= u
k+ h · f (x
k, u
k), u
0= y(x
0)
• Eulero implicito: u
k+1= u
k+ h · f (x
k+1, u
k+1), u
0= y(x
0),
possono essere utilizzati, in quanto la sequenza `e ben definita.
2. Linear Multistep Methods
Definizione 2.1 (Linear Multistep Methods ). I metodi Linear Multistep (abbreviati con LMM) approssimano y(x
n) con u
n, dove x
n= x
0+ nh e
u
n+1=
p
X
j=0
a
ju
n−j+ h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, u
n−j)
Nota. Si osservi che
• Sono metodi per cui se voglio calcolare u
n+1necessitano u
n−p, . . . , u
n(si chia- mano metodi a p + 1 passi). Siccome inizialmente si dispone solo di u
0, per calcolare u
1, . . . , u
p, necessari ad innescare il metodo, si utilizzano di solito al- tre strategie (come ad esempio applicare pi`u volte metodi a un passo, cio`e in cui p = 0, come ad esempio Eulero implicito).
• Se b
−1= 0 allora il metodo `e esplicito, altrimenti `e implicito.
Nota. Osserviamo che il metodo di Eulero esplicito u
n+1= u
n+ h · f (x
n, u
n) e Eulero implicito
u
n+1= u
n+ h · f (x
n+1, u
n+1) hanno la forma
u
n+1=
p
X
j=0
a
ju
n−j+ h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, u
n−j) ponendo rispettivamente
• Eulero esplicito: p = 0, a
0= 1, b
−1= 0, b
0= 1,
• Eulero implicito: p = 0, a
0= 1, b
−1= 1, b
0= 0.
2.1. Metodi basati sull’integrazione numerica ([8, 125]) Si supponga di dover studiare il problema di Cauchy
y
0(x) = f (x, y(x)), x ≥ x
0y(x
0) = y
0(15) e di dover approssimare la sua soluzione y nei punti equispaziati x
k= x
0+ kh.
Osserviamo che
y(x
n+k) = y(x
n−j) + Z
xn+kxn−j
y
0(t)dt (16)
= y(x
n−j) + Z
xn+kxn−j
f (t, y(t))dt (17)
Sostituiamo ora l’integranda con il polinomio di grado al pi´u p
π
p(x) =
p
X
i=0
f (x
n−i, y(x
n−i))L
i(x)
che interpola le coppie (x
l, f (x
l, y(x
l)) per l = n, n − 1, . . . , n − p, dove
L
i(x) =
p
Y
k=0,k6=i
x − x
n−kx
n−i− x
n−k.
Ricaviamo cos´ı, da f (x, y(x)) ≈ π
p(x) = P
qi=0
f (x
n−i, y(x
n−i))L
i(x), posto β
p,i(k,j)= 1
h Z
xn+kxn−j
L
i(t)dt = Z
k−j p
Y
m=0,m6=i
s + m
−i + m ds, i = 0, 1, . . . , p i metodi di tipo LMM, a pi`u passi
y(x
n+k) = y(x
n−j) + Z
xn+kxn−j
f (t, y(t))dt
≈ y(x
n−j) + Z
xn+kxn−j p
X
i=0
f (x
n−i, y(x
n−i))L
i(t)dt
= y(x
n−j) +
p
X
i=0
f (x
n−i, y(x
n−i)) Z
xn+kxn−j
L
i(t)dt
= y(x
n−j) + h
p
X
i=0
β
p,i(k,j)f (x
n−i, y(x
n−i)). (18)
2.2. Metodi di Adams-Bashforth (1883) Ponendo k = 1, j = 0 in
y(x
n+k) ≈ y(x
n−j) + h
p
X
i=0
β
p,i(k,j)f (x
n−i, y(x
n−i)).
otteniamo la famiglia di metodi espliciti di Adams-Bashforth (1883)
u
n+1= u
n+
p
X
i=0
β
p,i(1,0)f (x
n−i, u
n−i), u
n−i≈ y(x
n−i).
Alcuni esempi sono i metodi a p + 1 passi:
• Adams-Bashforth (p=0): u
n+1= u
n+ hf
n(Eulero esplicito);
• Adams-Bashforth (p=1): u
n+1= u
n+
h2(3f
n− f
n−1);
• Adams-Bashforth (p=2): u
n+1= u
n+
12h(23f
n− 16f
n−1+ 5f
n−2);
• Adams-Bashforth (p=3): u
n+1= u
n+
24h(55f
n− 59f
n−1+ 37f
n−2− 9f
n−3).
dove f
n−3= f (x
n−3, u
n−3), f
n−2= f (x
n−2, u
n−2), f
n−1= f (x
n−1, u
n−1), f
n= f (x
n, u
n).
2.3. Metodi di Adams-Moulton (1926) Ponendo k = 0, j = 1 in
y(x
n+k) ≈ y(x
n−j) + h
p
X
i=0
β
p,i(k,j)f (x
n−i, y(x
n−i)).
otteniamo la famiglia di metodi impliciti di Adams-Moulton (1926) u
n= u
n−1+ h
p
X
i=0
β
(0,1)p,if (x
n−i, u
n−i), u
n−i≈ y(x
n−i).
Sostituendo n + 1 al posto di n, abbiamo cos´ı u
n+1= u
n+ h
p
X
i=0
β
p,i(0,1)f (x
n+1−i, u
n+1−i)
= u
n+ h
p−1
X
j=−1
β
(0,1)p,jf (x
n−j, u
n−j). (19)
Alcuni esempi di metodi di Adams-Moulton sono i metodi impliciti
• Adams-Moulton (p=0): u
n+1= u
n+ hf
n+1(Eulero implicito);
• Adams-Moulton (p=1): u
n+1= u
n+
h2(f
n+1+ f
n) (Crank-Nicolson);
• Adams-Moulton (p=2): u
n+1= u
n+
12h(5f
n+1+ 8f
n− f
n−1);
• Adams-Moulton (p=3): u
n+1= u
n+
24h(9f
n+1+ 19f
n− 5f
n−1+ f
n−2).
dove f
n−2= f (x
n−2, u
n−2), f
n−1= f (x
n−1, u
n−1), f
n= f (x
n, u
n), f
n+1= f (x
n+1, u
n+1).
• Si verifica facilmente che tanto i metodi Adams-Bashforth quanto gli Adams- Moulton sono di tipo Linear Multistep Methods.
• The Adams-Bashforth methods were designed by John Couch Adams to solve a differential equation modelling capillary action due to Francis Bashforth. Ba- shforth (1883) published his theory and Adams’numerical method (Goldstine 1977).
• The Adams-Moulton methods are solely due to John Couch Adams, like the
Adams-Bashforth methods. The name of Forest Ray Moulton became associa-
ted with these methods because he realized that they could be used in tandem
with the Adams-Bashforth methods as a predictor-corrector pair.
2.4. Metodi di Nystr¨om (1925) Ponendo k = 1, j = 1 in
y(x
n+k) ≈ y(x
n−j) + h
p
X
i=0
β
p,i(k,j)f (x
n−i, y(x
n−i)).
otteniamo la famiglia di metodi di Nystr¨om (1925)
u
n+1= u
n−1+ h
p
X
i=0
β
p,i(1,1)f (x
n−i, u
n−i), u
n−i≈ y(x
n−i).
Un esempio `e il metodo del punto medio u
n+1= u
n−1+ 2hf
n. Nota.
• Un metodo molto noto in questa famiglia `e quello di Milne
u
n+1= u
n−1+ (h/3) (f
n−1+ 4f
n+ f
n+1)
ottenuto ponendo in (18) i parametri k = 0, j = 2, p = 2 e sostituendo n con n + 1,
• Esistono altre grandi famiglie di metodi LMM, come i metodi BDF (cf. [6, p.437]), utili in problemi stiff.
3. Consistenza
Definizione 3.1 (Errori di troncamento, [2], p.112). Si risolva un problema di Cau- chy (1) nel compatto [x
0, b] con il metodo LMM
u
n+1=
p
X
j=0
a
ju
n−j+ h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, u
n−j), u
k≈ y(x
k) con y soluzione di (1), x
k= x
0+ kh, k = 0, . . . , N , b − h < x
N≤ b, e sia
τ
n(h) := 1 h ·
y(x
n+1) − (
p
X
j=0
a
jy(x
n−j) + h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, y(x
n−j)))
.
• La quantit`a τ
n(h) chiama errore locale di troncamento del metodo.
• La quantit`a τ (h) = max
n=0,...|τ
n(h)|, assunto che sia stato commesso errore nullo nei passi iniziali, si chiama errore globale di troncamento del metodo.
• Un metodo per cui τ (h) tende a 0, quando h → 0 si dice consistente.
• Se τ (h) = O(h
k) allora il metodo ha ordine di consistenza ”k”.
La consistenza rende conto di come la soluzione y del problema di Cauchy verifichi lo schema discreto del metodo linear multistep
u
n+1=
p
X
j=0
a
ju
n−j+ h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, u
n−j).
Osserviamo inoltre che per metodi espliciti la quantit´a detta residuo
y(x
n+1) − (
p
X
j=0
a
jy(x
n−j) + h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, y(x
n−j)))
non `e altro che l’errore dello schema numerico, qualora si supponga u
n−j= y(x
n−j), j = 0, . . . , p.
3.1. Consistenza Eulero esplicito
Teorema 3.2 (Errore locale di troncamento di Eulero esplicito). Sia y ∈ C
2([a, b]) l’unica soluzione del problema di Cauchy (1) in [a, b] e siano x
k= a + kh, b − h <
x
N≤ b. Allora l’errore locale di troncamento di Eulero esplicito risulta
τ
k(h) = y
00(ξ
k)h 2 per qualche ξ
k∈ (x
k, x
k+1), k ∈ 0, . . . , N − 1.
Nota. Se y ∈ C
2(a, b), allora per M = max
x∈[a,b]|y
00(x)|
τ (h) = max
n=0,...,N
|τ
k(h)| = max
n=0,...,N
y
00(ξ
k)h 2
≤ M h 2 ovvero il metodo di Eulero esplicito `e consistente.
Osserviamo che se y ∈ C
2([a, b]), dalla formula di Taylor
y(x
k+1) = y(x
k) + y
0(x
k)(x
k+1− x
k) + y
00(ξ)(x
k+1− x
k)
22
per qualche ξ ∈ (x
n, x
n+1) ovvero da h = x
k+1− x
k, y
0(x
k) = f (x
k, y(x
k)) y(x
k+1) − y(x
k) − h · f (x
k, y(x
k)) = y
00(ξ)h
22 Di conseguenza,
τ
k(h) = 1
h (y(x
k+1) − y(x
k) − hf (x
k, y(x
k)))
= 1
h
y
00(ξ
k)h
22 = y
00(ξ
k)h
2 . (20)
3.2. Consistenza Eulero implicito
Teorema 3.3 (Errore locale di troncamento di Eulero implicito). Sia y ∈ C
2([a, b]) l’unica soluzione del problema di Cauchy (1) in [a, b] e siano x
k= a + kh, b − h <
x
N≤ b. Allora l’errore locale di troncamento di Eulero implicito risulta
τ
k(h) = − y
00(ξ
k)h 2 per qualche ξ ∈ (x
k, x
k+1), k = 0, . . . , N − 1.
Nota. Se y ∈ C
2(a, b), allora per M = max
x∈[a,b]|y
00(x)|
τ (h) = max
n=0,...,N
|τ
k(h)| = max
k=0,...,N −1
−y
00(ξ
k)h 2
≤ M h
2 (21)
ovvero il metodo di Eulero implicito `e consistente.
Osserviamo che se y ∈ C
2([a, b]), dalla formula di Taylor
y(x
k) = y(x
k+1) + y
0(x
k+1)(x
k− x
k+1) + y
00(ξ
k)(x
k− x
k+1)
22
per qualche ξ
k∈ (x
k, x
k+1) ovvero da h = x
k+1− x
k, y
0(x
k) = f (x
k, y(x
k)) y(x
k+1) − y(x
k) − h · f (x
k+1, y(x
k+1)) = − y
00(ξ
ki)h
22 Di conseguenza,
τ
k(h) = 1
h (y(x
k+1) − y(x
k) − hf (x
k, y(x
k)))
= 1
h · −y
00(ξ
k)h
22 = − y
00(ξ
k)h
2 . (22)
3.3. Consistenza LMM
Teorema 3.4 ([6, p.437]). Un metodo linear multistep
• `e consistente se e solo se
p
X
j=0
a
j= 1, −
p
X
j=0
ja
j+
p
X
j=−1
b
j= 1,
• se y ∈ C
q+1per q ≥ 1, ha ordine di consistenza q se e solo se `e consistente e
p
X
j=0
(−j)
ia
j+ i
p
X
j=−1
(−j)
i−1b
j= 1, i = 2, . . . , q.
Esempio.
• Il metodo di Eulero Esplicito ha parametri a
0= 1, b
−1= 0 e b
0= 1, p = 0 ed
´e immediato vedere che vale formula relativa alla consistenza di ordine 1.
• Il metodo di Eulero Implicito ha parametri a
0= 1, b
−1= 1 e b
0= 0, p = 0 ed
´e immediato vedere che vale formula relativa alla consistenza di ordine 1.
• Il metodo di Crank-Nicolson ha parametri a
0= 1, b
−1= 1/2, b
0= 1/2, p = 0, ed ´e immediato vedere che vale formula relativa alla consistenza di ordine 1.
Inoltre per i = 2 si ha
p
X
j=0
(−j)
ia
j+ 2
p
X
j=−1
(−j)
i−1b
j= . . . = 2b
−1= 1
e quindi se y ∈ C
3([a, b]) ha consistenza di ordine 2.
4. Stabilit`a di un metodo LMM
Definizione 4.1 (Zero stabile, [9, p.332]). Si consideri un metodo numerico LMM a p passi per la soluzione di problemi di Cauchy (1) nell intervallo [a, b]. Siano x
k= a + kh
Ncon h
N= (b − a)/N , k = 0, . . . , N . Tale metodo si dice zero-stabile se qualsiasi siano le sequenze {u
(hkN)}, {v
k(hN)} che sono state generate dal metodo con dati iniziali rispettivamente u
(h0 N), . . . , u
(hp−1N), v
0(hN), . . . , v
(hp−1N), abbiamo
max
s=0,...,N
|u
(hkN)− v
k(hN)| ≤ K max
s=0,...,p−1
(|u
(hs N)− v
s(hN)|) per h
N≤ h
∗, con K indipendente da h
N.
• Questo concetto di stabilit`a viene detto zero-stabilit`a, in quanto determinato esclusivamente dallo studio relativo al problema (1) con f (x, y) = 0 (cf. [7, p.440]).
• In queste note ci interesseremo alla convergenza e consistenza di metodi LMM, ma esistono definizioni che permettono l’analisi di altri metodi pi´u generali.
In generale risulta tedioso studiare caso per caso la stabilit`a dei LMM u
n+1=
p
X
j=0
a
ju
n−j+ h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, u
n−j)
Risulta pi`u semplice studiare la cosidetta root-condition che `e un concetto equiva- lente.
In particolare questa `e verificata se e solo se il polinomio caratteristico ρ(z) = z
p+1−
p
X
k=0
a
kz
kha tutte le radici nel disco B(0, 1) ⊂ C e quelle in ∂B(0, 1) hanno molteplicit`a 1.
Esempio. Nel caso di
• Eulero esplicito: u
n+1= u
n+ hf
n,
• Eulero implicito: u
n+1= u
n+ hf
n+1,
• Crank-Nicolson: u
n+1= u
n+
h2(f
n+1+ f
n), abbiamo
u
n+1=
p
X
j=0
a
ju
n−j+ h
p
X
j=−1
b
jf (x
n−j, u
n−j) con a
0= 1, p = 0, da cui
ρ(z) = z
p+1−
p
X
k=0
a
kz
k= z − 1
che ha quale unica soluzione z
∗= 1 che ovviamente `e in ∂B(0, 1) e ha molteplicit`a 1.
Quindi tali metodi sono zero-stabili.
5. Convergenza di un metodo LMM
Definizione 5.1 (Convergenza). Supponiamo di analizzare il problema di Cauchy nel- l’intervallo compatto I = [x
0, x fin]. Siano x
s= x
0+ sh
N, con N h
N= x
f in− x
0,
• y
(hN)= {y(x
k)}
k=0,...,Nla soluzione esatta di un fissato problema di Cauchy,
• u
(hN)= {u
k}
k=0,...,Ndove u
k`e l’approssimazione di y(x
k) fornita nei punti x
kda un metodo numerico a p + 1 passi.
Un metodo Linear Multistep a p + 1 passi si dice convergente se qualora i passi iniziali u
(h0 N), . . . , u
(hpN)sono tali che
η(h
N) = max
0≤k≤p
|y
k(hN)− u
(hk N)| → 0 per h
N→ 0 si ha che
ky
(hN)− u
(hN)k
∞→ 0 per h
N→ 0.
Qualora η(h
N) ≤ C
1h
qsi ha ky
(hN)− u
(hN)k
∞≤ C
2h
q, con C
1, C
2indipendenti da h, allora il metodo si dice convergente con ordine q.
Importante 5.2. Un teorema dovuto a Lax e Richtmyer (1956), mostra che un metodo
`e convergente se e solo se consistente e stabile.
Di conseguenza, se vengono verificate
• le condizioni di consistenza
• la root condition,
un metodo `e convergente.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
8 16 32 64 128
Figura 1: Si consideri il problema di Cauchy y0(x) = y(x) in [0, 1] con dato iniziale y(0) = 1, avente soluzione y(x) = exp(x) e si applichi il metodo di Eulero Esplicito un+1 = un+ hkf (xn, un) per approssimare la soluzione nei punti xn = nhk, n = 0, . . . , Nkove hk = 1/Nk, con dato iniziale u0= 1 + hkper i valori N1 = 8, N2= 16, N3= 32, N4= 64, N5= 128. Nel grafico in figura sono illustrati gli errori rispetto alla soluzione esatta, e il metodo sembra essere convergente.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
10-10 100 1010 1020 1030 1040
1050 Metodo non convergente, ma consistente (Dahlquist, 1956) 10
20 40 80
Figura 2: Si consideri il problema di Cauchy y0(x) = y(x) in [0, 1] con dato iniziale y(0) = 1, avente soluzione y(x) = exp(x) e si applichi il metodo consistente un+2 = −4un+1 + 5un+ hk(4f (xn+1, un+1) + 2f (xn, un)) per approssimare la soluzione nei punti xn= nhk, n = 0, . . . , Nk
ove hk= 1/Nk, con dato iniziale u0= 1, u1= exp(hk) per i valori Nk= 2k−1· 10. Nel grafico in fi- gura sono illustrati gli errori rispetto alla soluzione esatta. Gli esperimenti mostrano che il metodo, suggerito quale esempio da Dahlquist nel 1956 in [4, p.37], non sembra convergere (anzi, al crescere di Nkdiverge maggiormente).
Corollario 5.3. I metodi di Eulero esplicito ed Eulero implicito sono convergenti.
Teorema 5.4 (Convergenza LMM (cf.[2, p.116]), facoltativo). Sia u
n+1= P
pj=0
a
ju
n−j+ h P
pj=−1
b
jf (x
n−j, u
n−j) e si supponga
• si debba studiare il problema di Cauchy (1) in [x
0, xfin], che f : [x
0, xfin]×R → R sia continua e L-lipschitziana, rispetto la seconda variabile e che la soluzione y ∈ C
(1)([x
0, xfin]),
• i dati iniziali siano calcolati in modo che η(h) = max
i=0,...,p
|y(x
i) − u
i| → 0, per h → 0;
• il metodo sia consistente;
• a
j≥ 0, j = 0, . . . , p;
• il passo di discretizzazione h sia tale che h ≤ h
∗= 1/(2c), dove c = L P
p j=−1|b
j| e L `e la costante di Lipschitz di f .
Allora il metodo LMM converge ed inoltre esistono C
1, C
2positive tali che per ogni n
|y(x
n) − u
n| ≤ C
1η(h) + C
2τ (h).
Se y ∈ C
(m+1)([x
0, xfin]), il metodo ha ordine di consistenza m e gli errori iniziali soddisfano η(h) = O(h
m) allora il metodo `e di ordine m.
Nota. Nelle ipotesi del teorema precedente, per ricavare la convergenza chiedava- mo:
• i dati iniziali siano calcolati in modo che η(h) = max
i=0,...,p
|y(x
i) − u
i| → 0, per h → 0;
• il metodo sia consistente;
• a
j≥ 0, j = 0, . . . , p;
• il passo di discretizzazione h sia tale che h ≤ 1/(2c), dove c = L P
pj=−1
|b
j| e L `e la costante di Lipschitz di f .
1. Se prendiamo un metodo di Adams-Bashforth o Adams-Moulton di quelli espo- sti, sono tutti consistenti con ordine p + 1. Inoltre a
0= 1, a
1= 0, . . . , a
p= 0. Di conseguenza, essendo gli zeri del polinomio caratteristico z
p+1− 1 = 0 uguali alle radici p + 1-esime primitive dell’unit´a, tutti i metodi esposti sono convergenti.
2. Se la soluzione `e p + 2 volte derivabile con continuit`a, il metodo ha ordine di consistenza p + 1 e gli errori iniziali soddisfano η(h) = O(h
m) allora il metodo `e di ordine p + 1.
In particolare, nelle ipotesi richieste,
• il metodo di Eulero esplicito, avendo ordine di consistenza 1, `e convergente con ordine di convergenza 1;
• il metodo di Eulero implicito, avendo ordine di consistenza 1, `e convergente con ordine di convergenza 1;
• il metodo di Crank-Nicolson, avendo ordine di consistenza 2, `e convergente con ordine di convergenza 2.
6. Regione di assoluta stabilit`a
Nell’ambito delle equazioni differenziali ordinarie, esistono vari criteri di stabilit´a.
Un classico problema `e quello di vedere se un metodo `e assolutamente stabile (spesso A-stabile).
Definito il problema di Cauchy
y
0(x) = λy(x), x ≥ 0
y(0) = 1 (23)
per un certo λ ∈ C con <(λ) < 0, visto che l’unica soluzione `e y(x) = exp (λx) si cerca di definire il passo h cosicch`e il metodo numerico per la soluzione del problema di Cauchy (1) abbia lo stesso comportamento asintotico di exp (λx).
La regione di assoluta stabilit`a `e composta dagli hλ, per cui il metodo numerico con passo h `e tale da avere lo stesso comportamento asintotico del problema di Cauchy (23) relativo al parametro λ (con <(λ) < 0).
Nota. [Dahlquist, 1979] I didn’t like all these strong, perfect, absolute, generali- zed, super, hyper, complete and so on in mathematical definitions, I wanted something neutral; and having been impressed by David Young’s property A, I chose the term A-stable.
Nota. Stabilire la stabilit`a per il problema di Cauchy
y
0(x) = f (x, y(x)), x ≥ 0
y(x
0) = y
0(24)
`e in generale complicato. Se invece consideriamo
y
0(x) = λy(x) + g(x), x ≥ 0
y(0) = y
0(25)
la questione `e pi`u semplice.
Ricordiamo che la soluzione di (25) `e y(x) = y
0· exp (λx) +
Z
x 0exp (λ(x − t))g(t)dt (cf. [1, p.369]).
Sia y la soluzione di
y
0(x) = λy(x) + g(x), x ≥ 0 y(0) = y
0(26)
e y
quella di
y
0(x) = λy(x) + g(x), x ≥ 0
y(0) = y
0+ (27)
Posto z
= y
− y, da (26), (27),
z
0(x) = λz
(x), x ≥ 0
z
(0) = (28)
la cui soluzione `e z
= · exp (λx).
Di solito nelle applicazioni ci si interessa al caso λ < 0 o complesso con parte reale negativa. In questi casi z
→ 0 per n → ∞ e quindi l’effetto delle perturbazioni si annulla per valori grandi di x.
Si desidera che il metodo numerico goda delle stesse propriet`a e la risposta la si ha nuovamente dallo studio della regione di stabilit`a.
Nota. Ricordiamo a tal proposito che dalla formula di Eulero, se z = a + ib =
<(z) + i=(z) allora
exp (z) = exp (a) · (cos (b) + i sin (b)).
Quindi, visto che per qualsiasi b si ha che |cos(b) + i sin(b)| = 1, se <(λ) < 0
| exp (λx)| = |exp(<(λx))(cos (=(λx)) + i sin (=(λx)))|
= |exp(<(λx))|| cos (=(λx)) + i sin (=(λx))|
= |exp (<(λx))| → 0, per x → ∞.
Definizione 6.1 (Problema stiff (Curtiss-Hirschfelder, 1952)). Un problema di Cau- chy
y
0(x) = λy(x), x ≥ 0
y(0) = 1. (29)
si dice stiff, quando <(λ) 0 (cio`e <(λ) `e molto grande in valore assoluto).
6.1. Regione di assoluta stabilit`a: Eulero esplicito Nel caso del metodo di Eulero esplicito,
u
n= u
n−1+ hf (x
n−1, u
n−1) = (1 + hλ)u
n−1, u
0= 1.
Visto che
u
n= (1 + hλ)u
n−1= (1 + hλ)
2u
n−2= . . . = (1 + hλ)
nu
0= (1 + hλ)
n, necessariamente
u
n= (1 + hλ)
ne quindi
u
n→ 0 se e solo se |1 + hλ| < 1
il che significa che la regione di assoluta stabilit´a consiste del disco aperto del piano complesso di centro −1 e raggio 1.
Di conseguenza,
−4 −3 −2 −1 0 1 2
−3
−2
−1 0 1 2
Figura 3: In magenta: regione di assoluta stabilit`a di Eulero esplicito: disco unitario centrato in (−1, 0).
• fissato λ, il metodo risulta stabile se e solo se si sceglie un passo sufficientemente piccolo;
• se λ ∈ R
−, allora bisogner´a scegliere un passo minore di h
∗= 2/|λ|.
• nel caso di problemi stiff, cio`e con <(λ) 0, si deve scegliere un passo h molto piccolo affinch`e la soluzione di Eulero esplicito tenda a 0.
6.2. Regione di assoluta stabilit`a: Eulero implicito Nel caso del metodo di Eulero implicito,
u
n= u
n−1+ hf (x
n, u
n) = u
n−1+ hλu
n, u
0= 1.
Portando a primo membro hλu
n, dividendo i membri per 1 − hλ u
n= u
n−11 − hλ , da cui posto C =
1−hλ1,
u
n= Cu
n−1= C
2u
n−2= . . . = C
nu
0= C
n=
1
1 − hλ
novvero
u
n= C
n, C = 1 1 − hλ e quindi
u
n→ 0 se e solo se 1
|1 − hλ| < 1.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
−6
−4
−2 0 2 4 6
Figura 4: In magenta: regione di assoluta stabilit`a di Eulero implicito, semipiano negativo <(hλ) < 0.
Essendo <(λ) < 0, si vede facilmente che |
1−hλ1| < 1 per qualsiasi h. Infatti, hλ = a + ib con a < 0, ci`o `e vero se e solo se
1
|1 − hλ| < 1 ⇔ 1 < |1 − hλ| = p
(1 − a)
2+ b
2ovvero, elevando ai quadrati entrambi i membri, se e solo se
1 < (1 − a)
2+ b
2ovviamente verificata in quanto a < 0, a, b ∈ R. La regione di ass. stabilit`a `e tutto il semipiano negativo <(hλ) < 0.
Nota. Questa propriet`a suggerisce di applicare Eulero implicito invece di Eulero esplicito per risolvere numericamente un problema di Cauchy di tipo stiff.
6.3. Regione di assoluta stabilit`a: Crank-Nicolson
Nel caso del metodo di Crank-Nicolson, da f (x, y) = λy
u
n= u
n−1+ (h/2)(f (x
n, u
n) + f (x
n−1, u
n−1))
= u
n−1+ (h/2)λ(u
n+ u
n−1), u
0= 1 (30) Quindi,
(1 − hλ
2 )u
n= u
n−1+ hλ 2 u
n−1cio`e
2 − hλ
2 · u
n= 2 + hλ 2 · u
n−1e di conseguenza
u
n= 2 + hλ
2 − hλ u
n−1−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
−6
−4
−2 0 2 4 6
Figura 5: In magenta: regione di assoluta stabilit`a di Crank-Nicolson, semipiano negativo <(hλ) < 0.
Posto C =
2+hλ2−hλ, essendo u
n= Cu
n−1, otteniamo come in precedenza u
n= Cu
n−1= C
2u
n−2= . . . = C
nu
0= C
ne quindi
u
n= 2 + hλ 2 − hλ
nda cui
u
n→ 0 se e solo se |2 + hλ|
|2 − hλ| < 1.
Da <(λ) < 0, |
2+hλ2−hλ| < 1 per h > 0. Infatti, se hλ = a + ib, a < 0
|2 + hλ|
|2 − hλ| = |2 + (a + ib)|
|2 − (a + ib)| = |(2 + a) + ib|
|(2 − a) + ib| = p(2 + a)
2+ b
2p(2 − a)
2+ b
2< 1 in quanto (2 + a)
2< (2 − a)
2, qualora a < 0.
Ne segue che la regione di assoluta stabilit`a `e tutto il semipiano negativo <(hλ) <
0.
6.4. A-stabilit´a e Barriere LMM
Definizione 6.2. Un metodo numerico `e detto A-stabile se la sua regione di stabilit`a assoluta contiene tutto il semipiano negativo.
Valgono le seguenti barriere di stabilit`a (Dahlquist, 1963) Teorema 6.3. Nessun metodo LMM esplicito `e A-stabile.
Teorema 6.4. Nessun metodo LMM implicito di ordine maggiore di 2 `e A-stabile.
7. Metodi di Runge-Kutta
Sia h = (xfin − x
0)/N
h, x
n= x
0+ nh, n = 0, . . . , N
h, e supponiamo che y sufficientemente regolare sia la soluzione del problema di Cauchy (1) nell’intervallo [x
0, xfin], ed f continua e L-lipschitziana rispetto la seconda variabile.
Consideriamo un metodo numerico, che diremo di Runge-Kutta, che definisca una sequenza u
ntale che
y(x
n+1) ≈ u
n+1= u
n+ hF (x
n, u
n; h) con
F (x, y; h) = γ
1f (x, y) + γ
2f (x + αh, y + βhf (x, y)).
Determiniamo i parametri γ
1, γ
2, α, β cos`ı da ottenere un metodo del second’ordine cio`e
τ (h) = max
n
(|τ
n(h)|) = O(h
2) dove
τ
n(h) = y(x
n) − u
nh , u
n+1= y
n+ hF (x
n, y
n; h).
Teorema 7.1. Affinch´e il metodo di Runge-Kutta sia del second’ordine, necessita che γ
1+ γ
2= 1, γ
2α = 1/2, γ
2β = 1/2.
Per ottenere questo risultato usiamo la formula di Taylor bivariata, ovvero se g : Ω ⊂ R
2→ R `e di classe C
2, Ω aperto contenente (x
0, y
0), (x
0+ h, y
0+ k),
g(x
0+ h, y
0+ k) = g(x
0, y
0) + g
0x(x
0, y
0)h + g
y0(x
0, y
0)k + O(h
2+ k
2).
Denotate con f
x0, f
y0le derivate parziali rispetto al primo e secondo argomento di f , abbiamo per x
0= x
n, y
0= y
n, h = αh, k = βhf (x
n, y
n),
f (x
n+αh, y
n+βhf (x
n, y
n)) = f (x
n, y
n)+αhf
x0(x
n, y
n)+βhf
y0(x
n, y
n)f (x
n, y
n)+O(h
2) e quindi
F (x
n, y
n; h) := γ
1f (x
n, y
n) + γ
2f (x
n+ αh, y
n+ βhf (x
n, y
n))
= γ
1f (x
n, y
n) + γ
2(f (x
n, y
n) + αhf
x0(x
n, y
n) + βhf
y0(x
n, y
n)f (x
n, y
n)) + O(h
2).
da cui
u
n+1= y
n+ hF (x
n, y
n; h) = y
n+ h(γ
1f (x
n, y
n) + γ
2(f (x
n, y
n) + αhf
x0(x
n, y
n) + βhf
y0(x
n, y
n)f (x
n, y
n))) + O(h
3)
= y
n+ h(γ
1+ γ
2)f (x
n, y
n) + h
2γ
2(αf
x0(x
n, y
n) + βf
y0(x
n, y
n)f (x
n, y
n))) + O(h
3)
Facilmente, dalla formula di Taylor, se y `e sufficientemente regolare, y
n+1= y
n+ hy
(1)(x
n) + (h
2/2)y
(2)(x
n) + O(h
3)
= y
n+ hf (x
n, y
n) + (h
2/2)(f
x0(x
n, y
n) + f
y0(x
n, y
n)f (x
n, y
n)) + O(h
3) Quindi affinch`e y
n+1− u
n+1= O(h
3), per confronto con
u
n+1= y
n+ h(γ
1+ γ
2)f (x
n, y
n) + h
2γ
2(αf
x0(x
n, y
n) + βf
y0(x
n, y
n)f (x
n, y
n))) + O(h
3)
basta richiedere
γ
1+ γ
2= 1, γ
2α = 1/2, γ
2β = 1/2.
Vediamo alcuni metodi in cui
γ
1+ γ
2= 1, γ
2α = 1/2, γ
2β = 1/2.
Metodo di Heun (α = 1), (scoperto nel 1900):
u
n+1= u
n+ h
2 (f (x
n, u
n) + f (x
n+ h, u
n+ hf (x
n, u
n))).
Metodo di Eulero modificato (α = 1/2):
u
n+1= u
n+ hf (x
n+ h
2 , u
n+ h
2 f (x
n, u
n)).
La scelta particolare di un maggior numero di vincoli permette, con qualche fatica, di calcolare un metodo di ordine 4 (scoperto da Kutta nel 1901). Posto
u
n+1= u
n+ h · f
1+ 2f
2+ 2f
3+ f
46 ove
f
1= f (x
n, u
n) f
2= f (x
n+ h
2 , u
n+ h · f
12 ) f
3= f (x
n+ h
2 , u
n+ h 2 f
2)
f
4= f (x
n+ h, u
n+ h · f
3) (31) si ottiene un metodo del quart’ordine.
Gli argomenti che seguono sono facoltativi. Servono a dare una immagine pi`u completa sul tema dell’analisi numerica per la risoluzione di problemi di Cauchy.
Di seguito intendiamo mostrare, sotto opportune ipotesi e senza usare i teoremi
precedenti, la convergenza del metodo di Eulero esplicito.
Consideriamo il metodo di Eulero esplicito, con x
n= x
0+ nh per un prefissato passo h = (xfin − x
0)/N . Sia y ∈ C
2([x
0, xfin]) soluzione di ( 1), e
u
n= y(x
n−1) + h · f (x
n−1, y(x
n−1)), u
n= u
n−1+ h · f (x
n−1, u
n−1).
Osserviamo che
• la prima sequenza u
(h)= {u
n}, ha il generico u
nottenuto applicando il metodo di Eulero esplicito partendo dal valore assunto dalla soluzione y in ogni x
n−1,
• la seconda sequenza u
(h)= {u
n}, ha il generico u
nottenuto applicando il meto- do di Eulero esplicito partendo dal valore assunto u
n−1, che a priori non coincide con y(x
n−1).
Sketch della dimostrazione: Basta mostrare che
1. |e
n| ≤ (1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1)hτ (h) + (1 + hL)
n|e
0|;
2. (1 + hL)
n≤ exp(L(x
f in− x
0));
3. 1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1≤
exp(L(xhLf in−x0)). Infatti ne consegue che
|e
n| ≤ exp(L(x
f in− x
0))
L τ (h) + exp(L(x
f in− x
0))|e
0|.
Da y ∈ C
2([x
0, xfin]), posto M := max
x∈[x0,xf in]|y
00(x)| ∈ (0, +∞), per quanto visto sulla consistenza di Eulero Esplicito in (21)
τ (h) = max
n
|τ
n(h)| ≤ M h/2.
Di conseguenza max
n(|e
n|) → 0 per h → 0, perch`e il secondo membro `e in- dipendente da n, infinitesimo per h → 0 visto che τ (h) ≤ M h
2/2 e |e
0| → 0 per h → 0.
Punto 1. Se f `e L-Lipschitziana (rispetto al secondo argomento) allora
|f (x, y
1) − f (x, y
2)| ≤ L|y
1− y
2|.
Mostriamo per prima cosa che da e
n:= y(x
n) − u
n,
|u
n− u
n| ≤ (1 + hL)|e
n−1|.
Infatti da
u
n= y(x
n−1) + h · f (x
n−1, y(x
n−1)), u
n= u
n−1+ h · f (x
n−1, u
n−1)
ricaviamo dalla L-lipschitzianit`a
|u
n− u
n| = |(y(x
n−1) + h · f (x
n−1, y(x
n−1))) − (u
n−1+ h · f (x
n−1, u
n−1))|
= |(y(x
n−1) − u
n−1) + h · (f (x
n−1, y(x
n−1)) − f (x
n−1, u
n−1))|
≤ |y(x
n−1) − u
n−1| + h|f (x
n−1, y(x
n−1)) − f (x
n−1, u
n−1))|
≤ |y(x
n−1) − u
n−1| + hL|y(x
n−1) − u
n−1|
= (1 + hL)|y(x
n−1) − u
n−1| = (1 + hL)|e
n−1|. (32)
Da
• e
n:= y(x
n) − u
n= (y(x
n) − u
n) + (u
n− u
n),
• |y(x
n) − u
n| = h|τ
n(h)| ≤ hτ (h),
• |u
n− u
n| ≤ (1 + hL)|e
n−1| si deduce
|e
n| = |(y(x
n)−u
n)+(u
n−u
n)| ≤ |y(x
n)−u
n|+|u
n−u
n| ≤ hτ (h)+(1+hL)|e
n−1| e quindi
|e
n| ≤ hτ (h) + (1 + hL)|e
n−1|
≤ hτ (h) + (1 + hL)(hτ (h) + (1 + hL)|e
n−2|)
= (1 + (1 + hL))hτ (h) + (1 + hL)
2|e
n−2| ≤ . . .
≤ (1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1)hτ (h) + (1 + hL)
n|e
0| e cio`e
|e
n| ≤ (1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1)hτ (h) + (1 + hL)
n|e
0|.
Punto 2. Notiamo che per γ > 0
1 + γ =
1
X
k=0
γ
kk! ≤
∞
X
k=0
γ
kk! = exp (γ) (33)
e quindi (1 + γ)
n≤ (exp(γ))
n= exp(nγ) implica che per γ = hL, essendo nh = x
n− x
0,
(1 + hL)
n≤ exp (nhL) = exp (L(x
n− x
0)) ≤ exp (L(x
f in− x
0)).
Punto 3. Ricordando che
1 + s + . . . + s
k= (1 − s
k+1)
(1 − s)
posto s = 1 + hL deduciamo che
1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1= 1 − (1 + hL)
n1 − (1 + hL) = (1 + hL)
n− 1
hL .
Da
• 1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1=
1−(1+hL)1−(1+hL)n=
(1+hL)hLn−1• (1 + hL)
n≤ exp (L(x
f in− x
0)), concludiamo che
1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1= (1 + hL)
n− 1
hL ≤ exp (L(x
f in− x
0)) − 1 hL
≤ exp (L(x
f in− x
0))
hL . (34)
Quindi, per quanto detto in precedenza, il metodo di Eulero esplicito `e convergente.
Sia h = (xfin − x
0)/N
h, x
n= x
0+ nh, n = 0, . . . , N
h, e supponiamo che y sia la soluzione del problema di Cauchy (1) nell’intervallo [x
0, xfin], ed f continua e L-lipschitziana rispetto la seconda variabile, con L > 0.
Consideriamo il metodo di Eulero implicito
u
n= u
n−1+ hf (t
n, u
n), u
0= y
0con u
nche si desidera approssimi y
n:= y(x
n). Di seguito richiederemo y ∈ C
2([x
0, xfin]).
Dalla definizione di errore locale di troncamento, posto
¯
u
n= y
n−1+ hf (t
n, y
n) abbiamo
y
n− ¯ u
n= hτ
n(h)
con τ
n(h) = −hy
00(ξ
n)/2, ξ
n∈ [x
0, xfin]. Di conseguenza, visto che il teorema di Weierstrass esiste M finito tale che M = max
x∈[x0,xfin
]|y
00(x)|, necessariamente τ (h) := max
n=0,...,Nh
|τ
n(h)| ≤ M h/2.
Per prima cosa notiamo che per la disuguaglianza triangolare, posto e
n:= y
n− u
n|e
n| = |y
n− u
n| = |(y
n− u
n) + (u
n− u
n)| ≤ |y
n− u
n| + |u
n− u
n|
≤ h|τ
n(h)| + |u
n− u
n| ≤ hτ (h) + |u
n− u
n|. (35) Dalla lipschitzianit`a (rispetto la seconda variabile)
|u
n− u
n| = |y
n−1+ hf (t
n, y
n) − u
n−1− hf (t
n, u
n)|
= |y
n−1− u
n−1+ hf (t
n, y
n) − hf (t
n, u
n)|
≤ |y
n−1− u
n−1| + h|f (t
n, y
n) − f (t
n, u
n)|
≤ |y
n−1− u
n−1| + hL|y
n− u
n| = |e
n−1| + hL|e
n|. (36)
Quindi, per h < h
∗= 1/L abbiamo 0 < 1 − hL < 1 e quindi posto γ :=
1/(1−hL) > 1, da (35), portando hL|e
n| a primo membro e dividendo ambo i membri per 1 − hL, ricaviamo con facili conti
|e
n| ≤ hτ (h) + |e
n−1| + hL|e
n| ⇔ |e
n| ≤ γhτ (h) + γ|e
n−1|.
Di conseguenza, da |e
n| ≤ γhτ (h) + γ|e
n−1| si ha
|e
n| ≤ γhτ (h) + γ|e
n−1|
≤ γhτ (h) + γ(γhτ (h) + γ|e
n−2|) = γhτ (h)(1 + γ) + γ
2|e
n−2|
≤ . . . ≤ γhτ (h)
n−1
X
k=0
γ
k+ γ
n|e
0|. (37)
Osserviamo che da (1+x)
k≤ exp(kx), γ −1 = hL/(1−hL) > 0, nh = x
n−x
0, γ
n= (1 + (γ − 1))
n≤ exp(n(γ − 1)) = exp(nhL/(1 − hL))
= exp((x
n− x
0)L/(1 − hL)) ≤ exp((xfin − x
0)L/(1 − hL)), (38) per cui, visto che da 0 < γ − 1
γ
n−1
X
k=0
γ
k= γ · γ
n− 1
γ − 1 < γ · γ
nγ − 1 ≤ 1
1 − hL · 1 − hL
hL · exp (xfin − x
0)L 1 − hL
= 1
hL · exp (xfin − x
0)L 1 − hL
. (39)
Quindi da
• |e
n| ≤ γhτ (h) P
n−1k=0
γ
k+ γ
n|e
0|,
• γ P
n−1k=0
γ
k<
hL1· exp
(xfin
−x0)L1−hL
,
• γ
n≤ exp((xfin − x
0)L/(1 − hL)), ricaviamo per n = 0, . . . , N
h|e
n| ≤ γhτ (h)
n−1
X
k=0
γ
k+ γ
n|e
0|
< hτ (h) 1
hL · exp (xfin − x
0)L 1 − hL
+ exp (xfin − x
0)L 1 − hL
|e
0|
≤ τ (h) L + |e
0|
exp (xfin − x
0)L 1 − hL
. (40)
Visto che per h → 0, abbiamo che τ (h) → 0 e e
0→ 0, e che l’ultimo membro di (40) non dipende da n, deduciamo per il teorema del confronto che
lim
h→0
max
n=0,...,Nh
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