Prova ANALISI parte prima Fila A 27-aprile-2011
1. (3 pt) Dire, motivando la risposta, se ` e vera o falsa l’affermazione:
Siano f, g due funzioni definite su R derivabili con derivata continua, allora f
0(x) ≤ g
0(x), x ∈ [0, 1] ⇒ f (x) ≤ g(x), x ∈ [0, 1]
2.(3 pt) Dimostrare che l’equazione
e
x+ x = 0 ha una e una sola radice.
3. (14 pt) Studiare la funzione
f (x) = 2x
2− 3x + 1 x
2− 4 e tracciarne un grafico.
4. (5 pt) Calcolare
Z
1 0x
41 + x dx 5. (5 pt) Risolvere la disequazione
1 x + 1
x − 1 + 1 x − 2 < 0 6. (6 pt) Calcolare
x→+∞
lim x[arctan(2x) − arctan(x)]
Prova ANALISI parte prima Fila B 27-aprile-2011
1. (3 pt) Dire, motivando la risposta, se ` e vera o falsa l’affermazione:
0 ≤ x ≤ y ⇒ Z
x0
[sin(t
2)]
2dt ≤ Z
y0
[sin(t
2)]
2dt 2. (3 pt) Dimostrare che la funzione
log 1 + x 1 − x
`
e invertibile nell’intervallo (-1, 1).
3. (14 pt) Studiare la funzione
f (x) = 2x
2+ 3x + 1 4 − x
2e tracciarne un grafico.
4. (5 pt) Calcolare
Z
3 2x
31 − x
4dx 5. (5 pt) Risolvere la disequazione
p 3x
2− 1 > p x
2− 3 6. (6 pt) Calcolare
x→+∞
lim h π
2 x + √
x − x arctan(x) i
Prova ANALISI parte prima Fila C 27-aprile-2011
1. (3 pt) Dire, motivando la risposta, se ` e vera o falsa l’affermazione:
Siano f, g due funzioni continue in [0, 1] allora Z
10
f (t) dt = Z
10
g(t) dt ⇒ ∃ c ∈ [0, 1] : f (c) = g(c)
2.(3 pt) Dimostrare che l’equazione
log x + x = 0 ha una e una sola radice.
3. (14 pt) Studiare la funzione
f (x) = 2x
2+ x x
2+ 2x − 3 e tracciarne un grafico.
4. (5 pt) Calcolare
Z
1 01 + x 2 − x
2dx 5. (5 pt) Risolvere la disequazione
log(x
4− 4x
2+ 5) ≥ log(x
2+ 1) 6. (6 pt) Calcolare
x→+∞
