Sistemi di Misura
Risposta dinamica dei trasduttori
Teoria
“risposta caratteristica”:
relazione tra lo stimolo e risposta
(quando lo stimulo è funzione del tempo, la risposta caratteristica è la funzione di trasferimento)
“sensibilità”:
derivata prima della variazione della risposta di uno derivata prima della variazione della risposta di uno strumento di misura sulla variazione dello stimolo
“sensibilità statica”:
sensibilità dello strumento di misura quando lo stimulo e la risposta sono stazionarie.
“offset” – “bias”:
valore costante della lettura quando lo stimolo è
nullo (se non corretto induce un errore sistematico)
“tempo di risposta” – “settling time”:
Nota
Nota terminologicaterminologica
“tempo di risposta” – “settling time”:
intervallo temporale tra l’istante in cui uno stimolo
varia e l’istante in cui raggiunge e rimane entro limiti specificati
Risposta Dinamica
Il modello a scatola chiusa:
Adatto a ogni trasduttore indipendentemente dal principo
Adatto a ogni trasduttore indipendentemente dal principo fisico usato per misurare.
Consente una rapida categorizzazione dei trasduttori.
TRASDUTTORE
input output
y, qin x, qout
( ) ∑
−( )
=
⋅
=
1
0 n
i
i
i x
x
y α ϕ
MODELLO STATICO MODELLO DINAMICO
( ) ∑ ( )
∑
=j
j in j
j i
i out i
i dt
t q
b d dt
t q
a d
x, qout
Risposta Dinamica
Modello a scatola chiusa standard:
Trascura l’offset in quanto è usualmente eliminabile.
Trascura l’offset in quanto è usualmente eliminabile.
TRASDUTTORE
input output
y, qin x, qout
MODELLO DINAMICO (fino al secondo ordine)
( ) ( )
a q( )
t b q( )
tdt t a dq
dt
t q
a d out2 1 out 0 out 0 in
2
2 + + =
Risposta Dinamica
Modello di ordine 0:
b
Più teorica che reale, è sempre un’approssimazione
Abitualmente significa “la catena di misura
(trasduttore E condizionamento) è più rapida del segnale”
MODELLO DINAMICO
( )
t b q( )
tq
a0 out = 0 in
SENSIBILITA' STATICA 0
0 a
ks = b
segnale”
Abitualmente adatta per:
Misure estensimetriche
Misure ottiche
Misure di spostamento
Taratura dinamica
Modello del primo ordine:
0
a ks = b
Fornisce un parametro dinamico che esprime il
MODELLO DINAMICO
( )
t a q( )
t b q( )
tq
a1 &out + 0 out = 0 in SENSIBILITA' STATICA
a0
ks =
COSTANTE DI TEMPO 0
1 a
= a
τ
Fornisce un parametro dinamico che esprime il ritardo tra input ed outpunt: la costante di tempo Abitualmente adatto per:
Misure termiche
Misure di velocità
Modello del secondo ordine:
Risposta Dinamica
( )
t a q( )
t a q( )
t b q( )
tq
a && + & + =
MODELLO DINAMICO
( )
t a q( )
t a q( )
t b q( )
tq
a2&&out + 1 &out + 0 out = 0 in
SENSIBILITA' STATICA 0
0
a ks = b
PULSAZIONE PROPRIA 2 0
a a
n =
ω
SMORZAMENTO 2 0 1
2 a a
= a
ξ
Fornisce un parametro che esprime la massima banda passante: la pulsazione propria
Abitualmente adatta per:
Misure di forza
Misure di accelerazione
SENSIBILITA' STATICA PULSAZIONE PROPRIA SMORZAMENTO
Risposta all’impulso:
Risposta all’impulso
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
qo/ksqi []
0th order 1st order 2nd order
Indica cosa aspettarsi da impulsi e variazioni improvvise dello stimolo
Utile per identificare le caratteristiche dinamiche dei sistemi di misure
Utili per stimare il settling time
0 5 10 15
-0.2 0
time [s]
Risposta al gradino:
Risposta al gradino
1.4
0th order
0.4 0.6 0.8 1 1.2
qo/kisqi []
0th order 1st order 2nd order
Indica cosa aspettarsi da impulsi e variazioni improvviso dello stimolo
Utile per identificare le caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura
Utili per stimare il settling time
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2
time [s]
Perchè la risposta in frequenza è importante?
Risposta in frequenza
-1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
Ogni funzione periodica può essere descritta come somma di sinusoidi a diverse ampiezze e
frequenze.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4 -3 -2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4 -3 -2
Risposta in frequenza
.. quindi l’informazione temporale può essere ricostruita con una
serie di informazioni su ampiezze e fasi nel dominio delle frequenze
Risposta in frequenza:
Risposta Dinamica
1.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
qout/(ks*qin)
Descrive la relazione tra input ed output nel dominio delle frequenze
Utile per gestire segnali periodici e quasi periodici
Necessaria per stimare la prontezza del trasduttore
0
0 5 10 15 20 25 30
ω [rad/s]
0th order 1st order 2nd order
Risposta in frequenza:
Risposta Dinamica
1.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
qout/(ks*qin)
Tolerance boundaries (e.g. 5%)
Data una tolleranza (tipicamente 5%) definisce la BANDA PASSANTE del trasduttore stesso
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
ω [rad/s]
0th order 1st order 2nd order
Bandwidth (5%) Bandwidth (5%)
Risposta in frequenza
ORDINE ZERO: ( )ω =1
in s
out
q k
q
1.2
magnitude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
qout/(ks*qin)
τω [rad]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
qout/(ks*qin)
τω [rad]
phase
Risposta in frequenza
PRIMO ORDINE: ( ) ( ωτ )
τ
ω ω ∠ −
+
= −1
2
2 tan
1 1
in s
out
q k
q
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
qout/(ks*qin)
magnitude
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
τω [rad]
-100 -50 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
qout/(ks*qin)
τω [rad]
phase
Risposta in frequenza
SECONDO ORDINE:
LA CURVA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA IN
( )
−
∠
+
−
= −
ω ω ωω
ξ ωω
ω ξ ω ω
n n
n n
in s
out
q k
q 2
tan 2
1
1 1
2 2 2
LA CURVA DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA IN QUESTO CASO DIPENDE DALLO SMORZAMENTO
Risposta in frequenza
SECONDO ORDINE:
2.5 3
magnitude
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
qout/(ks*qin)
ω/ωn
0.2 0.3 0.6 0.8
-200 -150 -100 -50 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
qout/(ks*qin)
ω/ωn phase
Risposta in frequenza
Il diagramma di risposta in frequenza può essere usata per stimare la risposta a un dato stimolo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
qout/(ks*qin)
magnitude
per stimare la risposta a un dato stimolo
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ω/ωn
BANDWIDTH
Un trasduttore è considerato PRONTO per un
segnale se ogni componente ha frequenze ENTRO la banda passante (usualmente con tolleranza del 5%)
Risposta in frequenza
Il diagramma di risposta in frequenza può essere usata per stimare la risposta a un dato stimolo usata per stimare la risposta a un dato stimolo
) 12 . 0 sin(
3 10
) 1 . 0 034
. 0 sin(
12 t t
F = + + +
A: frequenza 0.034rad/s=0.214Hz ampiezza 12 fase=0.1 rad
B: valore costante- nessun
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Magnitude [mV/N]
A e B saranno interpretati correttamente C verrà
amplificato ed alterato
B: valore costante- nessun comportamento dinamico involto
C: frequenza 0.12rad/s=0.754Hz ampiezza 3 fase 0 rad
0
-200 -150 -100 -50 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Phase [°]
Frequency [Hz]
Il trasduttore non è pronto per il segnale!
Esercizio: Risposta Dinamica
Stimare la banda passante (tolleranza del 5%) di un
F
(tolleranza del 5%) di un
trasduttore di forza composto da una molla elastica
(ke=120N/m) con un fattore di smorzamento di 6kg/s e
ke
c x
sapendo che la massa in movimento è di 0.2 kg
esercitazione
Taratura dinamica
Come posso stimare l’ordine del mio
trasduttore e le sue proprietà dinamiche?
trasduttore e le sue proprietà dinamiche?
1.Stimare il campo di frequenza di interessa
2.Provocare un’eccitazione in quel campo:
Osservare LA RISPOSTA AD UN IMPULSO
Osservare LA RISPOSTA AD UN GRADINO
Registrare uno SWEEP SINUSOIDALE DISCRETO
Registrare uno SWEEP SINUSOIDALE CONTINUO 3.Comfrontare con la risposta di modelli noti
4.Usare un metodo interpolante (es. minimi quadrati)
Taratura dinamica
DISCRETE SINE SWEEP
1.Generate a sine wave excitation.
1.Generate a sine wave excitation.
2.Record both the input and the output of the
trasduttore (the input must be recorded using a 0th grade instrument or equivalent)
3.Use a fitting tool to assess magnitude, phase and frequency of both input and output
and frequency of both input and output
4.Record ratio of magnitudes as the FRF magnitude and phases difference as phase
5.Repeat for a new frequency
Risposta all’impulso:
Risposta all’impulso
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
qo/ksqi []
0th order 1st order 2nd order
Indica cosa aspettarsi da impulsi e variazioni improvvise dello stimolo
Utile per identificare le caratteristiche dinamiche dei sistemi di misure
Utili per stimare il settling time
0 5 10 15
-0.2 0
time [s]
Risposta al gradino:
Risposta al gradino
1.4
0th order
0.4 0.6 0.8 1 1.2
qo/kisqi []
0th order 1st order 2nd order
Indica cosa aspettarsi da impulsi e variazioni improvviso dello stimolo
Utile per identificare le caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura
Utili per stimare il settling time
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0.2
time [s]
Taratura dinamica
Sweep sinusoidale discreto
Ampiezza Ain, fase Rin
L’output ha sempre la stessa frequenza dell’input!
Ampiezza Ain, fase Rin
Ampiezza Aout, fase Rout
A
in out
i
in out i
R R
f H
A f A
H
−
=
∠
= ) (
) (
Taratura dinamica
Sweep sinusoidale continuo
Come con lo sweep discreto richiede un’eccitazione Come con lo sweep discreto richiede un’eccitazione
sinusoidale, che però cambi in maniera continua coprendo tutto il range di interesse
Gli spettri di input ed output sono quindi analizzati tramite la funzione FRF (derivata della trasformata di Fourier)
Addendum: Taratura dinamica
=
=
+ a q b q k b a
q a &
Risposta al gradino: primo ordine
Instrument
0 1
0 0 0
1
0 0
0 0
1
= +
=
= +
=
= +
i S o
o
i o
o
S i
o o
q k q
q
a a
a q q b
a q a
a b
k q
b q
a q
a
τ
τ
&
&
& Instrument
dynamical properties
95 . 0 3
1 ln 1
0 0
0 0
0
0
⇒ =
=
−
− −
=
−
⇔
−
=
− −
i S
i S t
t i
S
q k t q
t
t t
q k e q
q k q
τ
τ
τ
a b
k q
b q
a q
a q
a && + & + = =
Addendum: Taratura dinamica
Risposta al gradino: secondo ordine
Instrument
ω ξ ω
ξ ω
q k q
q q
a a a
a a
a q q b
a q q a
a a
a b
k q
b q
a q
a q
a
i S o
o n n
o
n i
o o
o
S i
o o
o
= +
+
=
=
= +
+
=
= +
+
2
2 0 1
2 0
0 0 0
1 0
2
0 0
0 0
1 2
2
2
&
&
&
&
&
&
&
&
& Instrument
dynamical properties
( )
( )
ζπ ξω
ξ ω
ξ ξ
q e q
q q
e t q
k q
o o
o o
n t
i S
n
−
− =
−
− +
−
−
−
=
∞
∞
−
min max
2 2
0 2 sin 1 arcsin 1
1 1
Per bassi smorzamenti il termine può essere approssimato ad 1
1 − ξ 2
Analisi in frequenza
La rappresentazione in frequenza
Trasformata di fourier (FT)
Trasformata di fourier (FT)
FT di funzioni notevoli
Convoluzione & linearità
Leakage e finestrature
Problemi nell’acquisizione digitale
Strumenti per l’analisi in frequenza
Strumenti per l’analisi in frequenza
Autocorrelazione e cross-correlazione
Power Spectral Density
Frequency Response Function
Analisi tempo-frequenza
Il dominio delle frequenze
Ogni segnale può essere rappresentato dalla somma di sinusoidi a diverse frequenze
somma di sinusoidi a diverse frequenze
Trasformata di Fourier
La trasformata di Fourier è una trasformazione senza perdita di dati che ci consente di dividere senza perdita di dati che ci consente di dividere un segnale in un set di numeri complessi che rappresentano ampiezze e fasi di singole
sinusoidi.
L’inverso della trasformata di Fourier
F( ω ) = f (t)⋅ e
−2π⋅t⋅ωidt
−∞
+∞
∫
Il principo dietro latrasformata di Fourier si basa sull’amplificazione di ogni componente ad
L’inverso della trasformata di Fourier ricrea il segnale originale
−∞
f (t) = F (w)⋅ e
2π ⋅t⋅ωidw
−∞
+∞
∫
di ogni componente ad una data frequenza e
dell’azzeramento tramite media delle altre
componenti
La trasformata di Fourier
A seconda della convenzione usata diverse
equazioni descrivono la trasformata di Fourier ed equazioni descrivono la trasformata di Fourier ed la sua inversa.
Una definizione equivalente è:
F( ω ) = 1
2 π f (t)⋅ e
−t⋅ωi
dt
−∞
+∞
∫
La trasformata di Fourier di segnali REALI da:
F(-w)= - F*(w) dove F e F* sono complessi coniugati
il cui inverso è
f (t) = 1
2 π F(w)⋅ e
⋅t⋅ωi
dw
−∞
+∞
∫
complessi coniugati La metà negativa della FT può essere trascurata!
FT di funzioni notevoli
Una sinusoide è rappresentata nel dominio della frequenze da un impulso
della frequenze da un impulso
FT di funzioni notevoli
Un impulso è rappresentato da un valore
costante in tutto il campo di frequenze (la parte costante in tutto il campo di frequenze (la parte reale è un seno, l’immaginara un coseno)
FT di funzioni notevoli
Le finestre rettangolari sono rappresentate da una funzione sinc (questo ha conseguenze
una funzione sinc (questo ha conseguenze importanti nell’analisi in frequenza…)
Convoluzione e linearità
Linearità
Se h(t)=af(t)+bg(t) allora ne segue
Se h(t)=af(t)+bg(t) allora ne segue H(w)=aF(w)+bG(w)
Convoluzione
Se h(t)=(f * g)(t) si può dimostrare che H(w)=F(w)G(w)
Se H(w)=(F * G)(w) allora ne segue h(t)=f(t)g(t)
Dove * indica convoluzione
( f * g)(x) = ∫ f (y)g(x − y)dy
Leakage e finestrature
Limirare il periodo di osservazione equivale a moltiplicare un segnale per una finestra unitaria rettangolare, quindi nel dominio delle frequenze rettangolare, quindi nel dominio delle frequenze equivale ad unca convoluzione con un sinc
Questo causa un tracimamento del segnale nelle frequenze vicine: da qui il termine leakage
Leakage e finestrature
Per limitare il leakage possono essere scelte diverse finestrature a seconda della necessità diverse finestrature a seconda della necessità
Una comunemente usata è la “hanning”
Problemi nell’acquisizione digitale
Trasformata di Fourier discreta (DFT)
Controparte discreta della FT: ha una rappresentazione simile e
Controparte discreta della FT: ha una rappresentazione simile e le medesime proprietà:
Fast Fourier Transform (FFT)
F
k= x
ne
−2πi⋅i N kn n=0
N −1
∑
F(ω) = f (t)⋅ e−2π⋅t⋅ωidt
−∞
+∞
∫
Ha lo stesso output della DFT, ma il carico computazionale
richiesto è molto ridotto, quindi la FFT è rapida e molto accurata.
A seconda della convenzione FT scelta esistono divese
implementazioni sia dirette che inverse, quindi il valore assoluto dell’ampiezza non è noto se non si conosce la convenzione
scelta (ma solitamente non è richiesto un valore assoluto…)
Problemi nell’acquisizione digitale
Aliasing
Nessuna rappresentazione spettrale è
Nessuna rappresentazione spettrale è possibile per componenti che abbiano frequenze superiori alla frequenza di
Nyquist, che verranno quindi riflesse nelle basse frequenze (vedi capitolo aliasing)
Risoluzione spettrale
Anche gli elementi del dominio delle
fN = fS 2
Anche gli elementi del dominio delle frequenze sono discreti e la più piccola
differenza in freqeunza tra due componente è pari alla risoluzione spettrale df, funzione della durata dell’acquisizione
df = 1 T
Strumenti per l’analisi in frequenza
Un set di strumenti matematici per l’analisi in
frequenza, basato sulla FFT, è a disposizione per frequenza, basato sulla FFT, è a disposizione per trarre vantaggio dalle tecniche di
rappresentazione spettrale dei segnali acquisiti
Le loro basi teoriche sono :
Fast Fourier Tranform <= trasformata di Fourier
Windowing (vs leakage) <= Convoluzione
Power Spectral Density <= Autocorrelazione
Frequency Response Function<= Cross-correlazione
Waterfall analysis <= tempo e frequenza
Spectral Averaging <= processi stocastici
Autocorrelazione e cross-correlazione
La cross-correlazione tra due segnali è data dall’equazione seguente, e identifica data dall’equazione seguente, e identifica elementi condivisi tra i due amplificandoli
L’autocorrelazione è una cross-
R
fg= ∫ f * (k)g(t + k) dk
L’autocorrelazione è una cross-
correlazione tra un segnale e se stesso (quindi amplifica le ampiezze e eleva al quadrato tutte le componenti)
Fast Fourier Transform (spettro)
Consente l’identificazione di frequenze preponderanti (es. possibili risonanze preponderanti (es. possibili risonanze pericolose, valutazioni di fatica,
identificazione dei componenti dei segnali)
Solitamente il più economico e rapido strumento di analisi per analizzare il problema in questione
Le parti reali ed immaginarie deel segnale sono convertite in ampiezze e fasi (le
ultime spesso trascurabili nelle analisi)
Fast Fourier Transform (spettro)
Power Spectral Density
La PSD rappresenta l’energia del segnale all’interno di un intervallo di frequenza
all’interno di un intervallo di frequenza
È ricavata dall’autocorrelazione della trasforma di Fourier del segnale stesso
Utile per monitorare processi stocastici (meglio se abbinati alla media di PSD successive)
Più affidabile che una semplice FFT
Più affidabile che una semplice FFT
nell’analizzare informazioni energetiche
Indica in quali intervalli di frequenza si
concentrano le componenti più rilevanti del segnale (eg. valutazioni di vibrazioni)
Power Spectral Density
Frequency Response Function
Indica le relazioni causali tra due segnali (es. stimolo e risposta di un sistema)
(es. stimolo e risposta di un sistema)
Consente una taratura dinamica molto
rapida ed accurata se combinato con uno sweep continuo
Può essere calcolato come la cross-
Può essere calcolato come la cross-
correlazione dei segnali coinvolti diviso per l’autocorrelazione del segnali in ingresso
Utile per l’identificazione di sistemi dinamici e per l’analisi modale
Frequency Response Function
Spectral Averaging
Se i segnali oggetto di indagine possono essere replicati le analisi presentate
essere replicati le analisi presentate possono essere ripetute in modo da
ottenere un risultato mediato (averagde)
Le ampiezze di contributi legati a fenomeni accidentali o casuali tenderanno a zero: il rumore uniforme viene quindi ridotto a
vantaggio dei contributi sistematici
Utile in ambiti poco controllati o fortemente disturbati o con stimoli molto deboli
Spectral Averaging
Analisi tempo-frequenza
Combina una vista nel dominio del tempo ad una vista nel dominio delle frequenze ad una vista nel dominio delle frequenze
Ogni n campioni acquisiti si calcola uno spettro, che viene riportato sull’asse
verticale (df), mentre l’asse orizzontale è suddiviso negli istanti di acquisizione (T):
l’ampiezza è indicata tramite una scala di colori nella griglia così creata.
Identifica variazioni di elementi dinamici (es. variazioni di frequenze di rotazione)
