Esame di Geometria. Ing.Civile e Ambientale Anno Accademico 2015–2016. 22 Febbraio 2016
Cognome: Nome: Matricola: Immatricolato nel
ISTRUZIONI: Scrivi nome e cognome sul testo dell’esame (cio`e questo foglio) e su ogni foglio protocollo che consegnerai. Non devi consegnare la brutta copia. Durante l’esame puoi consultare appunti e libri.
Poni a uguale all’ultima cifra del tuo numero di matricola: a =
Le risposte alle domande filtro devono essere giustificate. Negli esercizi vanno riportati tutti gli svolgimenti dei calcoli.
1. E’ possibile che un endomorfismo iniettivo abbia un autovalore nullo?
2. E’ vero che le equazioni
x = 1 + t y = −1 − t z = a + at
e (1 + 2a)x + y − 2z = 0
(a − 1)x − y − z = 0 definiscono lo stesso spazio?
3. E’ vero che hanno la stessa dimensione i due spazi:
Span
1 5 3
,
a 0 1
,
0
−5a 1 − 3a
e Span
1 0 2
,
√2 0 2√
2
,
−a − 1 0
−2a − 2
?
A. Data la quadrica
Qk : −x2− 2y2− 3z2+ 2kxy + 2x + a + 1 = 0 (i) Classifica la quadrica Qk al variare del parametro k ∈ R.
(ii) Poni k = 2 e sia C la conica data dall’intersezione di Q2 con il piano z = 0. Classifica la conica C nel piano x, y
B. Dato il sistema x + y − z + (a − 6)w = 0 (5 − a)x − y + (a − 5)z = 0 (i) studiane la compatibilita’ e trovane le soluzioni.
(ii) Stabilisci se il suo spazio delle soluzioni W e’ un sottospazio vettoriale di R4 in tal caso trovane la dimensione e una base.
(iii) Scrivi una base ortonormale di W .
(iv) Scrivi una base e una base ortonormale di W⊥.
(v) Scrivi la matrice associata a PW : R4 → R4, proiezione ortogonale sul sottospazio W , rispetto a una base a tua scelta.
C. Data l’applicazione lineare T : M2,2(R) → M2,2(R) tale che T (A) = A 0 1 1 0
+ 1 1 1 0
A (i) Scrivi la matrice M associata a T rispetto a basi a tua scelta;
(ii) stabilisci se T e’ iniettiva e/o suriettiva e/o biunivoca.
(iii) Stabilisci se T e’ invertibile e in tal caso scrivi l’inversa della matrice associata M . (iv) Stabilisci se la matrice M e’ diagonalizzabile.
