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Esercizio 1. Data la porzione di superficie regolare Σ = n

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UNIVERSIT ` A DI ROMA “TOR VERGATA”

Laurea in MATEMATICA

ANALISI MATEMATICA 4 Prof. P. Cannarsa

Sessione estiva – II appello 22 luglio 2015, PP2 Aula 5

Esercizio 1. Data la porzione di superficie regolare Σ = n

(x, y, z) ∈ R

3

: z > 0 , x

2

+ y

2

6 1 , x

2

+ y

2

+ z

2

4 = 1 o

, orientata in modo che la terza componente del versore normale sia positiva, si calcoli:

(a) l’area di Σ;

(b) il flusso del rotore del campo di vettori

V (x, y, z) = (z

2

y, xyz, x

2

) attraverso Σ.

Esercizio 2. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni

X

n=1

π − 2 arctan x

n



(x ∈ R).

Suggerimento: si osservi che, per y > 0, risulta π

2 − arctan y = Z

y

du 1 + u

2

<

Z

∞ y

du u

2

.

Esercizio 3. Per α ∈ R si consideri l’equazione differenziale

x

00

(t) + αx

0

(t) = 2 x(t) − x

3

(t). (1) 1. Scrivere (1) come un sistema del primo ordine nel piano delle fasi e determinarne i tre equilibri.

2. Per α 6= 0 studiare la stabilit` a dei tre equilibri usando il metodo di linearizzazione.

D’ora in poi supporremo sempre α = 0.

3. Ancora per linearizzazione studiare la stabilit` a di uno dei tre punti di equilibrio.

4. Determinare un’integrale primo del sistema ed usarlo per studiare la stabilit` a dei rimanenti due punti di equilibrio.

5. Determinare la minima e massima distanza dall’origine dell orbita passante per il punto √ 2, √

3.

6. Determinare tutte e sole le condizioni iniziali ( x(0) = x

0

x

0

(0) = y

0

.

per cui la corrispondente soluzione di (1) non ` e periodica.

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