Esame di Geometria. Ing. Edile Architettura Anno Accademico 2016–2017. 15 Giugno 2017
Cognome: Nome: Matricola: Immatricolato nel
ISTRUZIONI: Scrivi nome e cognome sul testo dell’esame (cio`e questo foglio) e su ogni foglio protocollo che consegnerai. Non devi consegnare la brutta copia. Durante l’esame puoi consultare appunti e libri.
Poni a uguale alla penultima cifra del tuo numero di matricola: a =
Le risposte alle domande filtro devono essere giustificate. Negli esercizi vanno riportati tutti gli svol- gimenti dei calcoli.
1. Esistono due matrici quadrate A e B tali che det(A) = 7 e det(AB) = 2017?
2. Esiste una matrice 3 × 3 non diagonalizzabile che ammette gli autovalori −3 e a?
3. Esistono valori del parametro k ∈ R per cui i piani
Π1 : x + 2y + az = 12 − a e Π2 : kx − z = 21 sono perpendicolari?
A. Dati i seguenti sottospazi di M2,2(R):
W = Span 1 1 0 1
, a + 2 a + 1 1 a + 2
, 1 0 1 1
,
U = x y z w
: y + z = 0, (a + 2)x + w = 0
(i) Calcola dimensione e base di W e di U
(ii) Calcola dimensione e base di U + W e di U ∩ W
B. Data l’applicazione lineare T : R2[t] → R2[t] definita da T (p(t)) = p(1)t2+ (11 − a)p(0)t + p(t) (i) Scrivi la matrice associata a T ;
(ii) stabilisci se T e’ iniettiva, se e’ suriettiva, se e’ biunivoca;
(iii) stabilisci se T e’ invertibile e in tal caso trova l’inversa.
(iv) Dato il polinomio q(t) = 2t2+ 3t + a, calcola il polinomio immagine T (q(t)) e il polinomio controim- magine T−1(q(t)).
C. Data la quadrica
Qk : 2kxy − 4xz + 3y2+ 2z2− 4y + 1 = 0 (i) Classifica la quadrica Qk al variare del parametro k ∈ R.
(ii) Trova i valori di k ∈ R per cui il punto P = (1, 1, 1) appartiene alla quadrica Qk.
(iii) per i valori di k trovati al punto precedente, scrivi l’equazione del piano tangente Π alla quadrica in P .
(iv) Trova la posizione reciproca tra il piano Π trovato al punto precedente e la retta di equazione r :
x = 1 + 6t y = a + 3t z = 1 − (a + 1)t Scelta turno orale:
